Ergodisuus

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 13.11.2020 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Ergodisuus on joidenkin dynaamisten järjestelmien erityinen ominaisuus , joka koostuu siitä, että evoluutioprosessissa lähes jokainen tila kulkee tietyllä todennäköisyydellä läheltä mitä tahansa muuta järjestelmän tilaa.

Ergodisissa järjestelmissä aikasarjojen matemaattisen odotuksen on oltava sama kuin avaruussarjan matemaattinen odotus. Eli järjestelmän parametrien määrittämiseksi voidaan tarkkailla jonkin sen elementin käyttäytymistä pitkään tai on mahdollista tarkastella kaikkia sen elementtejä (tai melko paljon elementtejä) hyvin lyhyessä ajassa. Jos järjestelmällä on ergodisuuden ominaisuus, niin molemmissa tapauksissa saadaan samat tulokset.

Ergodisten dynaamisten järjestelmien etuna on, että riittävällä havaintoajalla sellaiset järjestelmät voidaan kuvata tilastollisin menetelmin. Esimerkiksi kaasun lämpötila on molekyylin keskimääräisen energian mitta. Meidän on ensin todistettava tämän järjestelmän ergodisuus.

Ergodinen teoria on yksi yleisen dynamiikan haaroista.

Määritelmä

Olkoon todennäköisyysavaruus ja mittaa säilyttävä kartoitus. $(X,\;\Sigma ,\;\mu \,)$ $T:X\to X$

Kartoitus T on ergodinen sen suhteen, jos seuraava ehto täyttyy: $\mu$

mille tahansa T -invariantille osajoukolle (eli sellaiselle, että ) joko , tai . $E\in \Sigma$ $T^{-1}(E)=E$ $\mu (E)=0$ $\mu (E)=1$

Muistiinpanot

Määritelmä vastaa seuraavia ehtoja:

Kaikille positiivisten mittareiden alajoukoille meillä on $E\in \Sigma$ $\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }T^{-n}E\right)=1$ ;
Jokaiselle kahdelle positiivisen suuren joukolle E ja H on olemassa n > 0 siten, että *: ; $\mu ((T^{-n}E)\cap H)>0$
Mikä tahansa T -invariantti mitattava funktio on vakio lähes kaikkialla. $f:X\to \mathbb {R}$

Katso myös

Kirjallisuus

V. I. Arnold , A. Avets . Ergodiset ongelmat klassisessa mekaniikassa . - Moskova-Iževsk: RHD, 1999.
I.P. Kornfeld, Ya.G. Sinai , S.V. Fomin Ergodinen teoria. - M.: Nauka, 1980.
Katok A. B. , Hasselblat B. Johdatus dynaamisten järjestelmien moderniin teoriaan / käänn. englannista. A. Kononenko mukana S. Ferleger. - M . : Factorial, 1999. - 768 s. — ISBN 5-88688-042-9 .
Katok A. B. , Hasselblat B. Johdatus nykyaikaiseen dynaamisten järjestelmien teoriaan ja katsaus viimeaikaisiin saavutuksiin / Per. englannista. toim. A.S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 s. — ISBN 5-94057-063-1 .
Khinchin A. Ya. Tilastomekaniikan matemaattiset perusteet, M.-L., 1943.
Nemytsky V. V. , Stepanov V. V. Differentiaaliyhtälöiden kvalitatiivinen teoria , 2. painos, M. - L., 1949.
Halmos P. Ergodisen teorian luentoja: per. englannista. - M., 1959.
GD Birkhoff , Ergodisen lauseen todiste, (1931), Proc Natl Acad Sci USA, 17 s. 656-660.
J. von Neumann , Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci USA, 18 s. 70-82.
J. von Neumann , Physical Applications of the Ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci USA, 18, s. 263-266.

Linkit

Ergodinen teoria // Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja : [30 nidettä] / ch. toim. A. M. Prokhorov . - 3. painos - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1969-1978.