Matematiikan perusteet

Matematiikan perusteet ovat koko matematiikan yhteisiä käsitteitä, käsitteitä ja menetelmiä sisältävä järjestelmä, jonka avulla sen eri osat rakennetaan [1] .

Antiikista noin 1600-luvun loppuun asti matematiikan peruskäsitteitä ja -menetelmiä kuvaavana lähteenä pidettiin Eukleideen tutkielmaa " Alku " (n. 300 eKr.). Siinä geometria ja lukuteoria esiteltiin yhtenä aksiomaattisena järjestelmänä (silloisen ankaruuden tasolla), jossa alkuperäisistä oletuksista (postulaatit tai aksioomit ) pääteltiin valittuja loogisia keinoja käyttäen seurauksia pääkäsitteiden (piste, suora, numero jne.) ja niistä konstruoitujen objektien (geometriset kuviot) ominaisuudet. Huolimatta Eukleideen päättelyn aukoista, jotka havaittiin jo antiikissa, hänen konstruktioitaan pidettiin yleisesti ottaen hyväksyttävinä kuvaamaan koko matematiikan rakennusta tuolloin, eivätkä ne aiheuttivat johdonmukaista kritiikkiä ennen New Agea. [2]

Tilanne alkoi muuttua 1600-luvun lopulla Isaac Newtonin ja Gottfried Wilhelm Leibnizin keksinnöstä differentiaali- ja integraalilaskennasta , jonka perustelut jäivät pitkään epäselväksi. Se saatiin vasta 1800-luvun puolivälissä Augustin Cauchyn , Karl Weierstrassin , Bernhard Riemannin ja muiden matemaatikoiden ponnisteluilla Cauchyn ehdottaman rajan käsitteen pohjalta , ja tähän liittyen tehty analyysi paljasti tarpeen. Euklidista yksityiskohtaisempaa systematisointia varten lukujen alkeisominaisuuksien systematisointi.

Samalla ilmaantui näyttöä tarpeesta tarkistaa toinenkin osa euklidisista rakenteista, nimittäin geometrisia esineitä kuvaavia rakenteita. Nikolai Lobatševskin ja muiden löydöt osoittivat, että euklidisen geometrian lisäksi , jotka perustuvat intuitiivisesti ilmeisimpiin aksiomaattisiin oletuksiin, kuten se näytti ennen, ovat mahdollisia vaihtoehtoisia geometrioita , jotka on johdettu muista aksioomeista, mutta jotka pystyvät kuvaamaan luonnonilmiöitä samalla tavalla. varmuutta.

Tämän yhteydessä matemaatikoissa syntyi ymmärrys siitä, että heidän tieteensä perusta pitäisi siirtää sen syvemmille alueille, operoimalla numeroita ja geometrisia kuvioita yksinkertaisemmilla esineillä (mutta niin, että kaikki muut matemaattiset objektit voidaan rakentaa heidän avullaan), johti Georg Cantorin 1800-luvun viimeisellä neljänneksellä joukkoteorian luomiseen , joka saavutti nopeasti suosion uutena matematiikan kielenä. Kuitenkin 1900-luvun alussa löydetyt ristiriidat Cantorin teoriassa aiheuttivat matematiikan kriisin , mikä paljasti tarpeen tarkistaa sen perusteita. [2]

Myöhempi tutkimus tällä alalla johti käsitteiden " aksiomaattinen järjestelmä " ja " todistus " jalostukseen (formalisointiin), matemaattisen logiikan uudelleenjärjestelyyn tällä perusteella ja muodollisten aksiomaattisten joukkoteorioiden rakentamiseen , jotka nykyään tunnustetaan kaiken matematiikan perusta. [3]

Lisäksi parhaillaan kehitetään kategoriateoriaa , joka voi korvata joukkoteorian matematiikan perustana.

Tärkeimmät ideat ja tulokset

Nicola Bourbaki määrittelee matematiikan "tieteeksi objektien välisistä suhteista, joista ei tiedetä mitään, lukuun ottamatta tiettyjä niitä kuvaavia ominaisuuksia, juuri niitä, jotka asetetaan aksioomiksi yhden tai toisen matemaattisen teorian perustaksi". [neljä]

Matematiikan objektien lopullinen idealisointi saattaa tuntua esteeltä niiden tutkimiselle, mutta jo antiikissa huomattiin, että yksi tämän idealisoinnin seurauksista on päinvastoin mahdollisuus luoda lukuisia yhteyksiä tarkasteltavien objektien välille. hierarkian rakentamiseen niiden välille jakamalla alkeetobjekteja, joista kaikki rakennetaan. loput [5] . Muinaisessa matematiikassa sellaiset alkeisobjektit olivat (ymmärretty suurelta osin intuitiivisesti) numeroita ja geometrisia muotoja ( piste , viiva , pinta jne.) [6] . Nykyaikaisessa matematiikassa ne ovat joukkoja . [3]

Tätä tosiasiaa voidaan pitää tuloksena kahdesta tärkeästä havainnosta, jotka tehtiin joukkoteorian kehityksen alussa:

Kahden joukon karteesinen tulo ja se voidaan määritellä joukoksi järjestettyjä pareja , ja , joissa järjestetyt parit itse määritellään muodon joukoiksi (koostuvat kahdesta alkiosta ja , ja toinen elementti on joukko kahdesta elementit ja ). [7] [8] [9] [10] [11] $X\kertaa Y$ $X$ $Y$ $(x,y)$ $x\in X$ $y\in Y$ $(x,y)$ $\{x,\{x,y\}\}$ $x$ $\{x,y\}$ $x$ $y$
Funktio tai joukosta joukkoon -kuvaus voidaan myös määritellä joukoksi, nimittäin osajoukoksi karteesisessa tulossa , joka täyttää seuraavat kaksi ehtoa: [12] [8] [13] [14] $f:X\Y:ksi$ $X$ $Y$ $f\subseteq X\kertaa Y$

$\forall x\in X~\exists y\in Y:(x,y)\in f$	$\quad$	(" mikä tahansa on olemassa , niin että ") $x\in X$ $y\in Y$ ${\näyttötyyli (x,y)\in f}$ ,
$\left((x,y)\in f\wedge (x,z)\in f\right)\implies y=z$	$\quad$	("jos ja , niin ") ${\näyttötyyli (x,y)\in f}$ ${\näyttötyyli (x,z)\in f}$ $y=z$ .

Ensimmäinen ehto tässä tarkoittaa, että jokainen argumentti liittyy johonkin funktion arvoon , ja toinen tarkoittaa, että tämä arvo on ainutlaatuinen.

x\in X

y\in Y

f

Näistä havainnoista seuraa johtopäätös, joka vaikutti vakavasti aikalaisten asenteeseen Cantorin joukkoteoriaa kohtaan : kaikki matemaattiset objektit, lukuun ottamatta niitä, joita käytetään joukon käsitteen kuvauksessa, voidaan määritellä joukoiksi, joilla on sopivat ominaisuudet .

♦ Esimerkkinä lukuteoria voidaan esittää osana joukkoteoriaa, sen määritelmälaajennus , jos huomaat, että sen tutkimia objekteja - numeroita - voidaan kuvata erikoismuodon joukoiksi: [15] [16 ] [17]

Luonnolliset (ei-negatiivinen kokonaisluku) määritellään luonnollisesti äärellisiksi järjestysluvuiksi (jossa on järjestysrelaatio sekä yhteen- ja kertolaskuoperaatiot ordinaaleille) [ 18] [19] [20] . $\mathbb {N}$
Kokonaisluvut määritellään sitten luonnollisten lukujen joukon karteesisen neliön tekijäjoukon elementeiksi ekvivalenssisuhteen avulla. $\mathbb {Z}$ ${\mathbb {N} }\times {\mathbb {N} }$ $\mathbb {N}$

{\näyttötyyli (n,m)\sim (n',m')~\iff ~n+m'=n'+m,}

tilaussuhteen kanssa [21]

[(n,m)]\leq [(n',m')]~\iff ~n+m'\leq n'+m

ja algebrallisia operaatioita

[(n,m)]+[(n',m')]=[(n+n',m+m')],

[(n,m)]\cdot [(n',m')]=[(n\cdot n'+m\cdot m',n\cdot m'+m\cdot n')],

ja upottaminen kuvataan kaavalla

\mathbb {N}

\mathbb {Z}

{\displaystyle k\in {\mathbb {N} }\mapsto [(k,0)]\in {\mathbb {Z} ))

. Ekvivalenssiluokka tulkitaan kokonaislukuna tavallisessa merkinnässä (ja ).

{\näyttötyyli [(n,m)]}

nm

n,m\in {\mathbb {N} }

Rationaaliluvut määritellään ekvivalenssirelaatiolla [22] kokonaislukujen ja luonnollisten lukujen ilman nollaa karteesisen tulon tekijäjoukon elementteiksi . $\mathbb {Q}$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }\times {\big (}{\mathbb {N} }\setminus \{0\}{\big )))$ $\mathbb {Z}$ ${\mathbb {N} }\setminus \{0\}$

(p,q)\sim (p',q')~\iff ~q'\cdot p=q\cdot p',

tilaussuhteen kanssa [23]

[(p,q)]\leq [(p',q')]~\iff ~q'\cdot p\leq q\cdot p'

ja algebrallisia operaatioita

[(p,q)]+[(p',q')]=[(p\cdot q'+p'\cdot q,q\cdot q')],

[(p,q)]\cdot [(p',q')]=[(p\cdot p',q\cdot q')],

ja upottaminen kuvataan kaavalla

\mathbb {Z}

\mathbb {Q}

{\displaystyle k\in {\mathbb {Z} }\mapsto [(k,1)]\in {\mathbb {Q} ))

. Ekvivalenssiluokka tulkitaan rationaalilukuna tavallisessa merkinnässä (ja , ).

[(p,q)]

p/q

p\in {\mathbb {Z} }

{\displaystyle q\in {\mathbb {N} }\setminus \{0\))

Reaaliluvut määritellään rationaalisten lukujen joukon Dedekind -osuuksiksi (jossa algebralliset operaatiot on indusoitu ja järjestyssuhteesta). $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$
Kompleksiluvut - reaalilukujoukon karteesisen neliön elementteinä algebrallisilla operaatioilla $\mathbb {C}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} ))$ $\mathbb {R}$

{\näyttötyyli (x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')}

(x,y)\cdot (x',y')=(x\cdot x'-y\cdot y',x\cdot y'+y\cdot x'),

ja upottaminen kuvataan kaavalla

\mathbb {R}

\mathbb {C}

{\displaystyle a\in {\mathbb {R} }\mapsto (a,0)\in {\mathbb {C} ))

. Kuvitteellinen yksikkö määritellään tässä konstruktiossa pariksi ja yhdessä edellisen merkinnän kanssa tämä antaa identiteetin

i=(0,1)

(x,y)=x+iy,\quad x,y\in {\mathbb {R} },

tulkitaan tavalliseksi kompleksiluvun algebralliseksi esitykseksi. ♦ Toinen esimerkki: laskentaa , reaalilukujen funktioiden ominaisuuksia kuvaavana teoriana [24] , voidaan pitää joukkoteorian määritelmällisenä jatkeena, koska sen molemmat pääkonstruktiot - funktio (mapping) ja reaaliluku - kuten jo edellä mainitut ovat sarjoja. ♦ Seuraava kuva: algebrassa ryhmän käsite on kuvattu joukkona, jolle on määritelty operaatio, joka kuvaa karteesisen neliön muotoon ja jolla on halutut ominaisuudet (assosiatiivisuus, neutraalin elementin 1 ja käänteisen elementin olemassaolo jokaiselle ). Koska, kuten jo selitettiin, kuvaukset ovat joukkojen erikoistapaus, ryhmän koko rakenne voidaan tulkita joukoksi , jolla on lisärakenne toisen joukon muodossa, jolla on tietyt ominaisuudet.

G

m:(x,y)\mapsto m(x,y)=x\cdot y

G\ kertaa G

G

x^{-1}\in G

x\in G

G

m

♦ Topologian perusrakenne , topologisen avaruuden käsite määritellään mielivaltaiseksi joukoksi , jossa on kiinteä joukko osajoukkoja , jotka sisältävät ja ja jotka on suljettu liitoksien ja äärellisten leikkauspisteiden alle (tällaista osajoukkojen joukkoa kutsutaan topologiaksi set , ja elementtejä kutsutaan avoimina joukoiksi ) .

X

{\mathcal {U}}

X

X

\varno mitään

{\mathcal {U}}

X

X

{\mathcal {U}}

X

♦ Vastaavasti muualla matematiikassa (lukuun ottamatta vain joitakin matemaattisen logiikan osa-alueita, jotka toimivat perustana itse joukkoteorian rakentamiselle ja/tai tutkivat muodollisesti yleisempiä kysymyksiä) käytetyt käsitteet määritellään joukoiksi (ehkä jonkinlaisiksi erityispiirteiksi). ) ja niihin määritellyt lisärakenteet (jotka määritellään myös vaaditun muotoisiksi ryhmiksi) [25] . Näitä ovat erityisesti

hilat , renkaat , moduulit , kentät , vektoriavaruudet , yleisemmin kaikki algebralliset järjestelmät algebrassa ,
jakoputket , joissa on kaikenlaisia lisärakenteita , kuten metriikka , liitettävyys , kaarevuus jne. geometriassa ,
mittaa funktioiden ja niiden analyysissä generoimien operaattoreiden tiloilla ,
todennäköisyysavaruudet ja satunnaismuuttujat todennäköisyysteoriassa , _
objektit, joilla on morfismeja kategoriateoriassa jne.

Itse asiassa kaikkia matemaattisia teorioita kuvataan nyt jonkin tähän tarkoitukseen kehitetyn standardiluettelon [26] joukkoteorian määritelmällisiksi laajennuksiksi (ja suurimmassa osassa tapauksista mikä tahansa tämän luettelon teoria sopii), ja se on tätä tarkoitusta varten. Tästä syystä joukkoteoriaa pidetään aikamme matematiikan kielenä. [3]

Matematiikan kehitys on osoittanut, että joukon käsite itsessään vaatii huolellista määrittelyä, jotta sen ominaisuuksien ymmärtäminen ei johda ristiriitaisuuksiin . Tämän ongelman ratkaisemiseksi säännöt teorioiden konstruoimiseksi, kuten ne, joissa joukkojen ominaisuudet pitäisi kuvata, formalisoitiin tiukasti, ja nykyisissä (aksiomaattisissa) teorioissa rakennettiin näiden uusien sääntöjen mukaan, ja niitä kutsuttiin ensimmäisen kertaluvun teorioiksi [27] . ] [28] , moniselitteisyyden elementit eliminoidaan ja valitut aksioomat käyvät läpi ensisijaisen tarkistuksen ilmeisten absurdiuuksien esiintymisen varalta. [29]

Näin saatiin eroon kaikki 1900-luvun alussa ilmaantuneet matematiikan ristiriidat (kuitenkin ilman takeita siitä, että uusia ristiriitoja ei ilmene tulevaisuudessa [30] ). Toisaalta havaittiin nopeasti, että matemaatikoilla oli erilaisia mieltymyksiä aksioomien valinnassa, ja tämä johti lukuisten ei-ekvivalenttien aksiomaattisten joukkoteorioiden syntymiseen [31] . Suosituimmat niistä ovat nyt

Zermelo-Fraenkelin teoria ZF [32] [33] erilaisine muunnoksineen, erityisesti siihen liitettynä valinnan aksiooman kanssa (tätä ZF:n versiota kutsutaan nimellä ZFC) ja/tai Grothendieckin universumia ,
von Neumann-Bernays-Gödelin NBG - teoria [34] ja
MK Morse-Kellyn teoria [35] .

Uskotaan, että jokaisella niistä on omat etunsa ja haittansa. [36] ZF-teoria ilmestyi historiallisesti ensimmäisenä, ja useimpiin matemaattisiin ongelmiin se yleensä riittää, joten käytön suhteen se on paljon muita edellä. Kuitenkin nykyaikaisilla abstrakteilla matematiikan alueilla, erityisesti missä käytetään kategoriateorian menetelmiä , kuten esimerkiksi algebrassa tai funktionaalisessa analyysissä , voi olla toivottavaa tarkastella joukkoja yleisempiä muodostelmia, ns . joita ei ole ZF:ssä, ja näihin tarkoituksiin valitaan yleensä NBG tai MK. [36] NBG:n etuna tässä luettelossa on sen rajallinen aksiomatisoitavuus. [37] [34] Mutta sekä ZF että NBG ovat MK:ta huonompia eleganssin ja mahdollisuuksien suhteen. [36] MK:n (kuten NBG:n) haittapuoli on kuitenkin se, että tässä teoriassa ei ole mahdollista pitää mielivaltaisia luokkia sisältäviä luokkia laajempia muodostelmia elementteinä (mikä on myös toivottavaa joillakin matemaattisilla tieteenaloilla, kuten esim. luokkateoria ). [38] Tämä mahdollisuuksien rajaongelma ratkaistaan toisinaan lisäämällä MK:hen (ja samalla tavalla tämä temppu toimii ZF:ssä ja NBG:ssä) Grothendieckin universumin olemassaolon aksiooma ja nimeämällä objektit uudelleen. [39]

Yhdessä nykyaikaiset aksiomaattiset joukkoteoriat muodostavat järjestelmän, jolla on yhteinen kieli ja menetelmät (ja erot vain aksioomiluetteloissa), jonka tarkoituksena on tarjota matemaatikoille työkalut kaikkien muiden olemassa olevien ja mahdollisesti olemassa olevien matemaattisten objektien rakentamiseen. tulevaisuudessa tarvitaan, ja tätä teoriajärjestelmää yhdessä matematiikan alueen kanssa, johon ne on rakennettu, matemaattiseksi logiikaksi , on tapana kutsua matematiikan perusteita . Osana matemaattista logiikkaa tämä sisältää myös vaihtoehtoiset teoriat, joissa matematiikan pääkäsitteiksi ehdotetaan joukkojen sijaan muita muotoja, erityisesti abstraktien kategorioiden esineitä , joita perinne ei kuvaile (konstruktioina ZF:ssä, NBG:ssä tai MK:ssa) , mutta suoraan, itsenäisenä ensimmäisen asteen teoriana. [40]

Historia

Egyptiläisten ja babylonialaisten matemaatikoiden tähän päivään asti säilyneet teokset sisältävät vain käytännön esimerkein selitettyjä laskennallisia algoritmeja. Niissä ei ole todisteita; ei ole selvää, miten tulokset löydettiin ja perusteltiin tai olivatko ne perusteltuja. Muinaisen Kiinan matemaatikoiden töissä on erillisiä todisteita algebrallisista ja geometrisista väitteistä, mutta ne eivät muodosta yhtä loogisesti yhdistetyn tiedon järjestelmää [41] [42] .

Muinainen aika

Muinaisen kreikkalaisen matematiikan ideologiset motiivit kehitti Pythagoraan koulukunta , joka otti loogisen todisteen matematiikan teorian välttämättömäksi osaksi ja kehitti todistusmetodologian, mukaan lukien " todistaminen ristiriitaisesti " [43] . Pythagoralaisten perusesineitä olivat luonnolliset luvut ( he eivät pitäneet murtolukuja lukuina, vaan suhteina ). Pythagoralaisen matematiikan filosofinen perusta oli uskomus, että maailmankaikkeus luotiin matemaattisen suunnitelman mukaan "kaikki on numeroa", josta seurasi, että luonnonlait ovat tiedossa, matematiikkaa on vain yksi ja se sisältää järjestelmän. ehdottomista, ikuisista totuuksista. Edistymistä matematiikan soveltamisessa tähtitiedossa (erityisesti pimennyksen ennustamisessa ), musiikissa, optiikassa ja maanmittauksessa nähtiin näiden näkemysten vahvistukseksi. Platon meni pidemmälle julistaen, että matemaattiset objektit ovat todellisia jossain ihanteellisessa "ideoiden maailmassa", jonka varjo on aisteillamme havaittava maailma [44] .

Pythagoralaisten geometriset tutkimukset, jotka perustuvat idealisoituihin pisteiden , viivojen ja muiden kuvioiden käsityksiin , aiheuttivat jo 500-luvulla eKr. e. kritiikki Zenon Eleasta, joka esitti aporioillaan kysymyksen: kuinka todellinen liikepolku voi koostua jatkumattomista kohdista? Tästä ongelmasta (tilan ja ajan diskreettisyys tai jatkuvuus) keskustellaan edelleen tiedefilosofiassa [45] [46] .

5 -luvulla eKr e. tapahtui tapahtuma, joka nykykielessä voidaan arvioida matematiikan perusteiden ensimmäiseksi kriisiksi [47] - pythagoralaiset havaitsivat, että neliön lävistäjä ei ole suhteessa sen kylkeen, eli niiden suhdetta ( ) ei voida ilmaista myöskään luonnollisella luvulla tai murtoluvulla. Hän onnistui löytämään tien ulos 4. vuosisadalla eKr. e. Eudoxus of Cnidus , joka esitteli numeroiden ohella geometristen suureiden (pituudet, pinta-alat, tilavuudet) käsitteen. Homogeenisille suureille määriteltiin numeeristen operaatioiden kaltaisia aritmeettisia operaatioita [2] . ${\sqrt {2}}$

Ensimmäinen yhtenäinen matematiikan perusteiden järjestelmä oli Eukleideen " periaatteet " (III vuosisata eKr.), josta tuli pitkäksi aikaa matemaattisen teorian malli ja myöhempien saavutusten perusta (käytännössä ei tiedetä Eukleideen edeltäjistä, jotka epäilemättä olemassa). Tässä Eudoxusta seuranneessa työssä matematiikan perustaksi asetettiin geometria aritmetiikan sijaan. Loogisen päättelyn säännöt olivat aiemmin, 400-luvulla eKr. e., Aristoteles yksityiskohtaisesti . Ensimmäisessä Elementtien kirjassa Eukleides antaa 14 geometrian ja aritmeettisen aksioomia (vittä ensimmäistä kutsutaan usein postulaateiksi), sitten niistä johdetaan loogisesti lukuisia lauseita. Jokainen lause on johdettu joko aksioomista tai muista lauseista (jonka totuus on jo todistettu aiemmin), ja Aristoteleen logiikan lakien mukaan myös uusi lause on tosi. Eudoxuksen määrien teorian (olennaisesti lyhyt versio nykyaikaisesta reaalilukuteoriasta ) esitti Eukleides Elements-kirjan viidennessä kirjassa, ja sitä käytettiin Euroopassa 1600-luvulle asti. Suureiden aritmetiikka mallinsi Euklids segmenttien , suorakulmioiden ja suuntaissärmiöiden operaatioiden perusteella [2] [48] .

Jo muinaisina aikoina euklidisen työn puutteet pantiin kriittisesti merkille, erityisesti Arkhimedes huomautti tarpeesta lisätä aksiooma, jota nyt kutsutaan " Arkhimedesen aksiomaksi " (sen muotoili Eudoxus). Ajan myötä havaittujen puutteiden määrä kasvoi vähitellen [49] . Eukleideen aksioomien määrä osoittautui riittämättömäksi, monet hänen päättelynsä perustuvat implisiittisiin tai visuaalisiin todisteisiin. Ensinnäkin tämä koskee liikkeen käsitettä , jota käytetään implisiittisesti monissa paikoissa - esimerkiksi asetettaessa kolmioita päällekkäin todistamaan niiden tasa-arvoa. Proclus totesi jo tämän tosiasian merkittävänä metodologisena puutteena. Euklid ei antanut liikkeen aksioomia, ehkä jotta ei sekoitettaisi korkeaa geometriaa "matalaan" mekaniikkaan. Nykyaikaiset aksiomaatiikan kirjoittajat tarjoavat erityisen ryhmän " kongruenssiaksioomia ". Euklidesin aksiomatiikka ei salli todisteiden kannalta tärkeitä tosiasioita - esimerkiksi sitä, että kolmion kaikkien kolmen sivun läpi ei ole suoraa tai että kaksi säteistä R ympyrää , joiden keskipisteet ovat etäisyydellä R , leikkaavat kaksi pistettä [50] .

Myöhemmin matemaatikot luopuivat ajatuksesta rakentaa aritmetiikkaa geometrian perusteella ja korvasivat sen päinvastaisella: Descartesin (XVII vuosisadan) analyyttisestä geometriasta alkaen geometriset ongelmat ratkaistaan numeeristen yhtälöiden avulla [48] [51] .

Eurooppa 1600-1700-luvuilla

Keskiajan ja uuden ajan alun eurooppalaiset tiedemiehet jakoivat muinaiset ajatukset siitä, että ylhäältä laaditut luonnonlait perustuivat matemaattisiin periaatteisiin . Tämä ymmärrettiin siten, että ihmiset eivät luo matemaattisia teorioita, vaan löytävät ne, jotka alun perin rakennettiin universumiin [52] . Rene Descartes kirjoitti vuonna 1637: "Kaikista tieteistä totuutta koskaan etsineistä vain matemaatikot ovat kyenneet saamaan todisteita, toisin sanoen osoittamaan syitä, jotka ovat ilmeisiä ja luotettavia"; hän kutsui matematiikkaa "kaikkien tieteiden olemukseksi". Samanlaisia näkemyksiä olivat Galileo Galilei , Blaise Pascal , Isaac Newton ja muut fysiikan perustajat. Siihen mennessä matematiikka oli kasvanut kauas muinaisista aiheista - uusia teorioita, uudentyyppisiä lukuja, muita matemaattisia objekteja ilmestyi, joiden perustelut esitettiin alun perin intuitiivisella tasolla tai puuttuivat kokonaan [53] .

1600-luvun lopulla tapahtui tärkeä tapahtuma: Newton ja Leibniz loivat matemaattisen analyysin , jota silloin kutsuttiin " infinitesimaalien analyysiksi (tai laskennaksi) . Matematiikan laajuus eri tieteissä on laajentunut useaan otteeseen ja menetelmät ovat syventyneet merkittävästi. Silloisen analyysin tekniikka perustui kuitenkin algebrallisiin operaatioihin uudella matemaattisella objektilla — äärettömän pienillä suureilla — joiden merkitys selitettiin melko epämääräisillä lauseilla [54] , ja menettelyt niiden kanssa työskentelyyn näyttivät melko ristiriitaisilta: kurssilla Laskennassa infinitesimaalit käsiteltiin ensin nollasta poikkeavina lukuina (esimerkiksi jaettuna toisilla), lopuksi ne rinnastettiin nollaan. Uuden matematiikan haaran piti löytää yhtä ankara perustelu kuin Eukleideksen, mutta se ilmestyi vasta puolitoista vuosisataa myöhemmin, 1800-luvulla [55] .

Vuonna 1784 Berliinin tiedeakatemia käynnisti kilpailun parhaan selityksen saamiseksi "miten niin monta oikeaa lausetta pääteltiin ristiriitaisesta oletuksesta" infinitesimaalien olemassaolosta. Tähän kysymykseen ei saatu tyydyttävää vastausta. Voltaire , ironisesti tämän kuvan suhteen, määritteli analyysin "taiteena laskea ja mitata tarkasti se, jonka olemassaolo on mielelle käsittämätöntä" [56] .

Toiminnon jatkuvuus tällä ajanjaksolla ymmärrettiin puhtaasti intuitiivisesti, reaalilukuteoria puuttui. Analyysin perusteiden epämääräisyys, kuten 1800-luvulla kävi ilmi, johti lukuisiin virheisiin - virheellisiä lauseita ilmaistiin ja jopa todistettiin, muissa tapauksissa lauseiden ehdot muotoiltiin liian laajasti. Esimerkiksi André Marie Ampère ja Joseph Louis François Bertrand osoittivat, että mikä tahansa jatkuva funktio on differentioituva , käytettyjen sarjojen konvergenssia ei testattu. Niels Henrik Abel valitti jo vuonna 1826 kirjeessään: "Analyysin korkeammissa osissa on vain muutama lause, joka on todistettu enemmän tai vähemmän hyväksyttävällä tarkkuudella" [57] .

1800-luku

1800-luvun alussa vain euklidisella geometrialla oli suhteellisen tiukka perustelu, vaikka sen ankaruutta pidettiin jo tuolloin riittämättömänä. Ei-euklidisen geometrian ilmaantumisen myötä kuitenkin myös usko kaikelle matematiikalle yhteiseen alkukäsitteiden ja premissien järjestelmään horjui. Kuten Edward Kasner ja James Newman ovat huomauttaneet , "ei-euklidinen harhaoppi" pakotti harjoittamaan matemaattista itsetutkiskelua eli analyysiä siitä, kuinka matematiikan eri osat liittyvät toisiinsa ja matematiikkaan kokonaisuutena [58] [59 ]. ] .

Matematiikan aksiomatisointi

1800-luvun ensimmäisellä puoliskolla Augustin Louis Cauchy antoi vihdoin selkeän perustelun rajan käsitteeseen perustuvalle analyysille ; samaan aikaan tietyntyyppisistä luvuista saadut infinitesimaalit muuttuivat nollaan pyrkiviksi muuttujiksi. Cauchyn lähestymistapa ei kuitenkaan ollut vielä täysin tiukka, koska se ei sisältänyt reaalilukuteoriaa . Ehkä siksi Cauchy itse ei välttänyt virheitä - hän oli esimerkiksi varma, että jatkuvien funktioiden sarjan pistesumma on jatkuva ja että tällaiset sarjat voidaan aina integroida termi kerrallaan. Analyysin perusteet viimeisteli puoli vuosisataa myöhemmin Karl Weierstrass . Vuonna 1837 William Rowan Hamilton laillisti negatiiviset ja kompleksiluvut täysin kuvailemalla niiden tiukat mallit lukupareina. Ei-euklidisen geometrian löytämisellä ja perustelemisella euklidiselle täysimittaiseksi vaihtoehdoksi [60] [61] oli myös vahva vaikutus matematiikan filosofiaan .

1800-luvun jälkipuoliskolla tapahtui kaksi tärkeää tapahtumaa - joukkoteorian ja matemaattisen logiikan luominen . Vuonna 1879 Frege julkaisi aksioomijärjestelmän matemaattista logiikkaa varten , 1880-luvulla Peano ehdotti tiukkaa aksioomajärjestelmää luonnollisille luvuille ja Dedekind reaaliluvuille [62] [63] . Vuonna 1899 julkaistiin Hilbertin klassinen monografia "The Foundations of Geometry", jossa kaikki euklidisen aksiomaatiikan puutteet poistettiin. Tämän seurauksena 1800-luvun loppuun mennessä lähes kaikki matematiikka rakennettiin tiukan aksiomatian pohjalta ( todennäköisyysteorian aksiomatiikka ilmestyi vasta vuonna 1929).

Joukkoteoria ja perustusten kriisi

Vuonna 1873 Georg Cantor esitteli mielivaltaisen (äärellisen tai äärettömän ) lukujoukon käsitteen ja sitten yleisen joukon käsitteen , erittäin abstraktin matematiikan käsitteen. Yksi-yhteen-kartoitusten avulla hän esitteli joukkojen ekvivalenssin käsitteen , määritteli sitten enemmän tai vähemmän kardinaliteettien vertailun ja lopuksi luokitteli joukot niiden kardinaalisuuden mukaan: äärellinen, laskettava , jatkuva jne.

Aluksi joukkoteoria sai hyväntahtoisen vastaanoton monilta matemaatikoilta. Se auttoi yleistämään Jordanian mittateoriaa , sitä käytettiin menestyksekkäästi Lebesguen integraalin teoriassa ja sitä pidettiin kaiken matematiikan tulevaisuuden perustana. Myöhemmät tapahtumat osoittivat kuitenkin, että tavallinen logiikka ei sovellu äärettömien objektien tutkimiseen, eikä intuitio aina auta tekemään oikeaa valintaa. Ensimmäinen ristiriita tuli ilmi, kun tarkasteltiin suurinta joukkoa, kaikkien joukkojen joukkoa (1895). Se oli jätettävä matematiikasta mahdottomaksi. Kuitenkin myös muita ristiriitoja ( antinomioita ) ilmaantui [64] .

Henri Poincare , joka aluksi hyväksyi joukkoteorian ja jopa käytti sitä tutkimuksessaan, myöhemmin hylkäsi sen voimakkaasti ja kutsui sitä "vakavaksi matematiikan sairaudeksi". Toinen ryhmä matemaatikoita, mukaan lukien Russell ja Hilbert , astui esiin tietyin varauksin puolustaen "kantorismia" [65] . Paradoksien välttämiseksi Russell (1905), Poincaré (1906) ja heidän jälkeensä Hermann Weyl (1918) vaativat, että kaikki matematiikan määritelmät ja aksioomit ovat predikatiivisia , eli määritettävää matemaattista objektia X ei pitäisi antaa tai kuvata X:n sisältävän objektiluokan termejä, koska silloin syntyy noidankehä ja ristiriidat ovat mahdollisia. Tämän vaatimuksen analysointi osoitti kuitenkin, että toisaalta se ei riitä, koska se ei estä täysin paradoksien ilmaantumista, ja toisaalta tekee joistakin klassisista määritelmistä laittomia, esim. joukon ylä- ja alarajat [66] [67] .

Värit lisättiin kuvaan " valinnan aksiooman " löytämisellä (1904, Zermelo ), jota, kuten kävi ilmi, alitajuisesti sovellettiin monissa matemaattisissa todisteissa (esimerkiksi reaalilukujen teoriassa). Se laajentaa joukkojen muodostamismahdollisuuksia siinä määrin, että jotkin sen seurauksista alkavat olla ristiriidassa intuition kanssa ( Banach-Tarskin paradoksi jne.). Tämä seikka sai jotkut matemaatikot (erityisesti Émile Borel ja Felix Bernstein ) kyseenalaistamaan sen soveltamisen laillisuuden.

Keskustelu valinnan aksiooman avulla konstruoitujen joukkojen olemassaolosta esitti matemaatikoille toisen perustavanlaatuisen kysymyksen: mitä "olemassaolon" käsite tarkoittaa matematiikassa?

1900-luku

1900-luvulla oli mahdollista rakentaa aksiomaattisia joukkoteorioita vapaasti aiemmin löydetyistä ristiriitaisuuksista, ja tästä syystä useimmat matemaatikot lopulta hyväksyivät joukkoteorian. Keskustelu yksityiskohdista ja vaihtoehdoista jatkui kuitenkin 1950-luvulle asti ja on jossain määrin ajankohtainen tähän päivään asti [2] . Aluksi näissä keskusteluissa nousi esiin kolme päälähestymistapaa, joita kutsuttiin logismiksi, intuitionismiksi ja formalismiksi.

Logismi

Bertrand Russell hahmotteli logismin ajatuksia yhteisessä kolmiosaisessa monografiassa Principia Mathematica (1910-1913) Alfred Whiteheadin kanssa , mikä vaikutti merkittävästi matemaattisen logiikan kehitykseen . Logismi väittää, että matematiikka ja logiikka ovat yksi kokonaisuus, eli logiikan käsitteet ja lait riittävät paitsi lauseiden johtamiseen, myös matemaattisten objektien määrittelyyn . Gottlob Frege (1884) oli ensimmäinen, joka ilmaisi samanlaisia näkemyksiä . Russellin ja Whiteheadin kirjassa kirjoittajat antavat logiikan aksioomit, ensisijaiset (määrittämättömät) käsitteet ovat propositions , totuus , loogiset operaatiot , propositionaaliset funktiot [68] .

Kirjoittajat päättelevät johdonmukaisesti aksioomista matemaattisen logiikan pääsisällön ja siirtyvät sitten luokkiin (joukkoon). Asettamalla tietyn ominaisuuden lausefunktion avulla voit määrittää tietyn joukon (tämän ominaisuuden kantajat). Joukkojen osalta Russellin ja Whiteheadin aksiooma sisältää valinnan aksiooman ja äärettömyyden aksiooman (jälkimmäinen varmistaa äärettömien joukkojen olemassaolon). Paradoksien välttämiseksi kirjoittajat kieltävät välittömästi itsensä rakentaman " tyyppiteorian " avulla sisältävät joukot . Joukkot ja lauseet erotetaan tiukasti niiden tyyppitason mukaan, mielivaltainen tyyppien sekoittaminen on mahdotonta. Tällainen organisaatio sulkee pois kaikki tunnetut paradoksit, mutta se mutkistaa muotoiluja huomattavasti, koska esimerkiksi luonnollisilla ja reaaliluvuilla on erilaisia tyyppejä. Tämän ongelman ratkaisemiseksi Russell ja Whitehead esittelivät erityisen pelkistyvyysaksiooman (toisin sanoen pelkistysaksiooman), jonka avulla voidaan alentaa yhden tai kahden muuttujan funktioiden tyyppiä ja siten asettaa objektit vertailukelpoiselle tasolle. [69] .

Kirjoittajat suorittavat lukujen (äärellisen ja transfiniittisen ) määrittelyn ja niiden ominaisuuksien todistamisen joukkoteoreettisesti: luku on joukkojen luokka (tarkemmin sanottuna luokkien luokka), joilla on sama kardinaliteetti . Sen jälkeen ei ole enää vaikeaa johtaa aritmeettisen, alkeisgeometrian, analyysin ja muiden matematiikan alojen lauseita.

Logismin viimeaikaisia kannattajia ovat Willard Quine ja Alonzo Church . Brittilogiikka Crispin Wright ehdotti vuonna 1983 uutta versiota matematiikan logistisista perusteista yksinkertaistetulla aksiomatiikalla ja ilman paradokseja. Wrightin versio perustuu Fregen varhaisen virheellisen aksiomatian korjaukseen. Toisen asteen logiikan ja Humen periaatteen (jonka johdonmukaisuus pian todistettiin) avulla Wright johti kaiken aritmeettisen loogisesta aksiomatiikasta. Tätä lähestymistapaa on kutsuttu uuslogismiksi .

Intuitionismi

Logismin ideologinen vastakohta oli intuitionismi , jonka kannattajat asettivat intuition totuuden lähteeksi logiikan edelle. Intuitionismin edelläkävijöitä ovat Leopold Kronecker ja Henri Poincaré , ja Leutzen Egbert Jan Brouwer esitti tämän matematiikan filosofian yksityiskohtaisen esityksen 1910-luvulla . Brouwerin ajatuksia puolustivat aktiivisesti Hermann Weyl ja Arend Heyting [70] .

Brouwerin ja muiden intuitionistien mukaan matematiikka on täysin ihmisen ajattelun luomaa, eikä se ole riippuvainen ulkoisesta maailmasta. Ihmisen toiminnan harjoittaminen on hyödyllistä uusien matemaattisten ideoiden kehittämisessä, mutta ei periaatteessa välttämätöntä niiden syntymiselle.

Intuitionistisen matematiikan perustotuudet ovat intuitiivisesti ilmeisiä ihmisen esityksiä, joista tärkeimmät ovat luonnollisen luvun ja matemaattisen induktion käsitteet . Matemaattinen ajattelu kaikissa ilmenemismuodoissaan on myös syvästi intuitiivinen, ja logiikka sille ei ole muuta kuin testaustyökalu; logiikka perustuu matematiikkaan, ei matematiikka logiikkaan (jotkin loogiset periaatteet sisältyvät kuitenkin olennaisena osana matemaattista intuitiota). Aksiomatisointi ja johdonmukaisuustodistukset ovat ajanhukkaa, intuitio ei sisällä ristiriitoja. Brouwer piti geometrian syynä solid-state-fysiikkaa ja poisti sen matematiikan perusteista; Ei-euklidiset geometriat osoittavat Brouwerin mukaan spatiaalisen intuition haurauden ja monitulkintaisuuden [71] [72] .

Brouwer vaati kaikkien intuitiivisesti kyseenalaisten näkökohtien poistamista logiikasta ja matematiikasta, teki vastaavan perusteiden uudelleenarvioinnin ja rajoitti merkittävästi matematiikkaa ja logiikkaa useisiin suuntiin. Hän totesi, että ihmisen intuitio käsittelee aina äärellisiä joukkoja, joten todellisuudessa äärettömiä joukkoja ei ole olemassa ja ne on suljettava pois matematiikasta. "Olemassaololauseet" tulisi kieltää, jos ne eivät sisällä konstruktiivista rakennusalgoritmia, "suljetun keskikohdan lain" käyttö ( todistuksessa "ristiriidalla" ) tulee kieltää jne. Merkittävä osa menneisyyden matemaattisista saavutuksista vuosisatoja tällaisella tarkistuksella osoittautuu virheelliseksi tai ei todistettu; Ainakin alkeismatematiikkaa yritettiin rekonstruoida intuitionistisilla periaatteilla, mutta todistukset osoittautuivat "siettömän hankalia". Tällaiset herkät rajoitukset eivät sopineet useimmille matemaatikoille. Pian intuitionistit jakautuivat useisiin koulukuntiin, jotka asettivat erilaisia radikaaleja vaatimuksia matematiikan tarkistamiselle [73] .

Kriitikot huomauttivat, että intuitio on erilainen eri ihmisillä ja ihmismieli kykenee tekemään virheitä, joten ei voi olla intuitiivisia totuuksia, jotka ovat yhteisiä kaikille ihmisille [74] .

Hilbert arvioi ironisesti intuitionistien uudelleenjärjestämän matematiikan "säälittäväksi jäännökseksi, harvoiksi, epätäydellisiksi, toisiinsa liittymättömiksi yksittäisiksi tuloksiksi"; hänen mielestään intuitionismi yrittää silpoa ja tuhota matematiikkaa. Bourbaki piti intuitionistista filosofiaa historiallisena uteliaisuutena. Neuvostoliitossa suosituksi tuli " rakentavan matematiikan " koulu, jota johti A. A. Markov [75] [76] .

Formalismi

Aktiivisinta työtä matematiikan perusteiden parissa suoritti 1900-luvun ensimmäisellä puoliskolla Hilbertin koulukunta, jonka ajatuksia kutsuttiin " formalismiksi ". Geometrian perustan menestyksen rohkaisemana Hilbert ilmoitti tavoitteekseen rakentaa koko matematiikan (ja tulevaisuudessa myös fysiikan) yhdelle loogiselle perustalle. Hän uskoi, että matematiikan perustana oleville tieteenaloille, kuten joukkoteorialle ja aritmetiikalle, voidaan löytää aksioomijärjestelmä, josta puhtaasti syntaktisilla muunnoksilla on mahdollista johtaa mikä tahansa tämän teorian lause (ja tulevaisuus, kaikki tulokset yleensä vakiinnutetaan matematiikassa). Lisäksi hän uskoi, että näiden tieteenalojen osalta olisi mahdollista todistaa niiden johdonmukaisuus ja täydellisyys (ensimmäinen mahdollistaisi matematiikan ristiriitojen poistamisen ja sen, että uusia ristiriitoja ei ilmene tulevaisuudessa).

Tämä ohjelma johti nopeasti tiettyyn menestykseen: Hilbert ja hänen oppilaansa määrittelivät järjestelmän matemaattisten lauseiden muodolliseen kirjaamiseen ja säännöt joidenkin väittämien johtamiseksi toisista tällä kielellä (sellaisia järjestelmiä kehitettiin useita, yksi havainnollistavimmista on G. Gentzenin peräkkäinen laskenta ) . , tällaisella laskennalla, jotta kaikki tunnetut matemaattiset tulokset voidaan kääntää tälle kielelle; tämä mahdollisti niiden johtamisen myöhemmin matematiikan taustalla olevan teorian (kuten joukkoteorian) asianmukaisista aksioomeista. Samaan aikaan tällaisella matemaattisten käsitteiden ja tekniikoiden muodollisella tarkennuksella oli mahdollista päästä eroon kaikista siihen aikaan matematiikassa kertyneistä ristiriitaisuuksista. [77] [78]

Vuonna 1931 ilmestyneet Gödelin epätäydellisyyslauseet osoittivat kuitenkin odottamatta, että kirjaimellisesti otettuna Hilbertin ohjelma on mahdoton toteuttaa: ensinnäkin havaittiin, että minkä tahansa riittävän laajan muodollisen teorian (tarkemmin sanoen minkä tahansa teorian, joka sisältää luonnollisten lukujen aritmetiikkaa) täydellisyys. ) on ristiriidassa sen johdonmukaisuuden kanssa, ja toiseksi on mahdotonta todistaa minkään aritmetiikkaa sisältävän teorian johdonmukaisuutta, ja voidaan puhua vain tällaisten teorioiden suhteellisesta johdonmukaisuudesta. [79] [80]

Esimerkkinä voidaan mainita, että Gentzen osoitti vuonna 1936 Peanon aritmeettisen johdonmukaisuuden rakentamansa teorian puitteissa, joka sallii tietyn typistetyn version transfiniittisestä induktiosta [81] - tämä tulos kuitenkin pätee vain sillä oletuksella, että Gentzenin teoria on itse. johdonmukainen (joka pysyy todistamattomana ja sitä paitsi ei voida todistaa Gödelin lauseella ). Toinen esimerkki: Hilbertin kuoleman jälkeen Peanon aksiomatiikassa löydettiin konkreettisia esimerkkejä väitteistä, joita ei voida todistaa Peanon teoriassa, mutta todistettavissa Peanon aritmetiikkaa sisältävissä standardijoukkoteorioissa - Goodsteinin lause [82] , Paris-Harringtonin lause [83] ja toiset, ja nämä havainnot osoittavat Peanon aksioomijärjestelmän epätäydellisyyden Gödelin teoreemoista riippumatta.

Ei voida sanoa, että Hilbertin lähestymistapa itsessään olisi saanut yksiselitteistä tukea matemaatikoiden keskuudessa. Hänen väitöstään, jonka mukaan mitä tahansa johdonmukaista matemaattista objektia tulisi käsitellä olemassa olevana, ei intuitionistit voinut hyväksyä. Jotkut matemaatikot uskoivat, että totuuden korvaaminen johdettavuudella, muodollinen syntaktinen "peli kaavojen kanssa" riistää matemaattisilta totuuksilta merkityksen, tekee matematiikan merkityksettömäksi eivätkä voi kuvastaa matematiikan yhteyttä todelliseen maailmaan [84] .

Siitä huolimatta Hilbertin ja hänen koulunsa opinnot jättivät syvimmän jäljen matematiikan perusteisiin ja muokkasivat olennaisesti tämän tieteen nykyajan kasvot. Gödelin tulosten jälkeen formalismin kannattajien oli tehtävä tiettyjä muutoksia Hilbertin asettamiin tavoitteisiin (eli luopumaan toivosta todistaa joukkoteorian johdonmukaisuus ja täydellisyys, sellaisena kuin Hilbert ne ymmärsi), mutta Hilbertin luoma predikaattilaskenta hänen matemaattisen logiikan opiskelijansa toimivat perustana nykyaikaisten aksiomaattisten joukkoteorioiden rakentamiselle, jolle puolestaan kaikki moderni matematiikka rakentuu [85] [86] .

Nykyinen tila

Naiivin joukkoteorian ongelmien analyysi on osoittanut, että matematiikan kieli, erityisesti sen pääkonstruktiona käytetty joukon käsite, vaatii tarkan, formalisoidun kuvauksen väärinkäsitysten ja paradoksien välttämiseksi. Tämä johti 1900-luvun ensimmäisellä puoliskolla siihen, että Hilbertin ja hänen opiskelijoidensa luoman loogisen predikaattilaskennan pohjalta kehitettiin ensimmäisen asteen teorian käsite , joka ilmaisee matemaatikoiden nykyaikaista ymmärrystä aksiomaattisista teorioista ja teorioista. päättelysäännöt niissä. Sen jälkeen on rakennettu huomattava määrä ei-ekvivalentteja ensimmäisen asteen teorioita, joiden väitetään kuvaavan matematiikan peruskäsitteitä, ei vain joukkoteorian kielellä, vaan myös kategoriateorian kielellä . Perusteellisia tuloksia tällä alalla ovat

Gödelin epätäydellisyyslauseet (eli mahdottomuus todistaa johdonmukaisuutta tai täydellisyyttä) minkä tahansa (rekursiivisesti aksiomatisoidun) Peanon aritmetiikkaa PA tulkitsevan teorian [87] ja
Gödelin täydellisyyslause , joka muodostaa yhteyden johdettavuuden ja kaavan loogisen totuuden välillä [88] .

Nykyaikaisista aksiomaattisista joukkoteorioista, jo mainittujen ZF:n, NBG:n ja MK:n lisäksi, logiikot pitävät vaihtoehtoina Tarski-Grothendieckin teoriaa (TG), W. Quinen "New Foundations" (NF), positiivisen joukkoteorian. O. Esser ( ), konstruktiiviset joukkoteoriat, joukkoteoriat epästandardianalyysiin , "taskujoukkoteoriat" ja muut [31] . ${\text{GPK}}_{\infty }^{+}$

1960-luvulla W. Lover [40] ehdotti ensimmäisen asteen teoriaa, joka kuvaa kategorian käsitettä itsenäisesti, ilman perinteistä viittausta joukkoteoriaan. Epämuodollisesti matematiikan luokka ymmärretään joukkona esineitä, joissa on muunnosjärjestelmä (morfismit) kohteesta toiseen. Joukkoteorian kielessä objektin käsite tulkitaan joukoksi, jolla on lisärakenne, ja morfismi tulkitaan suhteeksi (yleensä mappaukseksi), joka säilyttää tällaisen rakenteen. Esimerkkejä luokista ovat

sarjat kartoituksella,
ryhmät, joilla on homomorfismia,
topologiset avaruudet jatkuvalla kartoituksella,
hilat monotoneilla mappauksilla,

jne. Loverin teoria antaa mahdollisuuden tulkita aksiomaattisia joukkoteorioita kategorioiden erikoistapauksina, joten hänen rakentamansa muodollinen kieli voi vaatia oikeutta tulla matematiikan vaihtoehtoiseksi kieleksi. Tällä hetkellä tämä matematiikan alue kehittyy aktiivisesti. [89]

Tietokoneiden kehityksen yhteydessä vuoden 1970 tienoilla alkoi itsenäisesti ilmaantua eri paikoissa ajatuksia siitä, että matemaattiset todisteet voisivat automaattisesti todentaa tietokoneilla [90] . Useita todisteiden todentamisjärjestelmiä alettiin kehittää . Tämä herätti kiinnostuksen matematiikan perusteita kohtaan: jos aikaisemmat logiikot olivat kiinnostuneita paradokseista eroon pääsemisestä, niin nyt pääkysymykseksi on noussut sopivan kielen ja loogisen järjestelmän kehittäminen, joka soveltuisi lauseiden ja todisteiden kirjoittamiseen ja niiden jatkokäsittelyyn. vahvistusta tietokoneella. Käytännön tarve tälle syntyi tietokonealgoritmien ja ohjelmointikielten oikeellisuuden muodollisen todentamisen yhteydessä [91] .

Lisäksi on ilmaantunut kaksi uutta matemaattisten tulosten perustelemiseen liittyvää ongelmaa, jotka Brian Davisin mukaan ansaitsevat toisen kriisin nimen: joissakin lauseiden todisteissa on satoja sivuja monimutkaista tekstiä ja niitä on erittäin vaikea todentaa, ja osa tuloksista. (esim. neliväritehtävän ratkaisu tai Kepler-hypoteesi ), jotka on saatu tietokonelaskennalla, ja niiden luotettavuus riippuu laskentaohjelman oikeellisuudesta. Davis ennusti: "Vuoteen 2075 mennessä monet puhtaan matematiikan alueet rakennetaan teoreemojen käytölle, joiden todisteita yksikään maan päällä asuva matemaatikko ei voi täysin ymmärtää, ei yksin tai yhdessä", ja pääkriteeri uudet tulokset ovat matemaattisen yhteisön yksimielisiä [92] .

Tehokkain perusta useimpien tietokoneistettujen todisteiden tarkistusjärjestelmille on ollut λ-laskennan riippuvaiset muunnelmat , jotka hyödyntävät Curry-Howard-vastaavuutta , jonka mukaan konstruktiivinen matemaattinen todistus on jonkin tyypin asuttavuuden toteaminen. Ensimmäinen näistä järjestelmistä oli Nicolas de Bruijnin vuonna 1967 luoma Automath- kieli , ja tällaisten järjestelmien laajat ilmaisumahdollisuudet tarjoavat Per Martin-Löfin 91] intuitionistisen tyyppiteorian rakentamisen .

Nämä ajatukset saivat merkittävän sysäyksen V. A. Voevodskyn aloitteesta 2000-luvun ensimmäisen vuosikymmenen lopulla käynnistetyssä ohjelmassa matematiikan univalenssin perustan luomiseksi . Tuloksena saatiin muodollinen matemaattinen kieli, jossa mikä tahansa hyvin muotoiltu lausunto on invariantti isomorfismissa - tavoite, johon Mihai Mackai [91] pyrki . Homotopy-tyyppiteoria [93] , intuitionistisen tyyppiteorian muunnos, joka on varustettu kategorioteorian, algebrallisen topologian ja homologisen algebran käsitteillä, valittiin ohjelman perustaksi . Jos klassisessa perusteiden lähestymistavassa Hilbertin ja Tarskin mukaan logiikka on epistemologisesti ensisijainen - ensin määritetään looginen järjestelmä ja sitten tietyt matematiikan osat formalisoidaan sen keinoin, niin yksiarvoisten perusteiden tapauksessa logiikka ja matematiikka ovat samalla tasolla: samoilla konstruktioilla voi olla sekä looginen että esimerkiksi geometrinen tulkinta [94] . Voevodsky onnistui ratkaisemaan joukon tällaisten järjestelmien sisäisiä ristiriitoja ja soveltamaan niitä abstrakteihin matematiikan haaroihin.

Muistiinpanot

↑ Matematiikan perusteet . Great Soviet Encyclopedia, 3. painos, 18. osa, S. 1685. Haettu: 2. elokuuta 2019. (määrätön)
↑ 1 2 3 4 5 Britannica .
↑ 1 2 3 Kunen, 1980 , s. xi: "Joukkoteoria on matematiikan perusta. Kaikki matemaattiset käsitteet määritellään joukon ja jäsenyyden primitiivisillä käsitteillä. Aksiomaattisessa joukkoteoriassa muotoilemme muutamia yksinkertaisia aksioomia näistä primitiivisistä käsitteistä yrittääksemme vangita "ilmeisen totta" joukkoteoreettiset perusperiaatteet. Tällaisista aksioomista voidaan johtaa kaikki tunnettu atematiikka. (Joukkoteoria on matematiikan perusta. Kaikki matemaattiset käsitteet määritellään joukon ja jäsenyyden primitiivisten käsitteiden avulla. Aksiomaattisessa joukkoteoriassa muotoilemme muutamia yksinkertaisia aksioomia näistä primitiivisistä käsitteistä yrittääksemme vangita perus "ilmeisesti totta". "joukkoteoreettiset periaatteet. Tällaisia aksioomia saattaisi olla kaikki tiedossa oleva matematiikka on johdettu.)".
↑ Bourbaki N. Matematiikan arkkitehtuuri. Esseitä matematiikan historiasta / Kääntäjä I. G. Bashmakova, toim. K. A. Rybnikova. M.: IL, 1963. S. 32, 258.
↑ Sennhauser, Walter. Platon ja matematiikka. - Pietari. : RKHGA Publishing House, 2016. - S. 71-91; 315-331.
↑ Eukleideen alku. Kirjat I-VI. M.: OGIZ, 1948.
↑ Kunen, 1980 , s. 12.
↑ 12 Monk , 1969 , s. 21.
↑ Jech, 1997 , s. 7.
↑ Kelly, 1981 , s. 330.
↑ Määritelmä joukkona kuuluu puolalaiselle matemaatikolle Kazimierz Kuratowskille , mutta ennen häntä ajatus järjestetyn parin ja sen mukana karteesisen tuotteen (muilla, monimutkaisemmilla rakenteilla kuin Kuratowskin) määrittämisestä erikoistyyppisiksi joukoiksi ilmaisivat useat eri tahot. matemaatikot, erityisesti Norbert Wiener . $(x,y)$ $\{x,\{x,y\}\}$
↑ Kunen, 1980 , s. neljätoista.
↑ Jech, 1997 , s. yksitoista.
↑ Kelly, 1981 , s. 332.
↑ Enderton, 1977 , luvut 4.5.
↑ Roitman, 1990 , luku 4.
↑ Ciesielski, 1997 , luku 3.
↑ Monk, 1969 , s. 97-115.
↑ Jech, 1997 , s. 23.
↑ Kelly, 1981 , s. 344.
↑ Tässä ymmärretään ekvivalenssiluokka, johon pari kuuluu . ${\näyttötyyli [(n,m)]}$ $(n,m)$
↑ Tuotteet muodolla , jossa ja määritellään käyttämällä yllä olevaa upottelua kohdassa . $q'\cdot p$ $q'\in {\mathbb {N} }$ $p=[(n,m)]\in {\mathbb {Z} }$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$
↑ Tässä ymmärretään ekvivalenssiluokka, johon pari kuuluu . $[(p,q)]$ $(p,q)$
↑ Tai kartoituksia, joiden määrittelyalue on ja arvojoukko in (jossa ymmärretään -. karteesinen aste ). ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{m))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n))$ $n$ ${\mathbb {R} }$
↑ Tässä tarvitaan selvennystä: joskus syntyy tilanteita, joissa matemaatikon on "joukon" käsitteen sijaan käytettävä hieman laajempaa " luokka " käsitettä, joka on kuvattu von Neumannin - Bernaysin - Gödel NBG:n ja Morsen teorioissa. Kelly MK. Kirjoitamme siitä alla.
↑ Katso selitys alla.
↑ J. Shenfield. Matemaattinen logiikka. M.: Nauka, 1975. s. 42-43.
↑ Mendelson E. Johdatus matemaattiseen logiikkaan. M.: Nauka, 1984. s. 63-67.
↑ Matemaattinen logiikka. Matemaattinen tietosanakirja. V.3, M.: Neuvostoliiton tietosanakirja, 1982.
↑ Katso Hilbertin formalismi -osio alla.
↑ 1 2 Vaihtoehtoiset aksiomaattiset joukkoteoriat. Stanford Encyclopedia of Philosophy
↑ Kunen, 1980 .
↑ J. Shenfield. Matemaattinen logiikka. M.: Nauka, 1975. Luku 9.
↑ 1 2 Mendelson E. Johdatus matemaattiseen logiikkaan. M.: Nauka, 1984. Luku 4.
↑ Kelly, 1981 , s. 321-355.
↑ 1 2 3 Kunen, 1980 , s. 35-36.
↑ Kunen, 1980 , s. 35.
↑ Kunen, 1980 , s. 36: "Mikään kolmesta teoriasta, ZF, NBG ja MK, ei voi väittää olevansa "oikea". ZF vaikuttaa epäelegantilta, koska se pakottaa meidät käsittelemään luokkia, kuten teimme §9:ssä, metateorian ympärille. Kun annamme luokille muodollisen olemassaolon, on vaikea perustella NBG:n rajoitusta luokan ymmärtämisen aksiooman esiintymiselle, joten MK vaikuttaa oikealta teorialta. Kuitenkin, kun olemme päättäneet antaa luokille täyden oikeudet, on luonnollista tarkastella luokkien erilaisia ominaisuuksia ja yrittää muodostaa superluokkia, kuten . MK:ssa tällaisia esineitä voidaan käsitellä vain metateorian epäelegantilla ympärileikkauksella." $\phi$ $\{R\subseteq \operaattorinnimi {ON} \times \operaattorinimi {ON} :R{\teksti{ well-orders }}\operaattorinimi {ON} \}$
↑ Katso lisätietoja artikkelista "Conglomerate" .
↑ 1 2 F. William Lawvere. Kategoriat matematiikan perustana // Kategorisen algebran konferenssin julkaisuja. - Springer, Berliini, Heidelberg, 1966. - P. 1-20 . — ISBN 9783642999048 , 9783642999024 . - doi : 10.1007/978-3-642-99902-4_1 .
↑ Panov V.F., 2006 , s. 21.
↑ Matematiikan historia, osa I, 1970 , s. 178.
↑ Panov V.F., 2006 , s. 32.
↑ Kline M., 1984 , s. 20-25.
↑ Yanovskaya S.A. Onko "Zenon Aporiusena" tunnetut vaikeudet voitettu modernissa tieteessä? // Logiikkaongelmat . - M. , 1963. - S. 116 -136.
↑ Zeno of Elea // Stanford Encyclopedia of Philosophy.
↑ Plisko V. E., Khakhanyan V. Kh. Intuitionistinen logiikka . — Sivu 10. Haettu 24. marraskuuta 2017. (määrätön)
↑ 1 2 Matematiikan historia, osa I, 1970 , s. 78-80.
↑ Rashevsky P. K. Hilbertin "Geometrian perusteet" ja niiden paikka numeron historiallisessa kehityksessä // Hilbert D. Geometrian perusteet. - L .: GITTL, 1948. - S. 13-15 .
↑ Vygodsky M. Ya. Eukleideen "alku" // Historialliset ja matemaattiset tutkimukset . - M. - L .: GITTL, 1948. - Numero. 1 . - S. 257-264 .
↑ Bashmakova I. G. Luennot matematiikan historiasta antiikin Kreikassa // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . - M .: Fizmatgiz , 1958. - Nro 11 . - S. 309-323 .
↑ Kline M., 1984 , s. 45-46.
↑ Kline M., 1984 , s. 55-59, 63-71.
^ Aikaisemmin Archimedes , Cavalieri , Vallis ja muut matemaatikot käyttivät infinitesimaalien menetelmää heuristisena (katso Jakamattomien menetelmä ) ja edellytti, että tulos voidaan todistaa "oikeutetulla" tyhjennysmenetelmällä . Newton ja Leibniz eivät tehneet tällaista varausta; he pitivät infinitesimaalit oikeudellisena objektina.
↑ Kline M., 1984 , s. 152-156, 172-173.
↑ Kline M., 1984 , s. 164-165, 174-176.
↑ Kline M., 1984 , s. 187, 197.
↑ Kasner, Edward ja Newman, James Roy. Matematiikka ja mielikuvitus . - Dover Pubns, 2001. - s . 359 . - ISBN 0-486-41703-4 .
↑ Papadimitriou, 2011 : "Ei-euklidiset geometriat olivat paljastaneet matematiikan tekemisen vaarat ilman perusteellista ymmärrystä sen aksiomaattisesta perustasta. (Ei-euklidinen geometria paljasti vaarat, jotka liittyvät matematiikan tekemiseen ymmärtämättä täysin sen aksiomaattisia perusteita.)
↑ Panov V.F., 2006 , s. 477-482.
↑ Kline M., 1984 , s. 204-206.
↑ Panov V.F., 2006 , s. 485-486.
↑ Kline M., 1984 , s. 207.
↑ Panov V.F., 2006 , s. 506-510.
↑ Kline M., 1984 , s. 236-237.
↑ Matematiikan filosofia , 2.4.
↑ Kline M., 1984 , s. 240-242.
↑ Kline M., 1984 , s. 252-255.
↑ Kline M., 1984 , s. 257-260.
↑ Kline M., 1984 , s. 267-271.
↑ Kline M., 1984 , s. 271-274.
↑ Metafysiikka ja matematiikka, 2011 , s. 152, 442.
↑ Kline M., 1984 , s. 274-279.
↑ Kline M., 1984 , s. 280-281.
↑ Panov V.F., 2006 , s. 524.
↑ Kline M., 1984 , s. 278-279, 284, 418.
↑ Yu. L. Ershov, E. A. Palyutin, Mathematical Logic, M.: Nauka, 1987, s. 92-93: "ZFC:ssä ei ole vielä löydetty ristiriitoja. Toisaalta on todistettu, että jos ZFC on johdonmukainen, niin tätä tosiasiaa ei voida vahvistaa tämän teorian avulla.
↑ H.-D.Ebbinghaus, J.Flum, W.Thomas, Mathematical Logic, 1984, s. 112: "Kuitenkin se tosiasia, että ZFC:tä on tutkittu ja käytetty matematiikassa vuosikymmeniä ja mitään epäjohdonmukaisuutta ei ole löydetty, todistaa ZFC:n johdonmukaisuus."
↑ Mathematical Encyclopedic Dictionary, Moscow: Soviet Encyclopedia, 1988, s.410, artikkeli "Johdonmukaisuus": "Jokainen matemaattinen todiste johdonmukaisuudesta on suhteellista: se vain pelkistää kysymyksen yhden teorian johdonmukaisuudesta kysymykseen toisen teorian johdonmukaisuudesta. "
↑ Mathematical Encyclopedia, Moscow: Soviet Encyclopedia, 1982, s. 995, artikkeli "Johdonmukaisuus": "Jokainen johdonmukaisuuden todistus käyttää yhden tai toisen matemaattisen teorian keinoja, ja siksi se vain pelkistää johdonmukaisuuskysymyksen kysymyksen johdonmukaisuudesta. toinen teoria. Sanotaan myös, että ensimmäinen teoria on yhdenmukainen toisen teorian kanssa. Erittäin tärkeä on Gödelin toinen lause, jonka mukaan aritmetiikkaa sisältävän muodollisen teorian johdonmukaisuutta ei voida todistaa itse teorian avulla (edellyttäen, että tämä teoria on todellakin johdonmukainen).
↑ Formaaliaritmetiikka . Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja . Haettu: 20. tammikuuta 2013. (määrätön)
↑ Penrose R. Iso, pieni ja inhimillinen mieli. - M . : Mir, 2004. - S. 180-184.
↑ Paris J.; Harrington L. (1977). Matemaattinen epätäydellisyys Peano Aritmetiikassa. Teoksessa Barwise, J. Handbook of Mathematical Logic. Amsterdam, Alankomaat: Pohjois-Hollanti.
↑ Kline M., 1984 , s. 291-293.
↑ Lukuun ottamatta vain joitain matemaattisen logiikan osia, kuten edellä mainittiin.
↑ Mathematical Encyclopedic Dictionary, Moscow: Soviet Encyclopedia, 1988, s. 683, artikkeli “Hilbert”: “Hilbertin alkuperäiset toiveet tällä alalla eivät toteutuneet: matemaattisten teorioiden johdonmukaisuuden ongelma osoittautui syvemmäksi ja vaikeammaksi kuin Hilbert ajatteli aluksi. Mutta kaikki jatkotyö matematiikan loogisten perusteiden parissa seuraa suurelta osin Hilbertin hahmottelemia polkuja ja käyttää hänen luomiaan käsitteitä.
↑ PT Johnstone. Huomautuksia logiikasta ja joukkoteoriasta. Cambridge University Press, 1996. Lauseet 9.1, 9.2.
↑ Ershov Yu. L. , Palyutin E. A. Matemaattinen logiikka. - M .: Nauka, 1987. - 336 s.
↑ A. Rodin. Kategoriateoria ja fysiikan uusien matemaattisten perusteiden etsiminen.
↑ Todistusavustajat: Historia, ideat ja tulevaisuus // Sadhana . - 2009-02-01. — Voi. 34 , iss. 1 . - s. 3-25 . - doi : 10.1007/s12046-009-0001-5 .
↑ 1 2 3 Daniel R. Grayson. Johdatus matemaatikoiden univalenttisiin perusteisiin // arXiv:1711.01477 [math]. – 4.11.2017.
↑ Davies B. Mitä matematiikkaa tahansa? (englanniksi) // American Mathematical Societyn ilmoitukset. - 2001. - Voi. 52 , no. 11 . - s. 1350-1356 .
↑ Homotopy Type Theory: Univalent Funds of Mathematics . - Princeton : Institute for Advanced Study , 2013. - 603 s.
↑ Andrei Rodin. Looginen ja geometrinen atomismi Leibnizistä Voevodskyyn // Filosofian ongelmat . - 2016. - Nro 6 . - S. 134-142 . (Venäjän kieli)

Kirjallisuus

Beginnings of Euclid / Käännös kreikasta ja D. D. Mordukhai-Boltovskin kommentit , toimituksellisesti M. Ya. Vygodsky ja I. N. Veselovski. - M. - L .: GTTI, 1949-1951. - (Luonnontieteen klassikot).
Whitehead A., Russell B. Matematiikan perusteet: 3 osassa / Toim. G. P. Yarovoy, Yu. N. Radaeva. - Samara: Samaran yliopisto, 2005-2006. — ISBN 5-86465-359-4 .
Hilbert D. , Bernays P. Matematiikan perusteet. M.: Tiede.
- Osa I. Looginen laskenta ja aritmetiikan formalisointi. 1979, 560 s.
- Osa II. Todisteiden teoria. 1982, 656 s.
Brouwer, Luitzen Egbertus Jan. Over de grondslagen der wiskunde. Academisch proefschrift, Maas & van Suchtelen, Amsterdam 1907 im Internet-Archiv , dito ). Brouwerin väitöskirja "Matematiikan perusteista" (n.d.) .
- Englanninkielinen käännös: Brouwer LEJ Collected Works. Voi. 1: Filosofia ja matematiikan perusteet. - Amsterdam-Oxford, 1975. - 734 s. — ISBN 9781483257549 .
Kleene S.K. Johdatus metamatematiikkaan. - M. : Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo , 1957. - 526 s.
Frenkel A. A. , Bar-Hillel I. Joukkoteorian perusteet. - M.: Mir, 1966. - 555 s.
Matematiikan perusteet . - Great Soviet Encyclopedia, 3. painos, 18. osa, S. 1685 ..
Kunen, Kenneth Joukkoteoria : Johdatus itsenäisyyden todisteisiin . - Pohjois-Hollanti, 1980. - ISBN 0-444-85401-0 .
Bourbaki N. Matematiikan perusteet. Logiikka. Joukkoteoria // Esseitä matematiikan historiasta / I. G. Bashmakova . - M . : Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo, 1963. - S. 37-53. — 292 s. — (Matematiikan elementit).
Bourbaki, N. Matematiikan arkkitehtuuri. Esseitä matematiikan historiasta (Maced.) . - Moskova: Ulkomaisen kirjallisuuden kustantaja, 1963. - (Matematiikan elementit).
Sennhauser, Walter. Platon ja matematiikka. - Pietari. : RKHGA Publishing House, 2016.
Eukleideen alku. Kirjat I - VI. - Moskova: OGIZ, 1948.
Monk, JD Johdanto joukkoteoriaan. - McGraw-Hill Education , 1969.
Jech, T. Joukkoteoria . - Springer, 1997.
Kelly, J.Yleinen topologia. - Moskova: Nauka, 1981.
Enderton, H. B. Joukkoteorian elementit . — Akateeminen lehdistö, 1977.
Roitman, J. Johdatus nykyaikaiseen joukkoteoriaan. - Wiley, 1990.
Papadimitriou, Christos H. Computation and Intractability: Echoes of Kurt Gödel // Kurt Gödel and the Funds of Mathematics: Horizons of Truth / Matthias Baaz et al. - Cambridge University Press , 2011. - 515 s.
Ciesielski, K. Joukkoteoria työskentelevälle matemaatikolle. - Cambridge University Press, 1997.
Mendelson E. Johdatus matemaattiseen logiikkaan. - Moskova: Nauka, 1984.
Adyan S. I. Matemaattinen logiikka // Matemaattinen tietosanakirja. - Moskova: Neuvostoliiton tietosanakirja, 1982. - T. 3.

Shenfield J. Matemaattinen logiikka. - Moskova: Nauka, 1975.

F. William Lawvere. Kategoriat matematiikan perustana // Kategorisen algebran konferenssin julkaisuja. - Springer, Berliini, Heidelberg, 1966. - P. 1-20 . — ISBN 9783642999048 , 9783642999024 . - doi : 10.1007/978-3-642-99902-4_1 .

Matematiikan historia. Muinaisista ajoista uuden ajan alkuun // Matematiikan historia / Toimittanut A.P. Yushkevich , kolmessa osassa. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
Kline M. Matematiikka. Varmuuden menetys . - M .: Mir, 1984. - 446 s. Arkistoitu12. helmikuuta 2007Wayback Machinessa
1800-luvun matematiikka. Osa I: Matemaattinen logiikka, algebra, lukuteoria, todennäköisyysteoria / Toim. Kolmogorova A. N. , Juskevitš A. P .. - M .: Nauka, 1978. - 256 s.
Metafysiikka. Vuosisadan XXI. Kalenteri. Ongelma. 4: Metafysiikka ja matematiikka. - M .: BINOM. Knowledge Laboratory, 2011. - 463 s. — ISBN 978-5-9963-0551-3 . Kokoelma klassisia (Riemann, Poincaré, Brouwer, Gödel, Cohen, G. Weyl) ja ajankohtaisia artikkeleita matematiikan perusteluista ja muista matematiikan ja fysiikan ongelmista.
Mostovsky A. Matematiikan perusteiden tutkimuksen nykytila // Advances in Mathematical Sciences . - M .: Venäjän tiedeakatemia , 1954. - T. 9 , numero. 3(61) . - S. 3-38 . (Venäjän kieli)Tämä on laajennettu esitys Puolan matemaatikoiden VIII kongressissa (Varsova, 1953) annetusta raportista.
Panov VF Matematiikka vanha ja nuori. - toim. 2. - M . : MSTU im. N.E. Bauman, 2006. - 648 s. — ISBN 5-7038-2890-2 .
Perminov V. Ya. Filosofia ja matematiikan perusteet. - M . : Progress-Tradition, 2001. - 320 s. — ISBN 5-89826-098-6 .
Yarovoy G., Radaev Yu. Esipuhe // Whitehead A., Russell B. Matematiikan perusteet: 3 osassa - Samara: Samara University, 2005-2006. — ISBN 5-86465-359-4 .
Yashin B. L. Matematiikka filosofisten ongelmien yhteydessä. - M. : Prometheus, 2012. - S. 69. - 110 s. — ISBN 978-5-4263-0111-5 .

Yanov Yu. I. Matematiikka, metamatematiikka ja totuus . Haettu: 10.1.2018. (määrätön)
Friedman Harvey M. Matematiikan perusteet: menneisyys, nykyisyys ja tulevaisuus (englanniksi) . Käyttöönottopäivä: 16.11.2017.
Horsten, Leon. Matematiikan filosofia (englanniksi) . - Stanford Encyclopedia of Philosophy. Haettu: 15.11.2017.
Kunen, Kenneth. The Foundations of Mathematics (englanniksi) (29. lokakuuta 2007). Haettu: 15.11.2017.
Lambek, Joachim. Matematiikan perusteet (englanti) . - Encyclopedia Britannica. Haettu: 15.11.2017.
Simpson , Stephen G. Logiikka ja matematiikka . Käyttöönottopäivä: 16.11.2017.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa) Universalis
Bibliografisissa luetteloissa	NDL : 00571525

Matematiikan alat

Portaali "Tiede"

Matematiikan perusteet joukko teoria matemaattinen logiikka logiikan algebra

Lukuteoria ( aritmetiikka )

Algebra
Algebra	Yhtälön ratkaisu
Lineaarialgebra	Vektorilaskenta matriiseja Tensorilaskenta Multilineaarinen algebra
Yleisalgebra	Kommutatiivinen algebra Edustusteoria Differentiaalialgebra Homologinen algebra Yleisalgebra Luokkateoria

Analyysi
Klassinen analyysi	Differentiaalilaskenta Integraalilaskenta
Funktion teoria	Harmoninen analyysi Quaternion Analysis Monimutkainen analyysi mittateoria Reaalimuuttujan funktioiden teoria toiminnallinen analyysi Variaatiolaskelma
Differentiaali- ja integraaliyhtälöt	Dynaamiset järjestelmät ja ergodinen teoria Differentiaaliyhtälöt tavallinen osittaisissa johdannaisissa Integraaliyhtälöt
Vektorianalyysi Globaali analyysi Katastrofi teoria Mukautettu analyysi Sujuva äärettömän pieni analyysi

Geometria ja topologia
Geometria	Algebrallinen geometria Analyyttinen geometria Euklidinen geometria Ei-euklidinen geometria Planimetria Stereometria
Topologia	Yleinen topologia Algebrallinen topologia Differentiaaligeometria ja topologia

Diskreetti matematiikka
Kombinatoriikka graafiteoria

Sovellettu matematiikka
Matemaattinen fysiikka Matemaattinen kemia matemaattinen biologia Matemaattiset tilastot Matemaattinen mallinnus Algoritmien teoria Numeeriset menetelmät matemaattinen taloustiede talousmatematiikka Todennäköisyysteoria Toimintatutkimus Peliteoria

Portaali "Matematiikka"
Luokka "Matematiikka"