Leipurin kartoitus on epälineaarinen yksikköneliön kartoitus itseensä, joka käyttäytyy kaoottisesti .
Nimi "leipurinäyttö" tulee sen samankaltaisuudesta taikinan vaivaamiseen .
Saadaksesi tämä kartoitus, harkitse binäärimerkkien (0 ja 1) symbolista sarjaa, joka on ääretön molempiin suuntiin
… S -2 , S -1 , S ° ; S 1 , S 2 ,…Verrataan tätä sarjaa kahteen reaalilukuon (binäärikoodissa)
x = 0. S 1 S 2 S 3 ... y = 0. S 0 S -1 S -2 ...Koska binäärijärjestelmässä koko luvun siirtyminen vasemmalle yhdellä numerolla vastaa kertomista kahdella, siirto oikealle vastaa jakamista kahdella, ja murto-osan ottaminen suurimman numeron hylkäämiseen on helppoa varmistaaksesi, että kun symbolinen sekvenssi siirretään vasemmalle, saadaan uusia arvoja
x' = 2x mod 1 y' = 1/2 ( y + [2x])missä [x] on kokonaisluku ja (mod 1) on x :n murto-osa . Iteroimalla saatuja pisteitä kutsutaan pisteen radaksi (x o , y o ) . Ratapisteet voidaan tunnistaa yksikköneliön pisteistä.
Muunnos koostuu neliön tasaisesta puristamisesta 2 kertaa pystysuunnassa ja venyttämisestä vaakasuunnassa. Seuraavaksi oikea puoli tulisi leikata pois ja laittaa vasemmalle. Sen kahden ensimmäisen iteroinnin toiminta on esitetty kuvassa.
On selvää, että jos merkkijonossa ensimmäinen numero puolipisteen jälkeen on 0, niin x sijaitsee neliön vasemmalla puoliskolla ja jos 1, niin oikealla. Satunnaisessa merkkijonossa kiertoradan pisteet vierailevat neliön vasemmalla tai oikealla puoliskolla satunnaisesti. Monimutkaisten kulkureittien jatkumon olemassaoloa pidetään yhtenä kaaoksen tunnusmerkeistä.
Kartan jaksolliset kiertoradat löytyvät helposti symbolisekvenssistä. Joten symboliset sekvenssit, jotka koostuvat vain 0 :sta ja 1 :stä, vastaavat kiinteitä pisteitä (x, y) = (0, 0) ja (1, 1) . Jaksollinen sekvenssi (10) vastaa kahden pisteen (1/3, 2/3) ja (2/3, 1/3) kiertorataa .
Mikä tahansa x ja y voidaan mielivaltaisen tarkasti approksimoida binäärisekvensseillä 0.X o …X n ja 0.Y o …Y m , joissa n ja m ovat riittävän suuria. Siksi jaksollisen sekvenssin (Y m …Y o X o …X n ) kiertorata ohittaa mielivaltaisesti läheltä mitä tahansa neliön pistettä. Eli epävakaat jaksolliset kiertoradat muodostavat kaikkialla tiheän joukon.
Venyttely x - akselia pitkin johtaa siihen, että jokaisessa iteraatiossa minkä tahansa lähipisteparin välinen etäisyys vaakasuunnassa δx kasvaa 2 kertaa. Siksi tietyn iteraatiomäärän jälkeen (kun δx 2 n on paljon suurempi kuin 1) liikeradat liikkuvat tasaisesti koko neliön yli.
Uskotaan, että fyysisen järjestelmän alkutilaa ei voida määritellä täysin tarkasti, eli aina on otettava huomioon jokin (vaikkakin hyvin pieni) alkuolosuhteiden alue. Ilmeisesti kartoitusiteraatioiden aikana mikä tahansa valittu alue muuttuu kapeiden vaakajuovien kokoelmaksi, joka peittää tasaisesti yksikköneliön. Tällaisen sekoituksen jälkeen on turha puhua hiukkasen koordinaatista, mutta voit laskea sen todennäköisyyden tietyssä pisteessä (tietyllä kartoituksella kaikki neliön pisteet ovat yhtä todennäköisiä). Leipurin muunnos on käännettävissä; vastakkaiseen suuntaan iteroitaessa mikä tahansa alue katkeaa kapeiksi pystysuoriksi raidoiksi ja myös sekoitetaan koko neliön ympäri.
Ääretön satunnainen symbolinen sarja välttämättä (jossain äärettömässä) sisältää minkä tahansa merkkijonon Y m …Y o X o …X n (katso #Epävakaat jaksolliset kiertoradat ). Siksi tällaisen pisteen kiertorata kulkee mielivaltaisesti läheltä neliön kutakin pistettä, ja kiertoradan keskiarvon laskeminen ("aika") voidaan korvata keskiarvon laskemisella ryhmän yli (ns. ergodinen hypoteesi ).