Hamilton, William Rowan

William Rowan Hamilton
Englanti  William Rowan Hamilton

William Rowan Hamilton
Syntymäaika 4. elokuuta 1805( 1805-08-04 ) [1] [2] [3] […]
Syntymäpaikka Dublin , Irlanti
Kuolinpäivämäärä 2. syyskuuta 1865( 1865-09-02 ) [1] [2] [3] […] (60-vuotias)
Kuoleman paikka Dublin , Irlanti
Maa
Tieteellinen ala matematiikka , mekaniikka , fysiikka
Työpaikka
Alma mater Dublinin yliopisto
Akateeminen tutkinto Bachelor of Arts [4] ( 1827 ) ja Master of Arts [4] ( 1837 )
Palkinnot ja palkinnot Kuninkaallinen mitali (1835)
 Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Sir William Rowan Hamilton ( 4.  elokuuta1805 -  2. syyskuuta 1865 ) oli irlantilainen matemaatikko , teoreettinen mekaanikko , teoreettinen fyysikko , "yksi 1800-luvun parhaista matemaatikoista" [5] . Tunnettu matematiikan ( kvaternionit , vektorianalyysin perusteet , variaatioiden laskeminen , kompleksilukujen tasaus), analyyttisestä mekaniikasta ( Hamiltonin mekaniikka ) ja optiikasta [6] [7] . Erittäin yleisen pienimmän toiminnan variaatioperiaatteen kirjoittaja , jota käytetään monilla fysiikan aloilla.

Irlannin kuninkaallinen tähtitieteilijä (1827-1865) [8] . Irlannin kuninkaallisen akatemian jäsen ( 1837; 1837-1845 - sen presidentti). Monien tiedeakatemioiden ja tieteellisten yhdistysten kirjeenvaihtajajäsen, mukaan lukien Venäjän tiedeakatemia (1837), Yhdysvaltain kansallisen tiedeakatemian ensimmäinen ulkomainen jäsen (1864) [6] [9] . Akateemikko A. N. Krylov kirjoitti, että Hamilton oli "yksi suurimmista matemaatikoista, joka erottui teostensa moninaisuudesta, niiden sisältämien löytöjen tärkeydestä, ajattelun syvyydestä, menetelmien omaperäisyydestä ja samalla laskijana, joka oli vähän vertaisia” [10] .

Elämäkerta

Lapsuus ja nuoruus

Hamilton oli neljäs yhdeksästä lapsesta irlantilaisen Sarah Huttonin ( eng.  Sarah Hutton , 1780-1817) [11] ja puoliksi irlantilaisen, puoliksi skottilaisen Archibald Hamiltonin ( eng.  Archibald Hamilton , 1778-1819) perheessä. Dunboynen kaupungista kotoisin oleva Archibald työskenteli asianajajana Dublinissa. Taloudellisten vaikeuksien ja vanhempien heikon terveyden vuoksi poika päätettiin vuoden iästä lähtien siirtää isän sedän kasvatettavaksi. Setä, James Hamilton, hyvin koulutettu mies, palveli kirkkoherrana ja opettajana Trimin kaupungissa ; hän kohteli veljenpoikaansa myötätuntoisesti ja auttoi hänen kehitystään kaikin mahdollisin tavoin [12] . Pian William jäi lopulta ilman vanhempia - hänen äitinsä kuoli pojan ollessa 12-vuotias, hänen isänsä selvisi hänestä kaksi vuotta. Hamilton otti myöhemmin hoitaakseen kolme orvoksi jäänyttä sisartaan.

Jo lapsuudessa poika osoitti poikkeuksellisia kykyjä. 3-vuotiaana hän luki vapaasti ja alkoi hallita aritmetiikkaa. 7-vuotiaana hän osasi latinaa, kreikkaa ja hepreaa . 12-vuotiaana hän osasi James-sedän, hyvän kielitieteilijän, ohjauksessa jo 12 kieltä, mukaan lukien persian , arabian ja sanskritin [13] . 13-vuotiaana hän kirjoitti Syyrian kieliopin oppaan. Hamilton arvosti korkeasti kirjallisuutta ja runoutta koko ikänsä ja hän itsekin yritti silloin tällöin kirjoittaa runoutta. Hänen kirjallisia tuttujaan olivat kuuluisa romanttinen runoilija William Wordsworth , joiden välinen ystävyys jatkui Wordsworthin elämän loppuun asti, sekä Samuel Coleridge , jonka kanssa Hamilton aloitti vilkkaan kirjeenvaihdon [14] .

Kielten jälkeen oli aika innostua matematiikasta. Jo 10-vuotiaana Hamilton törmäsi latinankieliseen käännökseen Eukleideen alkukirjasta , ja hän tutki tätä teosta yksityiskohtaisesti; 13-vuotiaana hän luki Newtonin yleisen aritmeettisen ; 16-vuotiaana - suurin osa Newtonin " luonnonfilosofian matemaattisista periaatteista " (samaan aikaan Hamilton - Clairaut'n ja Laplacen teosten mukaan  - opiskeli myös mannermaista matematiikkaa, joka oli vielä uutinen Isossa-Britanniassa) [8] . 17-vuotiaana William alkoi opiskella Laplacen taivaanmekaniikkaa; Tässä tutkielmassa hän löysi loogisen virheen ja ilmoitti siitä Irlannin kuninkaalliselle tähtitieteilijälle John Brinkleylle . Hän arvosti nuoren miehen kykyjä ja alkoi auttaa hänen tieteellistä kehitystään. Irlannissa oli hyvin vähän merkittäviä tiedemiehiä, ja itse asiassa Hamilton opiskeli matematiikkaa ja fysiikkaa itseoppineena, vaikeissa tapauksissa turvautuen Brinkleyn apuun. Irlantilainen kirjailija Maria Edgeworth , jonka perhe William ystävystyi, kutsui häntä "lahjakkuuden ihmeeksi, joka professori Brinkleyn mukaan voisi olla toinen Newton" [15] .

Vuosina 1815-1823 William kävi koulua, sitten 18-vuotias poika tuli Dublinin yliopiston Trinity Collegeen . Siellä hän osoitti niin loistavia kykyjä (ensimmäinen kaikissa aineissa), että vuonna 1827, ollessaan vielä 22-vuotias opiskelija, hänet nimitettiin eronneen Brinkleyn suosituksesta hänen tilalleen - Dublinin yliopiston tähtitieteen professoriksi. ja Irlannin kuninkaallinen tähtitieteilijä . Yliopistossa Hamiltonin entinen opiskelija, joka ei koskaan puolustanut väitöskirjaansa, opetti taivaanmekaniikan kurssin [16] .

Astronomer Royal

Vuonna 1827 Hamilton otti Irlannin kuninkaallisen tähtitieteilijän tehtävään (mikä tarkoitti automaattisesti Dunsinkin observatorion johtajaa ) 38 vuodeksi, pidempään kuin kukaan muu kyseisessä asemassa. Hän julkaisi useita artikkeleita geometrisesta optiikasta, joilla on suuri arvo optisten välineiden teorialle, mutta ei juurikaan puhtaasti tähtitieteellisiin ongelmiin; Lontoon komissiot kritisoivat häntä kahdesti huolellisuuden puutteesta [16] .

Vuonna 1833 Hamilton meni naimisiin Helen Baileyn ( Helen Maria Bayley ) kanssa. Heillä oli kaksi poikaa ja tytär. Avioliitto ei ollut kovin onnistunut, ja Hamilton alkoi käyttää väärin alkoholia [12] .

Vuosina 1834-1835 ilmestyi klassisia teoksia " Hamiltonin mekaniikasta ". Skotlantilainen matemaatikko Peter Tath kutsui näitä teoksia "suurimmaksi teoreettisen dynamiikan lisäykseen sitten Newtonin ja Lagrangen suurten aikakausien ". Optiikan löydöksistä ja kaikista tieteellisistä ansioista Irlannin varakuningas nosti Hamiltonin ritariksi (1835) [17] ja määräsi 200 punnan vuosikorvauksen, ja Lontoon Royal Society myönsi hänelle (yhdessä Faradayn kanssa ) Kuninkaallinen mitali .

Edessä oli kuitenkin useita merkittäviä löytöjä. Samana vuonna 1835 Hamilton sai päätökseen uuden, äärimmäisen yleisen lähestymistavan dynamiikan ongelmien ratkaisemiseen variaatioperiaatteen muodossa ( Hamiltonin periaate ). Lähes vuosisata myöhemmin tämä lähestymistapa osoittautui avaimeksi kvanttimekaniikan luomiseen , ja Hamiltonin löytämää variaatioperiaatetta käytettiin menestyksekkäästi yleisen suhteellisuusteorian kenttäyhtälöiden kehittämisessä .

Vuonna 1837 Hamilton valittiin Irlannin kuninkaallisen akatemian presidentiksi [6] . Samana vuonna hänet valittiin akateemikkojen V. Ya. Bunyakovskyn , M. V. Ostrogradskyn ja P. N. Fussin ehdotuksesta Pietarin tiedeakatemian kirjeenvaihtajajäseneksi työstään "Yleinen menetelmä dynamiikassa" [18] . .

Vuosi 1843 oli käännekohta Hamiltonin elämässä. Tänä vuonna hän löysi algebrallisen kvaternionijärjestelmän - kompleksilukujärjestelmän  yleistyksen  - ja omisti elämästään jäljellä olevat kaksi vuosikymmentä niiden tutkimiseen [19] . Isossa-Britanniassa kvaternionien teoria otettiin vastaan ​​epätavallisen innostuneena ja "syvänä kunnioituksena, saavuttaen kunnioituksen" [20] ; Irlannissa (ja sitten Englannissa) siitä tuli pakollinen osa koulutusta [21] .

Vuonna 1846 Geological Associationin illallisella tapahtui epämiellyttävä skandaali, jossa Hamilton esiintyi erittäin päihtyneinä: seurauksena hän erosi Irlannin akatemian presidentin tehtävästä [22] . Vuotta myöhemmin James-setä, joka korvasi Williamin isän, kuoli.

Keväällä 1865 Hamiltonin terveys alkoi heikentyä nopeasti. Hän onnistui saattamaan päätökseen monivuotisen työnsä, monografian "Elements of Quaternions", muutama päivä ennen kuolemaansa. Hamilton kuoli 2. syyskuuta 60-vuotiaana [22] . Haudattu Dublinin Mount Jerome -hautausmaalle ja krematorioon .

Tieteelliset julkaisut

Kaikissa tärkeimmissä töissään Hamilton pyrki asettamaan ja ratkaisemaan ongelman yleisimmällä, yleismaailmallisimmalla tavalla, tutkimaan syvällisesti löytämiään menetelmiä ja hahmottamaan selkeästi niiden käytännön soveltamisalueet [23] .

Matematiikka

Kompleksilukuteoria

Vuonna 1835 Hamilton julkaisi Algebrallisten parien teorian , jossa hän esitti tiukan rakenteen kompleksilukujen teoriasta . Jos Euler piti kompleksilukua muodollisena summana ja Wessel ja Gauss päätyivät kompleksilukujen geometriseen tulkintaan tulkitsemalla ne koordinaattitason pisteiksi (lisäksi jälkimmäinen vuonna 1831 teoksessaan Theory of Bisquare Residues ehdotti myös täysin tiukka kompleksilukujen algebran rakentaminen), sitten Hamilton (todennäköisesti tuntematon Gaussin työhön) piti kompleksilukua reaalilukujen parina . Nyt kaikki kolme lähestymistapaa ovat yhtä yleisiä; samaan aikaan Gaussin ja Hamiltonin teosten ilmestyessä kysymys kompleksilukujen teorian johdonmukaisuudesta poistettiin ( tarkemmin sanottuna se pelkistettiin kysymykseen reaalilukuteorian johdonmukaisuudesta ) . 24] [25] .

Kompleksilukujen geometrinen tulkinta avasi mahdollisuuden niiden hedelmälliseen soveltamiseen planimetriassa ja matemaattisen fysiikan kaksiulotteisten ongelmien ratkaisemisessa . Yrittäessään saavuttaa samanlaisen tuloksen spatiaalisessa tapauksessa [10] Hamilton työskenteli useiden vuosien ajan yleistääkseen kompleksiluvun käsitteen ja luodakseen täydellisen "lukujärjestelmän" reaalilukujen kolmiosista (lisäyksen piti olla komponentti kerrallaan). komponentti, kuten kompleksiluvuilla; ongelmana oli kertolaskujen oikea määrittely). Tässä onnistumatta hän kääntyi reaalilukujen nelinkertaisiin . Ymmärrys tuli hänelle eräänä lokakuun päivänä 1843 - kävellessään Dublinin siltaa pitkin; näin ilmestyivät kvaternionit [24] [26] .

Kvaternionteoria Kvaternionien teorian luominen

Hamilton esitteli löytämilleen "neljän termisille numeroille" nimen quaternions  - lat.  quaterni 'neljällä' [27] . Sen lisäksi, että kvaternionit esitettiin reaalilukujen nelinkertaisina, analogisesti kompleksilukujen kanssa, hän kirjoitti myös kvaternionit [28] muodon muodollisina summina.

missä  on kolme kvaternioyksikköä ( imaginaariyksikön analogeja ) [29] [30] . Olettaen, että kvaternionien kertominen on distributiivista yhteenlaskussa, Hamilton rajoitti kvaternionien kertolaskuoperaation määritelmän määrittämään kertotaulukon muodon [28] perusyksiköille :

Taulukosta voidaan nähdä, että kvaternion kertolasku ei ole kommutatiivista (täten kvaternionalgebrallinen järjestelmä on jakorengas , mutta ei kenttä ). Vuonna 1878 G. Frobenius selitti Hamiltonin epäonnistumisen syyn reaalilukujen kolmiosilla todistamalla seuraavan väitteen ( Frobeniuksen lause ): reaalilukujen kentässä on vain kolme äärellisulotteista assosiatiivista jakoalgebraa : itse , kenttä kompleksiluvut ja kvaternionien vinokenttä [31] .

Hamilton omisti seuraavat kaksi vuosikymmentä uusien lukujen ja käytännön sovellusten yksityiskohtaiselle tutkimukselle [32] ja kirjoitti 109 artikkelia tästä aiheesta ja kaksi laajaa monografiaa "Lectures on Quaternions" ja "Elements of Quaternions". Hän piti kaavan oikeaa puolta kahden termin summana: skalaariosan (luku ) ja vektoriosan (summan loppuosa) [28] ; Myöhemmin jotkut kirjoittajat käyttivät ilmaisuja "todellinen osa" ja "kuvitteellinen osa" [30] . Näin ollen sanat vektori (1847 [6] ) suhteessa kvaternioniin, jonka skalaariosa on nolla, ja skalaari (1853 [28] ) suhteessa kvaternioniin, jossa on nollavektoriosa, tulivat ensimmäistä kertaa matematiikkaan . Kahden vektorin kvaterniontulon vektori- ja skalaariosina syntyivät vektori ja skalaaritulo [33] , vastaavasti .

Kvaternionien sovellukset

Hamiltonin työn suurin seuraaja ja kvaternionien popularisoija oli hänen oppilaansa, skotlantilainen matemaatikko Peter Tat , joka ehdotti niille monia sovelluksia geometriaan, pallotrigonometriaan ja fysiikkaan [10] . Yksi ensimmäisistä tällaisista sovelluksista oli tilamuutosten tutkimus. Kompleksilukuja käytetään menestyksekkäästi mielivaltaisten liikkeiden mallintamiseen tasossa: lukujen yhteenlasku vastaa kompleksitason pisteiden siirtoa ja kertolaskua - kiertoa (samanaikaisella venyttämisellä, jos kertoimen moduuli on eri kuin 1) [34] .

Samoin kvaternionit ovat kätevä työkalu kolmiulotteisen euklidisen avaruuden liikkeiden tutkimiseen (katso Kvaternionit ja avaruuden rotaatio ): tällainen niiden käyttö perustuu kvaternionien geometris-numeeriseen tulkintaan , jossa kvaternioniyksikköjä verrataan (nykyaikaisessa terminologiassa). ) joidenkin oikeanpuoleisten ortonormaalikantaisten vektoreilla kolmiulotteisessa avaruudessa [35] . Sitten muodostetaan yksi-yhteen vastaavuus kolmiulotteisten rotaatioiden ja kvaternionien rungon sisäisten automorfismien välillä [36] [37] ; jokainen tällainen automorfismi voidaan generoida kvaternionilla, jonka moduuli on yhtä suuri kuin 1 ( kvaternionin moduuli määritellään sen komponenttien neliösumman neliöjuureksi [38] ), ja tämä kvaternion, jota kutsutaan rotaatiokvaternioniksi , on määritelty merkkiin asti [30] . Tässä tapauksessa kahden kierron peräkkäinen suoritus vastaa vastaavien rotaatiokvaternionien kertolaskua. Tämä tosiasia muuten havainnollistaa jälleen kerran kvaternionin kertomisen ei-kommutatiivisuutta, koska kahden kolmiulotteisen kierron suorittamisen tulos riippuu olennaisesti niiden suoritusjärjestyksestä [34] .

Tutkiessaan kvaternioneja Hamilton esitteli samanaikaisesti vektorikentän käsitteen (hänellä ei edelleenkään ole termiä " kenttä ", sen sijaan hän käytti käsitettä pisteen vektorifunktio ) ja loi vektorianalyysin perustan . Hamiltonin symboliikka (erityisesti hänen käyttöönottamansa nabla-operaattori ) antoi hänelle mahdollisuuden kirjoittaa tiiviisti muistiin vektorianalyysin tärkeimmät differentiaalioperaattorit : gradientti , curl ja divergenssi [39] [40] . Hamiltonin työn perusteella Gibbs ja Heaviside erottivat ja kehittivät vektorianalyysijärjestelmän, joka oli jo erotettu kvaternioniteoriasta; se osoittautui erittäin hyödylliseksi soveltavassa matematiikassa ja tuli oppikirjoihin [41] .

Maxwell tutustui kvaternioneihin koulukaverinsa Taitin ansiosta ja arvosti niitä suuresti: "Kvaternionien laskennan keksiminen on askel eteenpäin tiedossa avaruuteen liittyvistä suureista, joita voi merkitykseltään verrata vain keksintöön. Descartesin tilakoordinaatit” [42] . Maxwellin varhaisissa sähkömagneettisen kentän teoriaa koskevissa artikkeleissa kvaternion symboliikkaa on käytetty edustamaan differentiaalioperaattoreita [43] , mutta viimeisimmissä töissään Maxwell luopui kvaternionisymbolismista ja suosii Gibbsin ja Heavisiden kätevämpää ja visuaalista vektorianalyysiä [44] .

Kvaternionteorian historiallinen merkitys

1900-luvulla kvanttimekaniikassa [45] ja suhteellisuusteoriassa [10] yritettiin useita yrityksiä käyttää kvaterniomalleja . Quaternionit ovat löytäneet todellisen sovelluksen nykyaikaisessa tietokonegrafiikassa ja peliohjelmoinnissa [46] sekä laskennallisessa mekaniikassa [47] [48] , inertianavigointi- ja ohjausteoriassa [49] [50] . Vuodesta 2003 lähtien on julkaistu Hypercomplex Numbers in Geometry and Physics -lehteä [51] .

Felix Klein ilmaisi mielipiteen, että "kvaternionit ovat hyviä ja soveltuvia paikalleen, mutta niillä ei silti ole samaa merkitystä kuin tavallisilla kompleksiluvuilla" [52] . Monissa sovelluksissa on löydetty yleisempiä ja käytännöllisempiä keinoja kuin kvaternionit. Esimerkiksi nykyään avaruuden liikkeiden tutkimiseen käytetään useimmiten matriisilaskentaa [53] ; kuitenkin silloin, kun on tärkeää määrittää kolmiulotteinen rotaatio käyttämällä minimimäärää skalaariparametreja, Rodrigues-Hamilton-parametrien (eli rotaatiokvaternionin neljän komponentin) käyttö on usein suositeltavaa: tällainen kuvaus ei koskaan rappeudu. , ja kun kuvataan rotaatioita kolmella parametrilla (esimerkiksi Euler-kulmat ), näille parametreille on aina kriittisiä arvoja, kun kuvaus degeneroituu [47] [48] .

Joka tapauksessa kvaternionien historiallinen panos matematiikan kehitykseen on ollut korvaamaton. Henri Poincare kirjoitti: ”Heidän ulkonäkönsä antoi voimakkaan sysäyksen algebran kehitykselle ; niistä eteenpäin tiede kulki luvun käsitteen yleistämisen polkua, päätyen matriisin ja lineaarisen operaattorin käsitteisiin, jotka läpäisevät modernin matematiikan. Se oli aritmetiikassa vallankumous, samanlainen kuin Lobatševski geometriassa” [54] .

Geometria ja muut matematiikan osa-alueet

Vuonna 1861 Hamilton osoitti planimetrian alalla hänen nimeään kantavan Hamiltonin lauseen : Kolme suorasegmenttiä, jotka yhdistävät ortosentin terävän kolmion kärkipisteisiin jakavat sen kolmeksi Hamiltonin kolmioksi , joilla on sama Eulerin ympyrä ( yhdeksän pisteen ympyrä ) kuin kolmiossa. alkuperäinen terävä kolmio.

Vuonna 1856 Hamilton tutki ikosaedrin symmetriaryhmää ja osoitti, että siinä on kolme generaattoria [55] . Toisen polyhedronin , dodekaedrin , tutkiminen johti myöhemmin "Hamiltonin graafin" [56] käyttökelpoisen käsitteen esiintymiseen graafiteoriassa ; Lisäksi Hamilton keksi viihdyttävän palapelin, joka liittyy dodekaedrin reunojen ohittamiseen, ja laittoi sen myyntiin (1859). Tämä peli, joka on värikkäästi suunniteltu nimellä "Matka ympäri maailmaa", julkaistiin pitkään Euroopan eri maissa [57] .

Siitä hetkestä lähtien, kun kvaternionien teoria syntyi, Hamiltonilla oli jatkuvasti mielessään sen puitteissa syntyneiden vektoreiden sovellukset tilageometriaan . Samanaikaisesti Hamilton tulkitsi suunnatun segmentin , jonka alku on pisteessä ja loppu pisteessä , täsmälleen vektoriksi ja kirjoitettiin ( Möbiuksen jälkeen) muodossa (eli erotuksena lopun ja alku). Itse termin "vektori" hän muodosti latinan verbistä vehere 'kanta, vetää' (tarkoittaa liikkuvan pisteen siirtoa alkuasennosta loppuasentoon ) [33] .

Geometria on Hamiltonin velkaa myös sellaiset termit kuin " kollineaarisuus " ja " koplanaarisuus " (koskee vain pisteitä; vektoreille, joilla on yhteinen alkuperä, ilmaisuja termino-kollineaarinen ja termino-koplanaarinen käytettiin tarvittaessa ) [33] .

Useat Hamiltonin kirjoituksista on omistettu Abelin viidennen asteen yhtälön [58] ratkaistavuutta ja numeerisia menetelmiä koskevan työn jalostamiseksi . Kvaternioneja koskevan tutkimuksensa aikana Hamilton todisti useita algebrallisia lauseita, joita nykyään kutsutaan matriisiteoriaksi . Hän itse asiassa todisti Hamilton-Cayleyn lauseen, joka on tärkeä lineaarisessa algebrassa , dimensiomatriiseille , Cayley (1858) [59] julkaisi itse matriisin käsitteen ja lauseen muotoilun (ilman todistetta) ja Frobenius antoi todiste yleiselle tapaukselle vuonna 1898.

Optiikka

Valon etenemisen teoria

19-vuotias Hamilton esitteli ensimmäisen suuren tieteellisen työnsä, nimeltään Caustics , vuonna 1824 tohtori Brinkleylle , silloinen Irlannin tiedeakatemian presidentille. Tämä työ (omistettu suoraviivaisten kongruenssien differentiaaligeometrian kehittämiselle optisten instrumenttien teoriassa [8] ) pysyi käsikirjoituksessa, mutta vuodesta 1827 lähtien Hamilton alkoi julkaista artikkelisarjaa, jossa on huomattavasti laajennettu ja syvennetty versio. yleisnimike "Theory of Ray Systems" ( Theory of Systems of Rays ) [60] .

Näissä artikkeleissa Hamilton pyrki rakentamaan tunnetuista optisista ilmiöistä muodollisen teorian, joka olisi hyväksyttävä riippumatta hyväksytystä valon luonteen näkemyksestä (eli sen tulkinnasta joko hiukkasvirtana tai etenevänä aaltona). Hän totesi, että hänen tavoitteenaan oli luoda optisten ilmiöiden teoria, jolla olisi sama "kauneus, tehokkuus ja harmonia" kuin Lagrangen analyyttisellä mekaniikalla [61] .

Syklin ensimmäisessä artikkelissa (1827) Hamilton tutkii optisesti homogeenisen väliaineen tapauksen yhteydessä yhdestä valopisteestä lähtevien ja joko heijastuneiden tai taittuneiden valonsäteiden yleisiä ominaisuuksia . Hän perustaa tutkimuksensa kokemuksesta tunnettuihin säteiden heijastuksen ja taittumisen lakeihin. Näiden geometrisen optiikan esitysten perusteella Hamilton tulee käsitteeseen "vakiotoiminnan pinnat" (aaltotulkinnassa - aaltorintama ), vastaanottaa ja analysoi näitä pintoja kuvaavat differentiaaliyhtälöt [62] .

Artikkelin lopussa Hamilton osoittaa, että kaikki optiset lait voidaan johtaa äärimmäisen yleisestä ja hedelmällisestä variaatioperiaatteesta , jota sovelletaan johonkin tiettyä optista järjestelmää kuvaavaan "luonteenomaiseen toimintoon". Nykyaikaisessa terminologiassa tämä toiminto on toiminnan integraali integraation rajojen funktiona [63] ; sitä kutsutaan usein Hamiltonin eikonaaliksi [64] . Kirjeessään Coleridgelle Hamilton muistutti [65] :

Tavoitteenani ei ollut löytää uusia ilmiöitä, ei parantaa optisten instrumenttien suunnittelua, vaan differentiaalilaskennan avulla muuttaa valon geometria luomalla yksi menetelmä tämän tieteen kaikkien ongelmien ratkaisemiseksi.

Hän selittää: "Yleinen ongelma, jonka olen asettanut itselleni optiikassa, on vähiten toimien periaatteen matemaattisten seurausten tutkiminen ." Tämä periaate, joka yleistää pitkälle klassisen "Fermatin pienimmän ajan periaatteen" , osoittautui samaksi sekä mekaniikassa että optiikassa. Teoriansa avulla Hamilton osoitti myös tiukasti, että geometrinen optiikka on aaltooptiikan rajoittava tapaus lyhyillä aallonpituuksilla [65] .

Teoksessaan The First Supplement (1830) Hamilton laajentaa tutkimuksen mielivaltaisiin optisiin tietovälineisiin (epähomogeeniset ja ei-isotrooppiset); tässä tapauksessa ominaisfunktion ohella otetaan käyttöön toinen funktio , joka riippuu säteen viimeisen segmentin suuntakosineista. "Toisessa lisäyksessä" (sama vuonna 1830) Hamilton saa osittaisen differentiaaliyhtälön arvolle ja tulkitsee funktion annetun yhtälön yleiseksi integraaliksi [66] .

Hamiltonin teorian valmis muoto saa "kolmannen täydennyksen" (1832). Tässä hän osoittaa, että karakterististen funktioiden menetelmä kuvaa valonsäteiden geometriaa täysin yleisellä tasolla ja on yhteensopiva sekä valon korpuskulaari- että aaltoteorioiden kanssa [67] .

Teorian sovellukset

The Third Supplementissa Hamilton ennusti teoriansa pohjalta sisäisen kartiomaisen taittumisen ilmiön : jos litteä levy leikataan kiteen , jossa on kaksi optista akselia kohtisuorassa toiseen akseliin nähden ja valonsäde suunnataan tämä levy niin, että se taittuu yhdensuuntaisesti optisen akselin kanssa, sitten levyn ulostulossa näkyy valorengas (jonka halkaisija riippuu levyn paksuudesta). Yliopistofyysikon Humphrey Lloydin kokeet aragoniitilla antoivat kokeellisen tuen tälle ennustukselle [61] [68] . Tämä sinänsä sensaatiomainen löytö osoitti selvästi Hamiltonin menetelmien hedelmällisyyden, sitä verrattiin jopa Neptunuksen löytöyn "kynän kärjestä" [69] .

Vaikka Hamiltonin teoreettisen optiikkatutkimuksen tavoitteena oli alun perin luoda luotettavia matemaattisia menetelmiä optisten instrumenttien laskemiseen, hänen loistava työnsä ei löytänyt käytännön sovellusta useisiin vuosikymmeniin [70] . Vasta myöhemmin Hamiltonin teoria löysi laajan sovelluksen sovelletussa geometrisessa optiikassa ja optisten laitteiden teoriassa [71] .

Valitessaan, kumpi valoteorioista - korpuskulaarinen tai aalto - tulisi suosia, Hamilton teki lopulta valinnan jälkimmäisen hyväksi. Vuodesta 1832 lähtien hän vaikutti siihen, että Isossa-Britanniassa hyväksyttiin valon aaltoluonteen periaate , joka tuolloin Fresnelin työn ansiosta jo voitti Ranskassa, mutta Thomas Youngin uraauurtavasta työstä huolimatta oli useimmat englantilaiset fyysikot ovat pitkään hylänneet sen. Hamilton osoitti kirjoissaan, että aiemmin geometriseen optiikkaan ehdotettu variaatiolähestymistapa pätee täysin myös aaltoteoriassa [72] .

Tieteen historioitsijat ovat havainneet, että aaltojen etenemistä tutkiessaan Hamilton esitteli vuonna 1839 ensimmäisenä käsitteen aallon ryhmänopeudesta ja huomautti eron aallon ryhmä- ja vaihenopeuksien välillä ; tämä hänen löytönsä jäi kuitenkin huomaamatta ja Stokes ja Rayleigh löysivät sen uudelleen hieman myöhemmin [7] . Tämä ero osoittautui myös perustavanlaatuiseksi kvanttimekaniikan laitteiston kehityksessä [72] .

Hamiltonin optiikan historiallinen merkitys

Tiedeyhteisö ei heti arvostanut Hamiltonin erinomaisia ​​optiikkaa koskevia töitä ja hänen löytämänsä optis-mekaaninen analogia [73] . Vasta 1800-luvun lopulla, kun G. Bruns ja muut tutkijat löysivät uudelleen joukon hänen tuloksiaan, niitä alettiin tuoda optiikkaan [74] [19] . Myöhemmin - jo 1900-luvun alussa - L. de Broglie löysi jälleen Hamiltonin teoksissa saavutetun optiikan ja mekaniikan ongelmien synteesin valon fotoniteoriaa koskevissa teoksissa (jossa hän tuli korpuskulaaristen aaltojen dualismin käsite  - luomalla vastaavuuden hiukkasen liikkeeseen sovelletun Maupertuis-Euler-periaatteen ja siihen liittyvän aallon liikkeeseen sovelletun Fermat'n periaatteen välillä, hän antoi kvanttiselvityksen optis-mekaanisesta analogia). Hieman myöhemmin Hamiltonin ideoilla oli inspiroiva rooli E. Schrödingerin tutkimuksessa. Hän kehitti aaltomekaniikan ja sai kvanttimekaniikan perusyhtälön aaltofunktiolle - Schrödingerin yhtälön [61] [75] .

Teoreettinen mekaniikka ja fysiikka

Kiinteän toiminnan periaate

Edellä kuvatut variaatiomenetelmät, joita Hamilton ehdotti optiikkaongelmiin, hän kehitti pian sovellettavaksi yleiseen mekaniikan ongelmaan, jossa hän otti huomioon "luonteenomaisen funktion" analogin - "pääfunktion", joka on integraali. toimesta [76] .

Dynaamiikan päätehtävä : laskea kappaleen tai kappalejärjestelmän liike tietyllä vaikuttavien voimien jakaumalla. Samaan aikaan yhteyksiä (kiinteästi tai ajan myötä muuttuvia) voidaan kohdistaa kappaleiden järjestelmään . 1700-luvun lopulla Lagrange oli jo muotoillut teoksessaan Analytical Mechanics [77] versionsa variaatioperiaatteesta [77] ja antanut ratkaisun ongelmaan järjestelmien tapauksessa, joissa on holonomisia rajoituksia .

Hamilton julkaisi vuosina 1834-1835 (kahdessa artikkelissa "Yleisestä dynamiikan menetelmästä") mekaanisille järjestelmille, joissa on paikallaan pysyviä holonomisia rajoituksia, uuden variaatioperiaatteen (tunnetaan nyt nimellä stationaarisen toiminnan periaate tai Hamiltonin periaate [78] ):

Tässä  on toiminta,  on dynaamisen järjestelmän Lagrange ja  ovat yleistetyt koordinaatit . Hamilton teki tästä periaatteesta "Hamiltonin mekaniikkansa" perustan . Hän osoitti tavan rakentaa "perusfunktio" ( Hamilton-funktio ), josta differentiaatiolla ja äärellisillä muunnoksilla, ilman minkäänlaista integrointia , saadaan kaikki variaatioongelman ratkaisut [77] .

Yleistetyissä koordinaateissa Hamiltonin mukainen toiminta on muotoa:

missä  on annetun järjestelmän Hamilton-funktio;  - (yleistetut) koordinaatit,  - konjugoi yleistyneet impulssit . Koordinaattien ja impulssien joukko luonnehtii (jokaisella ajanhetkellä) järjestelmän dynaamista tilaa ja siten määrää täysin tietyn järjestelmän kehityksen (liikkeen) [77] . Huomaa, että vuonna 1848 M. V. Ostrogradsky laajensi Hamiltonin periaatteen koskemaan järjestelmiä, joissa on ei-stationaarisia holonomisia rajoituksia [79] (jonka jälkeen Hamilton-Ostrogradsky-periaatteen [78] nimi laajennettiin ); Vuonna 1901 G. K. Suslov ja P. V. Voronets yleistivät itsenäisesti Hamilton-Ostrogradsky-periaatteen ei- holonomisille järjestelmille [80] .

Hamiltonin kanoniset yhtälöt

Muutettuaan toimintaa itsenäisesti kaikille ja Hamilton vuonna 1835 sai uuden muodon mekaanisten järjestelmien liikeyhtälöistä - Hamiltonin kanoniset yhtälöt [18] :

Tuloksena oleva kanoninen yhtälöjärjestelmä sisältää kaksi kertaa niin monta differentiaaliyhtälöä kuin Lagrangen, mutta ne ovat kaikki ensimmäistä kertaluokkaa (Lagrangen osalta se on toista).

Hamiltonin dynamiikkatyön merkitys

Hamiltonin ehdottama dynamiikan muoto herätti monien 1800-luvun merkittävien matemaatikoiden huomion - C. Jacobi , M. V. Ostrogradsky , C. Delaunay , E. J. Routh , S. Lee , A. Poincaré ja muut, jotka laajensivat ja syvensivät työtä merkittävästi Hamiltonin [76] .

Neuvostoliiton tiedeakatemian kirjeenvaihtajajäsen L. N. Sretensky kiitti Hamiltonin dynamiikkaa koskevaa työtä ja huomautti: "Nämä työt muodostivat perustan koko analyyttisen mekaniikan kehitykselle 1800-luvulla" [81] . Venäjän tiedeakatemian akateemikko VV Rumjantsev ilmaisi samanlaisen mielipiteen : "Hamiltonin optis-mekaaninen analogia määritti analyyttisen mekaniikan edistymisen vuosisadaksi" [77] . Professori L. S. Polakin mukaan se oli "teoria, jolla ei ole melkein mitään analogia mekaniikassa yleisyyden ja abstraktisuuden suhteen", joka avasi valtavia mahdollisuuksia mekaniikassa ja siihen liittyvissä tieteissä [82] . Akateemikko V. I. Arnold luonnehti Hamiltonin mekaniikan [83] jälkeen avautuneita mahdollisuuksia seuraavasti:

Hamiltonin näkökulma antaa meille mahdollisuuden tutkia täydellisesti useita mekaniikan ongelmia, joita ei voida ratkaista muilla keinoin (esimerkiksi kahden kiinteän keskuksen vetovoimaongelma ja kolmiakselisen ellipsoidin geodetiikkaongelma ) . Hamiltonin näkökulma on vielä tärkeämpi likimääräisissä häiriöteorian menetelmissä ( taivaanmekaniikka ), liikkeen yleisen luonteen ymmärtämisessä monimutkaisissa mekaanisissa järjestelmissä ( ergodinen teoria , tilastomekaniikka ) ja muiden matemaattisen fysiikan alojen (optiikka) yhteydessä. , kvanttimekaniikka jne.).

Hamiltonin lähestymistapa osoittautui erittäin tehokkaaksi monissa fysiikan matemaattisissa malleissa . Tämä hedelmällinen lähestymistapa perustuu esimerkiksi Landaun ja Lifshitzin moniosaiseen koulutuskurssiin "Teoreettinen fysiikka" . Alun perin Hamiltonin variaatioperiaate muotoiltiin mekaniikan ongelmiin, mutta joidenkin luonnollisten oletusten mukaan sähkömagneettisen kentän Maxwellin yhtälöt [84] johdetaan siitä . Suhteellisuusteorian tultua ilmi, että tämä periaate toteutuu tiukasti myös relativistisessa dynamiikassa [85] . Hänen heuristinen voimansa auttoi merkittävästi kvanttimekaniikan kehitystä , ja luodessaan yleistä suhteellisuusteoriaa David Hilbert sovelsi menestyksekkäästi Hamiltonin periaatetta gravitaatiokentän yhtälöiden johtamiseen (1915) [86] . Siitä, mitä on sanottu, seuraa, että Hamiltonin pienimmän toiminnan periaate on luonnon perustavanlaatuisten peruslakien joukossa – yhdessä energian säilymisen lain ja termodynamiikan lakien kanssa .

Muut mekaniikkatyöt

Hamilton kuuluu myös hodografin (1846-1847) käsitteen mekaniikkaan - visuaaliseen esitykseen vektorin suuruuden ja suunnan muutoksista ajan myötä. Hamilton kehitti hodografi-teorian mielivaltaiselle skalaariargumentin vektorifunktiolle [87] ; tämä on vektorin lopun kuvaaman rivin nimi, jonka alussa on kiinteä napa, kun argumentti muuttuu. Kinematiikassa käsitellään useimmiten pisteen nopeuden hodografia [88] [89] .

Hamilton osoitti kauniin lauseen (joka liittyi jo dynamiikkaan ): Newtonin painovoiman vaikutuksesta tapahtuvassa kiertoradan liikkeessä nopeushodografi on aina ympyrä [10] .

Maailmankuva ja henkilökohtaiset ominaisuudet

Ominaisuudet

Sekä hänen omat loistavat kykynsä että epäonnistunut henkilökohtainen elämä aiheuttivat Hamiltonissa vastustamattoman intohimon luovaan tieteelliseen työhön. Hän työskenteli 12 tuntia tai enemmän päivässä unohtaen ruoan. Jotenkin hän sävelsi itselleen leikkisän epitafin: "Olin ahkera ja totuutta rakastava" [90] .

Hän piti aktiivista kirjeenvaihtoa kollegoiden ja kirjailijoiden kanssa, joista erityisen kiinnostavia ovat kirjeet yhdelle matemaattisen logiikan luojalle , Augustus de Morganille . Jostain syystä hän ei koskaan vaihtanut kirjeitä tuon ajan suurimpien matemaatikoiden ( Gauss , Cauchy , Riemann jne.) kanssa [91] . Ulkomaisten tieteellisten lehtien toimittaminen Irlantiin oli epäsäännöllistä, ja Hamilton valitti kirjeissään vaikeuksista tutustua uusimpiin matemaattisiin kehitykseen. Vuonna 1842 Hamilton vieraili Englannissa tieteellisessä seminaarissa ja tapasi työnsä näkyvän seuraajan , Carl Jacobin , joka myöhemmin kutsui Hamiltonia "tämän maan Lagrangeksi" [92] .

Filosofiset ja uskonnolliset näkemykset

Hamiltonin kirjeistä ja muistiinpanoista päätellen hän oli erittäin kiinnostunut filosofiasta ja arvosti erityisesti Berkeleyä ja Kantia [66] . Hän ei uskonut, että löytämämme luonnonlait kuvastavat riittävästi todellisia malleja. Maailman ja todellisuuden tieteellinen malli, hän kirjoitti, "liittyvät läheisesti ja ihmeellisesti äärimmäisen ykseyden, subjektiivisen ja objektiivisen, Jumalassa tai, vähemmän teknisesti ja uskonnollisesti puhuen, niiden löytöjen pyhyyden ansiosta, hän itse teki mielellään universumissa ihmisälyä varten." Kantin mukaan Hamilton piti tieteellisiä ideoita ihmisen intuition tuotteina [93] .

Hamilton oli vilpitön uskovainen , anglikaanisen konservatiivisen "Oxford-liikkeen" aktiivinen jäsen , hänet valittiin jopa piirinsä kirkkoherraksi. 1840-luvulla hän julkaisi tieteellisissä aikakauslehdissä artikkeleita kahdesta uskonnollisesta ongelmasta: Nikean kirkolliskokouksen vuoden päiväntasauksen laskemisesta ja arviosta Kristuksen taivaaseennousemisajankohdasta [94] .

Tieteellisen tutkimuksen metodologia

Työskennellessään matemaattisen optiikan perusteiden parissa Hamilton teki tärkeitä metodologisia johtopäätöksiä . Hamiltonin jo 1900-luvulla julkaistut käsikirjoitukset [95] osoittavat, että hän päätyi optiikkaa koskeviin yleistuloksiinsa yksittäisten tapausten huolellisen analyysin perusteella, minkä jälkeen seurasi esityksen huolellinen viimeistely, joka piilotti polun lähes kokonaan. jonka kirjoittaja siirsi [96] .

Hamilton hahmotteli tieteellistä ja metodologista konseptiaan vuonna 1833 artikkelissa "Yleisestä menetelmästä valon ja planeettojen polkujen määrittämiseksi käyttämällä ominaisfunktion kertoimia". Siinä hän kirjoitti, että millä tahansa fysikaalisella tieteellä on kaksi eri kehityssuuntaa - induktiivinen ja deduktiivinen : "Jokaisessa fysikaalisessa tieteessä meidän täytyy nousta faktoista lakeihin induktion ja analyysin avulla ja laskeutua laeista seurauksiin päättelyn ja synteesin avulla" [97 ] . Samaan aikaan, jotta matemaattisten menetelmien soveltaminen onnistuisi, deduktiivisen lähestymistavan tulee perustua yleiseen menetelmään, lähteä yhdestä keskeisestä ideasta. Hamilton perusteli yksityiskohtaisesti vähimmän (stationaarisen) toiminnan lain ottamista käyttöön optiikkaa koskevaksi yleiseksi laiksi, ja artikkelin lopussa hän käsitteli samanlaisen lähestymistavan mahdollisuuksia mekaniikassa ja tähtitiedessä [98] .

Muisti

W. R. Hamiltonin nimeen liittyy monia tieteen käsitteitä ja lausuntoja.

Kuun näkyvällä puolella sijaitseva kraatteri Hamilton on nimetty tiedemiehen mukaan .

Irlannissa kaksi tiedeinstituuttia on nimetty maan suurimman matemaatikon mukaan:

  • Irlannin kansallisen yliopiston Hamilton -instituutti [99] , Maynooth .
  • Hamilton Mathematics Institute Trinity Collegessa Dublinissa [100] .

Vuonna 2005 tiedeyhteisö monissa maissa juhli William Hamiltonin 200-vuotisjuhlaa; Irlannin hallitus julisti tämän vuoden "Hamiltonin vuodeksi", ja Irlannin keskuspankki laski liikkeeseen 10 euron juhlarahan [101] .

Proceedings in venäjänkielinen käännös

  • Hamilton, W. R. Valitut teokset: Optiikka, dynamiikka, kvaternionit . — M .: Nauka, 1994. (Sarja: Tieteen klassikot). - 560 s.
    • GEOMETRIINEN OPTIIKKA
      • Yhdessä matemaattisen optiikan kuvassa (9).
      • Kolmas lisäys artikkeliin "Sädejärjestelmien teorian kokemus" (10).
      • Joistakin tuloksista, jotka johtuvat optiikan ominaisfunktion näkemyksestä (166).
    • FYSIKAALINEN OPTIIKKA
      • Valon dynamiikan tutkimus (175).
      • Valoteoriaan liittyviä värähtelytutkimuksia (177).
    • OPTIKO-MEKAANINEN ANALOGIA
      • Yleisestä menetelmästä valon ja planeettojen polkujen esittämiseksi ominaisfunktion osittaisilla derivaatoilla (184).
      • Optiikkaan aiemmin sovelletun yleisen matemaattisen menetelmän soveltamisesta dynamiikkaan (210).
    • DYNAMIIKKA
      • Yleisestä dynamiikan menetelmästä, jonka avulla kaikkien vapaiden veto- tai hylkimispisteiden järjestelmien liikkeiden tutkiminen rajoittuu yhden keskussuhteen eli ominaisfunktion löytämiseen ja erottamiseen (215).
      • Toinen essee yleisestä menetelmästä dynamiikassa (287).
    • QUATERNIONS
      • Kvaternioneista tai uudesta imaginaarisuureiden järjestelmästä algebrassa (345).
      • Esipuhe luentoihin kvaternioneista (392).
    • LISÄYKSET
      • W. R. Hamiltonin kirjeestä J. Herschelille (439).
      • W. R. Hamiltonin kirje John T. Gravesille, Esq. (442).
    • SOVELLUKSET
      • Polak L. S. William Rowan Hamilton (1805-1865) (457).
      • Aleksandrova N. V. Hamiltonin Quaternion Calculus (519).
    • Kommentit, bibliografia, nimihakemisto.

Katso lista Hamiltonin matemaattisista teoksista , siellä on myös linkkejä näiden hänen teostensa alkuperäisteksteihin muodossa (valinnainen) Plain TeX , DVI , PostScript , PDF .

Muistiinpanot

  1. ↑ 1 2 MacTutor History of Mathematics -arkisto
  2. ↑ 1 2 William Rowan Hamilton // Brockhaus Encyclopedia  (saksa) / Hrsg.: Bibliographisches Institut & FA Brockhaus , Wissen Media Verlag
  3. ↑ 1 2 William Rowan Hamilton // Gran Enciclopèdia Catalana  (kat.) - Grup Enciclopèdia Catalana , 1968.
  4. ↑ 1 2 Englanninkielinen Wikipedia-yhteisö Wikipedia  (englanniksi) - 2001.
  5. ↑ 1800-luvun matematiikka. Osa I, 1978 , s. 73.
  6. ↑ 1 2 3 4 Bogolyubov A. N., 1983 , s. 118.
  7. ↑ 1 2 Khramov Yu. A. Fyysikot: Biografinen hakuteos. 2. painos - M .: Nauka, 1983. - 400 s.  - S. 73-74
  8. ↑ 1 2 3 Stroyk D. Ya., 1984 , s. 211.
  9. ↑ Graves R.P. Sir William Rowan Hamiltonin elämä. Voi. III . - Dublin: Dublin University Press, 1889. - xxxvi + 673 s.  - s. 204-206
  10. ↑ 1 2 3 4 5 Aleksandrova N. V. Hamiltonin kvaternionien laskenta // Hamilton W. R. Valitut teokset: optiikka, dynamiikka, kvaternionit. - M . : Nauka, 1994. - (Tieteen klassikot). - S. 519-534
  11. ↑ Sir W. Rowan Hamilton .
  12. ↑ 1 2 Stillwell D., 2004 , s. 384-388.
  13. ↑ Veselovsky I.N., 1974 , s. 218.
  14. ↑ Polak L. S., 1994 , s. 460-462.
  15. ↑ Polak L. S., 1994 , s. 458.
  16. ↑ 1 2 Polak L. S., 1994 , s. 463.
  17. ↑ Polak L. S., 1994 , s. 464, 483.
  18. ↑ 1 2 Veselovsky I. N., 1974 , s. 224.
  19. ↑ 1 2 Stroik D. Ya., 1984 , s. 213.
  20. ↑ Klein F., 1937 , s. 228.
  21. ↑ Aleksandrova N.V., 1982 , s. 211.
  22. ↑ 1 2 Polak L. S., 1994 , s. 466.
  23. ↑ Polak L. S., 1956 , s. 230-231, 243-244.
  24. ↑ 1 2 Stroik D. Ya., 1984 , s. 240.
  25. ↑ Veselovsky I.N., 1974 , s. 172.
  26. ↑ Aleksandrova N.V., 1982 , s. 205-206.
  27. ↑ Aleksandrova N. V. Joidenkin matemaattisten käsitteiden alkuperästä // La . tieteellinen metodi. matematiikan paperit , voi. 8, 1978. - S. 104-109
  28. ↑ 1 2 3 4 Aleksandrova N.V., 1982 , s. 206-207.
  29. ↑ Postnikov M. M. Geometrian luentoja. Lukukausi IV. Differentiaaligeometria. - M .: Nauka, 1988. - 496 s. - ISBN 5-02-013741-1 .  - S. 124-126.
  30. ↑ 1 2 3 Kirpichnikov S. N., Novoselov V. S. Matemaattiset näkökohdat jäykän kappaleen kinematiikasta. - L . : Kustantaja Leningrad. un-ta, 1986. - 252 s.  - S. 102-109
  31. ↑ Kostrikin A. I. Johdatus algebraan. - M .: Nauka, 1977. - 496 s.  - S. 466-467
  32. ↑ Stillwell D., 2004 , luku 20. Hyperkompleksiluvut.
  33. ↑ 1 2 3 Aleksandrova N.V., 1982 , s. 208.
  34. ↑ 1 2 Klein F., 1937 , s. 225-226.
  35. ↑ Zhuravlev V. F. Teoreettisen mekaniikan perusteet. 2. painos - M .: Fizmatlit, 2001. - 320 s. — ISBN 5-94052-041-3 .  — S. 32—38
  36. ↑ Yleisalgebra. T. 1 / Ed. L. A. Skornyakova. - M .: Nauka, 1990. - 592 s. — (Matemaattinen viitekirjasto). — ISBN 5-02-014426-6 .  - S. 296, 335-336
  37. ↑ Golubev Yu. F. Teoreettisen mekaniikan perusteet. 2. painos - M . : Moskovan kustantamo. un-ta, 2000. - 719 s. — ISBN 5-211-04244-1 .  - S. 110-112
  38. ↑ Shafarevich I. R. Algebran peruskäsitteet. - M .: VINITI AN SSSR, 1986. - 289 s. — (Nykyajan matematiikan ongelmat. Perusohjeet. V. 11).  - s. 76
  39. ↑ 1800-luvun matematiikka. Osa I, 1978 , s. 74.
  40. ↑ 1800-luvun matematiikka. Osa II, 1981 , s. 55-56.
  41. ↑ Stillwell D., 2004 , s. 388.
  42. ↑ Maxwell J.K. Artikkelit ja puheet. - M .: Nauka, 1968. - S. 39.
  43. ↑ Krylov A.N. Katsaus akateemikko P.P. Lazarevin työhön . Haettu 2. joulukuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 3. toukokuuta 2017.
  44. ↑ Aleksandrova N. B. Vektorilaskennan historiasta. - M .: MAI Publishing House, 1992. - 152 s.
  45. ↑ Kurochkin Yu. A. Kvaternionit ja jotkin niiden sovellukset fysiikassa. Väitöskirjan esipainos nro 109. - BSSR:n tiedeakatemian Fysiikan instituutti. – 1976.
  46. ↑ Pobegailo A.P. Kvaternionien käyttö tietokonegeometriassa ja -grafiikassa. - Minsk: BSU Publishing House, 2010. - 216 s. — ISBN 978-985-518-281-9 .
  47. ↑ 1 2 Wittenburg J. . Jäykkien kappaleiden järjestelmien dynamiikka. - M .: Mir, 1980. - 292 s.  - S. 25-26, 34-36
  48. ↑ 1 2 Pogorelov D. Yu. . Johdatus kappaleiden järjestelmien dynamiikan mallintamiseen. - Bryansk: BSTU:n kustantaja, 1997. - 156 s. — ISBN 5-230-02435-6 .  - S. 22-26, 31-36
  49. ↑ Ishlinsky A. Yu  . Suuntaus, gyroskoopit ja inertianavigointi. - M .: Nauka, 1976. - 672 s.  - S. 87-103, 593-604
  50. ↑ Chub V. F. Inertianavigoinnin yhtälöt ja aika-avaruuden kvaternioteoria . Haettu 9. joulukuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 13. joulukuuta 2013.
  51. ↑ Lehti "Hyperkompleksiluvut geometriassa ja fysiikassa" . Käyttöpäivä: 9. joulukuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 26. syyskuuta 2016.
  52. ↑ Klein F., 1937 , s. 224.
  53. ↑ Klein F., 1937 , s. 229-231.
  54. ↑ Polak L. S., 1956 , s. 273.
  55. ↑ Stillwell D., 2004 , s. 355.
  56. ↑ Akimov O. E. . Hamiltonin ongelma dodekaedriketjuista // Diskreetti matematiikka. Logiikka, ryhmät, graafit, fraktaalit . - 2005. - 656 s. — ISBN 5-9900342-1-0 .
  57. ↑ Gardner, Martin. "Icosahedral game" ja "Tower of Hanoi" // Matemaattisia pulmia ja viihdettä . - M .: AST, 2010. - ISBN 978-5-17-068027-6 .
  58. ↑ William R. Hamilton viidennen asteen yhtälöistä . Haettu 9. joulukuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 13. joulukuuta 2013.
  59. ↑ 1800-luvun matematiikka. Osa I, 1978 , s. 68.
  60. ↑ Pogrebyssky I. B., 1966 , s. 185.
  61. ↑ 1 2 3 Gliozzi M. Fysiikan historia. - M .: Mir, 1970. - 464 s.  — S. 207-208, 399-401
  62. ↑ Pogrebyssky I. B., 1966 , s. 185-188.
  63. ↑ Klein F., 1937 , s. 237.
  64. ↑ Eikonal // Fyysinen tietosanakirja (5 osassa) / Toimittanut akad. A. M. Prokhorova . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1998. - V. 5. - ISBN 5-85270-034-7 .
  65. ↑ 1 2 Polak L. S., 1956 , s. 217-219, 228.
  66. ↑ 1 2 Pogrebyssky I. B., 1966 , s. 189.
  67. ↑ Pogrebyssky I. B., 1966 , s. 185, 189-190.
  68. ↑ Stillwell D., 2004 , s. 387.
  69. ↑ Klein F., 1937 , s. 236.
  70. ↑ Pogrebyssky I. B., 1966 , s. 184, 208.
  71. ↑ Polak L. S., 1956 , s. 230.
  72. ↑ 1 2 Polak L. S., 1994 , s. 486-490.
  73. ↑ Polak L. S., 1994 , s. 476-481.
  74. ↑ Pogrebyssky I. B., 1966 , s. 191.
  75. ↑ Kvanttiilmiöiden klassisia analogioita (pääsemätön linkki) . Haettu 30. marraskuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 3. joulukuuta 2013. 
  76. ↑ 1 2 Lanczos K. Mekaniikan variaatioperiaatteet. - M .: Mir, 1965. - 408 s.  — S. 257, 393
  77. ↑ 1 2 3 4 Rumyantsev VV  Leonhard Euler ja mekaniikan variaatioperiaatteet. § 4. Hamiltonin periaate ja optis-mekaaninen analogia // Leonhard Eulerin ideoiden ja modernin tieteen kehitys. - M .: Nauka, 1988. - S. 191-202 .
  78. ↑ 1 2 Rumjantsev V. V.  . Hamilton-Ostrogradsky-periaate // Matemaattinen tietosanakirja. T. 1. - M . : Sov. tietosanakirja, 1977.  - 1152 jne. - Stb. 856-857
  79. ↑ Veselovsky I.N., 1974 , s. 223.
  80. ↑ Mekaniikan historia Venäjällä / Toim. A. N. Bogolyubova, I. Z. Shtokalo. - Kiova: Naukova Dumka, 1987. - 392 s.  - S. 297-298
  81. ↑ Sretensky L. N.  . Analyyttinen mekaniikka (XIX vuosisata) // Mekaniikan historia XVIII lopusta XX vuosisadan puoliväliin / Toim. toim. A. T. Grigoryan , I. B. Pogrebyssky . - M .: Nauka, 1972. - 411 s.  - s. 7
  82. ↑ Polak L. S., 1994 , s. 495, 506.
  83. ↑ Arnold V. I. . Klassisen mekaniikan matemaattiset menetelmät. - M .: Nauka, 1974. - S. 136.
  84. ↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Kenttäteoria. - 7. painos, tarkistettu. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa II). — ISBN 5-02-014420-7 . Luku IV. Sähkömagneettisen kentän yhtälöt.
  85. ↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Kenttäteoria. - 7. painos, tarkistettu. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa II). — ISBN 5-02-014420-7 . § 8. Vähiten toimien periaate.
  86. ↑ Vizgin V.P. Einsteinin ja Hilbertin gravitaatiokentän yhtälöiden löytämisestä (uudet materiaalit) Arkistokopio 27. lokakuuta 2020 Wayback Machinessa // UFN , nro 171 (2001). - S. 1347
  87. ↑ Aleksandrova N.V., 1982 , s. 209.
  88. ↑ Butenin N. V., Lunts Ya. L., Merkin D. R. Teoreettisen mekaniikan kurssi. Vol. I: Statiikka ja kinematiikka. 3. painos - M .: Nauka, 1979. - 272 s.  - S. 145, 160-161
  89. ↑ Dr. James B. Calvert. Hodograph (linkki ei saatavilla) . Denverin yliopisto . Haettu 1. joulukuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 10. kesäkuuta 2007. 
  90. ↑ Scott Bar E. Fysiikkaa kiinnostavat vuosipäivät vuonna 1965  // American Journal of Physics. - 1965. - T. 33 , nro 2 . - S. 76-91 .
  91. ↑ Lánczos C.  William Rowan Hamilton - arvostus  // Amerikkalainen tiedemies. - 1967. - T. 55 , no. 2 . - s. 129-143.
  92. ↑ Polak L. S., 1994 , s. 507-508.
  93. ↑ Polak L. S., 1994 , s. 466-469.
  94. ↑ Polak L. S., 1994 , s. 471.
  95. ↑ Hamilton W. R. . Matemaattiset paperit. Voi. I. Geometrinen optiikka. - Cambridge: Cambridge University Press, 1931. - xxviii + 534 s.
  96. ↑ Pogrebyssky I. B., 1966 , s. 184.
  97. ↑ Hamilton W. R. . Matemaattiset paperit. Voi. I. Geometrinen optiikka. - Cambridge: Cambridge University Press, 1931. - xxviii + 534 s.  - s. 315
  98. ↑ Pogrebyssky I. B., 1966 , s. 192-195.
  99. ↑ Hamilton Institute, Irlannin kansallinen yliopisto  . Haettu 29. marraskuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 14. joulukuuta 2016.
  100. ↑ Hamilton Mathematics Institute,  TCD . Haettu 29. marraskuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 31. joulukuuta 2015.
  101. ↑ Sir William Rowan Hamiltonin elämäkerta . Haettu 7. joulukuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 11. joulukuuta 2013.

Kirjallisuus

  • Alexandrova N. V. . Vektorilaskennan peruskäsitteiden muodostuminen // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . Ongelma. XXVI. - M .: Nauka, 1982. - 336 s.  - S. 205-235.
  • Bogolyubov A. N. Hamilton William Rowan // Matematiikka. Mekaniikka. Elämäkerrallinen opas . - Kiova: Naukova Dumka, 1983. - 639 s.
  • Veselovsky I. N. Esseitä teoreettisen mekaniikan historiasta. - M . : Korkeakoulu, 1974. - 287 s.
  • Klein F. Luennot matematiikan kehityksestä 1800-luvulla . - M. - L. : GONTI, 1937. - T. I. - 432 s.
  • Kramar F. D. Quaternions Hamiltonin varhaisissa teoksissa // Luonnontieteiden historia ja metodologia. - M .: MGU, 1966. - Numero. V (matematiikka) . - S. 175-184 .
  • 1800-luvun matematiikka. Osa I. Matemaattinen logiikka, algebra, lukuteoria, todennäköisyysteoria / Toim. A. N. Kolmogorov , A. P. Juskevitš . - M .: Nauka, 1978. - 255 s.
  • 1800-luvun matematiikka. Osa II. Geometria. Analyyttisten funktioiden teoria / Toim. A. N. Kolmogorov , A. P. Juskevitš . - M .: Nauka, 1981. - 269 s.
  • Pogrebyssky I. B.  . Lagrangesta Einsteiniin: 1800-luvun klassinen mekaniikka. - M .: Nauka, 1966. - 327 s.
  • Polak L. S. William Hamilton, 1805-1865. - M .: Nauka, 1993. - 270 s. — ISBN 5-02-000216-X .
    • Polak L. S. William Hamilton, 1805-1865 // Hamilton W. R. Valitut teokset: optiikka, dynamiikka, kvaternionit. - M . : Nauka, 1994. - (Tieteen klassikot).
  • Polak L. S. William Rowan Hamilton (150-vuotissyntymäpäivän johdosta) // Proceedings of the Institute of the Natural Science. - Neuvostoliiton tiedeakatemia, 1956. - T. 15 (Fysikaalisten ja matemaattisten tieteiden historia) . - S. 206-276 .
  • Stillwell J. Matematiikka ja sen historia. - Moskova-Iževsk: Tietotekniikan tutkimuslaitos, 2004. - 530 s.
  • Stroyk D. Ya. Lyhyt katsaus matematiikan historiaan. - 4. painos - M .: Nauka, 1984. - 283 s.
  • Khramov Yu. A. Hamilton William Rowan // Fyysikot : Elämäkertaopas / Toim. A. I. Akhiezer . - Toim. 2nd, rev. ja ylimääräistä - M  .: Nauka , 1983. - S. 73-74. – 400 s. - 200 000 kappaletta.
  • Graves, Robert Perceval. Sir William Rowan Hamiltonin elämä. - Dublin University Press, 1882-1889.

Linkit

  Siirry Wikidata-kohteeseen  Temaattiset sivustot
Sanakirjat ja tietosanakirjat
Sukututkimus ja nekropolis
 Irlannin kuninkaalliset tähtitieteilijät
  • Kirja: Astronomers Royal of Ireland
  • Luokka:Irlannin kuninkaalliset tähtitieteilijät
  • Portaali: Tähtitiede