Numeeriset menetelmät

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 14. tammikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Numeeriset (laskennalliset) menetelmät - menetelmät matemaattisten ongelmien ratkaisemiseksi numeerisessa muodossa [1] .

Sekä alkutietojen esitys tehtävässä että sen ratkaisu - luvun tai lukujoukon muodossa .

Monet numeeriset menetelmät ovat osa matemaattisia ohjelmakirjastoja [2] . Koulutusjärjestelmässä teknisten erikoisalojen insinöörit ovat tärkeä osa.

Laskennallisten menetelmien perusteet ovat:

lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisu ;
funktioiden interpolointi ja likimääräinen laskenta ;
numeerinen integrointi ;
epälineaarisen yhtälöjärjestelmän numeerinen ratkaisu ;
tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaisu ;
osittaisdifferentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaisu ( matemaattisen fysiikan yhtälöt );
optimointiongelmien ratkaiseminen .

Metodologia

Kaikki laskennallisen matematiikan tehtävät ratkaistaan seuraavassa järjestyksessä [3] :

Alkuperäinen matemaattinen ongelma on korvattu toisella ongelmalla - laskentaalgoritmilla. Laskennallisen algoritmin päävaatimukset ovat: korkea tarkkuus , vakaus ja tehokkuus. Vaihdettaessa diskreettiin malliin ilmenee approksimaatiovirhe ja laskelmia toteutettaessa pyöristysvirhe , joten todellisille laskentaalgoritmeille suoritetaan laskenta-algoritmin virheiden ja stabiilisuuden analyysi [2] . Modernissa tieteessä sovelletun matematiikan ongelmien ratkaisemiseksi matemaattinen malli muotoillaan jatkuvan argumentin funktioiden integraali- ja differentiaaliyhtälöiden avulla . Siirtyminen jatkuvuudesta diskreettiin matemaattiseen malliin suoritetaan korvaamalla jatkuvan argumentin funktiot diskreetin argumentin funktioilla . Tuloksena olevissa äärellisen eron yhtälöissä integraali ja derivaatta esitetään äärellisellä summalla ja erotussuhteella [2] . Tuloksena oleva malli on algebrallinen yhtälöjärjestelmä , jonka ratkaisua varten kootaan tietyllä tarkkuudella laskennallinen algoritmi , joka toteutetaan tietokoneilla [2] [4] . Suuria järjestelmiä ratkaistaessa on tarpeen laskea matriisien ominaisarvot ja vektorit , pelkistää epälineaariset yhtälöjärjestelmät lineaarisiksi. Joillekin ongelmille ( hermofysiikka , plasmafysiikka , taloustiede ) malli rakennetaan suoraan tilastolliseen otokseen tai suuriin esineisiin . Lisäksi rakennetaan epäsäännöllisiä järjestelmiä, joissa numeeriset menetelmät yhdistetään graafiteoriaan . Erillistä luokkaa edustavat huonosti asetetut ongelmat [2] .
Laskenta-algoritmi sisältää parametrin , jota ei ole alkuperäisessä tehtävässä; $N$
Valitsemalla tämän parametrin voidaan saavuttaa mikä tahansa läheisyys toisen ongelman ratkaisulle ensimmäisen ratkaisun kanssa. Useita tärkeitä ongelmaluokkia varten on kehitetty erilaisia numeerisia ratkaisumenetelmiä. Diskretisointimenetelmän mukaan numeeriset menetelmät jaetaan projektio- ja äärellisen eron menetelmiin, ratkaisumenetelmän mukaan suoriin ja iteratiivisiin. Äärillisen eron menetelmissä tehtävänä on määrittää funktion arvot diskreetillä pistejoukolla, kun taas projektiomenetelmissä funktiota edustaa lineaarinen elementtien yhdistelmä. Tässä tapauksessa diskreettifunktiota voidaan pitää myös polynomien lineaarisena yhdistelmänä. Suorilla ratkaisumenetelmillä on heikko stabiilius, kun taas iteratiiviset menetelmät ovat vakaampia ja tarjoavat nopean konvergenssin [2] . $N$
Laskelmien pyöristyksen aiheuttama algoritmin epätarkka toteutus ei muuta merkittävästi sen ominaisuuksia. On muistettava, että tietokone suorittaa vain neljä aritmeettista perusoperaatiota [5] . Ratkaisun tarkkuuden tulisi tässä tapauksessa olla jonkin verran suurempi kuin fyysisen kokeen odotettu tarkkuus [6] . Virheen kasvun kriteerejä ja ehtoja määriteltäessä pyöristysvirhettä ei otettu huomioon pitkään aikaan. Tarve taatuille arvioille todellisten laskelmien tarkkuudesta johti intervallianalyysin syntymiseen . Optimaalinen algoritmi on algoritmi, jossa on minimivirhe tai minimimäärä operaatioita tietylle virheelle. Samaan aikaan kehitetään rinnakkaisten laskentaalgoritmien teoriaa [2] .

Matemaattinen laite

Symbolisesti tuntemattoman suuren etsimisen ongelma kirjoitetaan muodossa . Laskennallisen matematiikan hakuun käytetään yhtä tai useampaa avaruuden substituutiota, jossa määritetään suuret , , tai funktiot laskennan helpottamiseksi. Tuloksena olevalla uudella ongelmalla tulisi olla ratkaisu, joka on lähellä alkuperäisen ongelman ratkaisua. Esimerkiksi integraalia laskettaessa janan jatkuva funktio voidaan aina korvata polynomilla , jonka integraali on helppo määrittää; tai korvaa integraali äärellisellä summalla ja ratkaise tuloksena oleva ongelma. Tällaisen korvaamisen suorittamiseksi on löydettävä rajallinen joukko elementtejä, jotka lähentyvät hyvin päätilaa. Viimeinen ehto asettaa rajoituksia metriavaruuteen . Suurin rajoitus on -verkon olemassaolo, josta tila on itsessään kompakti ja erotettavissa . Tämä rajoitus ei kuitenkaan ole pakollinen. Nykyaikaiset funktionaalisen analyysin menetelmät mahdollistavat ongelman olosuhteisiin sopivimpien metristen avaruuksien valitsemisen [7] . $y=A(x)$ $y$ $x$ $y$ $A$ $\bar{y}=\bar{A}(\bar{x})$ $\int_a^bf(x) dx$ $[a,b]$ $P(x)$ $\sum^{n}_{i=1} {f(x_i) \Delta x_i}$ $\epsilon$

Numeerisia menetelmiä käytettäessä syntyy monenlaisia virheitä. Kun yhtä lukua lähestyy toinen, tapahtuu pyöristysvirhe, virheelliseen alkutietoon liittyvää virhettä kutsutaan kohtalokkaaksi, lisäksi alkuperäisen ongelman korvaamisen vuoksi likimääräisellä menetelmässä on virhe. Kokonaisvirhe on tässä tapauksessa menetelmän virheen ja laskelmien virheen summa, toisin sanoen yhtälön sijasta ratkaistaan yhtälö, jonka ratkaisun tarkkuus määräytyy kaavalla [8] $y=A(x)$ $\bar{\bar{y}}=\bar{\bar{A}}(\bar{\bar{x}})$

y-\bar{\bar{y}}=(y-\bar{y})+(\bar{y}-\bar{\bar{y}})

Virheen suuruuden määrittämiseen käytetään absoluuttisen ja suhteellisen virheen käsitteitä sekä rajoittavaa absoluuttista ja suhteellista virhettä, kun taas virheteoria määrittää virheiden suuruuden muutoksen eri aritmeettisten operaatioiden aikana [9] . Virheiden tarkan arvioinnin menetelmien lisäksi, joiden seurauksena virheiden raja-arvot määritetään, käytetään tilastollisia menetelmiä yksittäisten virheiden saavuttamisen mahdollisuuden määrittämiseen [10] ja myös satunnaisten virheiden matemaattiset ominaisuudet. liittyy poikkeamiseen määritellyistä koeolosuhteista, kun useat mittaustulokset fyysinen määrä määritetään sen likimääräisellä arvolla [11] .

Perustapoja approksimoida funktioita

Interpolointi

Arvotaulukon antaman funktion arvon saamiseksi argumentin väliarvoille rakennetaan likimääräinen funktio , joka tietyissä pisteissä , joita kutsutaan interpolaatiosolmuiksi, ottaa arvot ja muissa pisteissä. kuuluu funktion alueeseen. Useimmiten likimääräinen funktio konstruoidaan algebrallisena polynomina, joka sisältää lineaarisesti riippumattoman järjestelmän ensimmäiset alkiot. Käytännössä lineaarisesti riippumattoman järjestelmän elementteinä potenssien sarja : , trigonometriset funktiot : , eksponentiaaliset funktiot : [12] . $f(x)$ $\varphi(x)$ ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{m))$ $f(x_{0}),\dots ,f(x_{m})$ $n+1$ $x$ ${\näyttötyyli 1,x,x^{2},\pisteet }$ $1,\sin x,\cos x,\sin 2x,\dots$ $1,e^{\alpha _{1}x},e^{\alpha _{2}x},\dots$

Interpoloivan funktion muodostamiseksi tässä tapauksessa on tarpeen ratkaista yhtälöjärjestelmä tuntemattomilla. Järjestelmän tuloksena olevalle matriisille asetetaan tietyt ehdot: matriisin asteen tulee olla yhtä suuri kuin , ja — lineaarisen riippumattomuuden ehdon takaamiseksi — jotta ongelman ratkaisu on yksiselitteinen, matriisin determinantti — niin että ratkaisu on olemassa ja lisäksi ainutlaatuinen [13] . Lagrangen interpolaatiopolynomin rakentaminen on perusmenetelmä tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi, erittäin resurssiintensiivinen ja vaikeasti laajennettavissa [14] . $m+1$ $n+1$ $m+1$ $n\geq m$ $n=m$ $\Delta \neq 0$ $L_n(x)$

Seuraava askel on ottaa käyttöön - :nnen kertaluvun jaetun erotuksen käsite, joka perustuu naapurisolmujen funktion arvon eron suhteeseen solmujen väliseen etäisyyteen, jolla on määritelmänsä perusteella luku. hyödyllisistä ominaisuuksista erityisesti jaetuilla kertalukueroilla astepolynomista on aste , eli järjestyserot ovat vakioita, kun taas korkeamman kertaluvun erot ovat [15] . Jaetut erot mahdollistavat Lagrangen interpolaatiopolynomin kirjoittamisen uudelleen muotoon, joka on helpompi laskea. Uutta kaavaa kutsutaan Newtonin interpolaatiopolynomiksi [16] , yhtäläisten intervallien tapauksessa kaava yksinkertaistuu huomattavasti [17] . Jaettujen erojen avulla muodostetaan Gaussin , Stirlingin , Besselin , Everettin interpolaatiokaavat [18] . Yleisessä tapauksessa jaetut erot ensin pienenevät järjestyksen kasvaessa ja alkavat sitten taas kasvaa, eli laskelmissa ei ole järkevää käyttää korkean kertaluvun eroja [19] . Tämä herättää kysymyksen interpolointiprosessin konvergenssista, jonka ratkaisemiseen käytetään erilaisia matemaattisen analyysin menetelmiä [20] . $k$ $k$ $n$ $nk$ $n$ $0$

Uniform approksimaatiot

Käytännön ongelmia ratkaistaessa on tarpeen laskea toistuvasti tietyn funktion arvot, mikä yleensä on resurssivaltaista toimintaa. On tarpeen löytää parhaan yhtenäisen approksimoinnin funktio [21] . Approksimaatiota varten funktiot lineaarisessa normiavaruudessa muodostavat aliavaruuden kaikkien mahdollisten lineaariyhdistelmien dimensioista, joille normi on määritelty ja sen infimumi on olemassa . Elementtiä, jossa tämä reuna saavutetaan, kutsutaan parhaan approksimaation elementiksi eli projektioksi [22] . Voidaan todistaa, että aliavaruudessa on aina olemassa parhaan approksimation omaava elementti [23] , ja tilan tiukan normalisoinnin ehdolla tällainen elementti on ainutlaatuinen [24] . Jatkuvien funktioiden avaruudessa normin kanssa $n+1$

\lVert f\rVert =\sup _{x\in {[a,b)))|f(x)|

on myös parhaan approksimaatioelementti [25] , mutta sen ainutlaatuisuuden ehtona on korkeintaan erotettavien yleisen polynomin nollien läsnäolo välissä ( Tšebyševin polynomit ) [26] . $n$

Funktioteoria soveltuu tehofunktioiden järjestelmään, koska se on Tšebyševin järjestelmä millä tahansa aikavälillä [27] . Weierstrassin lauseen mukaan aliavaruuden ( ) mittasuhteen kasvaessa projektion ja annetun funktion välinen ero pyrkii nollaan [28] . Tämän approksimoinnin järjestys riippuu funktion rakenteellisista ominaisuuksista, se voidaan määrittää Bernsteinin polynomeilla [29] . Trigonometristen funktioiden järjestelmällä on myös Tšebyševin järjestelmän ominaisuuksia välissä , sillä projektion ja annetun funktion välinen ero pyrkii myös nollaan [30] . $n\to\infty$ $[0,2\pi )$

Huolimatta esitetystä parhaan approksimaatiopolynomin olemassaolosta, ei ole tapoja rakentaa sitä tarkasti. Sen sijaan käytetään useita menetelmiä parhaan yhtenäisen approksimation omaavien polynomien konstruktion approksimoimiseksi [31] .

RMS-likiarvot

Monissa tapauksissa yhtenäisen approksimoinnin vaatimus on tarpeeton ja funktioiden "integraalinen" läheisyys riittää, lisäksi kokeesta saadut likimääräisten funktioiden arvot sisältävät satunnaisia virheitä, eikä ole suositeltavaa vaatia funktioiden yhteensopivuutta. approksimoivat ja approksimoivat funktiot, jos jälkimmäinen sisältää epätarkkuuksia. Neliön keskiarvon likiarvomenetelmä ottaa seuraavan arvon läheisyyden mittana

\delta ={\sqrt {\int _{a}^{b}p(x)[f(x)-\phi (x)]^{2}dx)),

mikä mahdollistaa integrandin interpoloinnin ja jatkuvuuden vaatimuksen luopumisen säilyttäen vain neliöintegroitavuuden vaatimukset [32] .

Numeerinen eriyttäminen ja integrointi

Funktionavaruuteen määritelty yhtälö, jonka muoto on , voi sisältää differentiaatio- ja integrointioperaattoreita , joille on mahdotonta löytää tarkkaa ratkaisua. Numeerisen differentioinnin ja integroinnin menetelmät perustuvat interpolointiin [33] . $y=A(x)$

Pääfunktion derivaatan katsotaan olevan suurin piirtein yhtä suuri kuin interpolointifunktion derivaatta, kun taas interpolointikaavan lopputermin derivaatta voi olla suuri, erityisesti korkeamman kertaluvun derivaatan kohdalla [34] . Numeeriset differentiaatiokaavat perustuvat suurelta osin Newtonin [35] , Gaussin, Stirlingin ja Besselin [36] interpolaatiokaavojen suoraan differentiaatioon, joka on rakennettu hajautettujen erojen varaan, mutta on myös erottomia kaavoja. Erityisesti kun numeeriselle differentiaalille käytetään suoraan Lagrangen kaavaa yhtäläisille intervalleille [37] , määrittelemättömien kertoimien menetelmää ja muita [38] .

Integraalin tapauksessa jo integraalin määritelmä osoittaa mahdollisuuden korvata se integraalisummalla , mutta tämä tekniikka konvergoituu hitaasti ja siitä on vähän hyötyä. Pääfunktion integraalin katsotaan olevan suunnilleen yhtä suuri kuin interpoloivan funktion integraali, ja jatkossa käytetään interpolointikaavoja, joissa on useita solmuja [39] . Lagrangen interpolaatiopolynomin käyttö yhtäläisille intervalleille integrandina johtaa Newton-Cotesin kaavoihin [40] ja sen erityistapauksiin, puolisuunnikkaan kaavaan , kun integrandikäyrä korvataan sointeella ja integraali on yhtä suuri kuin . puolisuunnikas ja Simpsonin kaava, kun integrandikäyrä korvataan kolmen pisteen läpi kulkevalla paraabelilla [ 41] . Luopumalla yhtäläisten välien vaatimuksesta Lagrangen interpolaatiopolynomin avulla voidaan saada tarkempia kaavoja numeeriseen integrointiin, erityisesti Gaussin kaavat [42] , Hermite-kaavat [43] , Markovin kaavat [44] , Chebyshev-kaavat [45 ] ] . Gaussin interpolaatiokaavojen pohjalta rakennetut kvadratuuriprosessit konvergoivat aina, kun taas Newton-Cotesin kaavoilla ei yleensä ole näitä ominaisuuksia [46] .

Numeeriseen integrointiin on muitakin tapoja, joista tärkein on Eulerin kaavojen käyttö, joissa muuttujien muutos ja sitä seuraava integrointi osien mukaan johtaa kaavaan numeerista integrointia varten puolisuunnikkaan ja korjaustermiin, johon muuttujien muutos ja osien integrointi otetaan uudelleen käyttöön. Yleisessä tapauksessa Eulerin kaava käyttää kertoimina lukuja ja Bernoullin polynomeja [47] . Kysymys yhden tai toisen numeerisen integroinnin menetelmän soveltamisesta riippuu sellaisista tekijöistä kuin laskentatyökalut, vaadittava tarkkuus ja integrandin määrittelytapa. Manuaalisissa laskelmissa on suositeltavaa käyttää eroja sisältäviä kaavoja, kun taas automaattisissa laskelmissa - ei-erotuskaavoja, erityisesti Gaussin kaavoja [48] .

Useiden integraalien likimääräiseen laskemiseen käytetään toistuvasti yksittäisten integraalien numeerisen integroinnin kaavoja, kun taas funktion ominaisuuksista riippuen eri integraaleille voidaan käyttää erilaisia kaavoja. Tätä menetelmää käytettäessä integrandi on laskettava suuressa määrässä pisteitä, joten on suositeltavaa käyttää Gaussin ja Chebyshev-kaavoja, jotka ovat tarkempia [49] . Toinen tapa on korvata integrandi interpolaatiopolynomilla kahdessa tai useammassa muuttujassa [50] . Lyusternik ja Ditkin ehdottivat Maclaurin-kaavojen käyttöä moniintegraalin likimääräiseen laskemiseen [51] . Samaan aikaan integraalin moninkertaisuuden kasvaessa niiden pisteiden määrä, joille on tarpeen tietää integrandin arvot, jotta voidaan käyttää interpolointiin perustuvia menetelmiä, kasvaa jyrkästi. Useampien integraalien laskemiseen käytetään useammin todennäköisyyspohjaisia Monte Carlo -menetelmiä , kun taas tarve saada yhtä mahdollisia sekvenssejä aiheuttaa ylimääräisiä virheitä, joita on vaikea arvioida [52] .

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseen on olemassa kaksi menetelmäryhmää: tarkat menetelmät mahdollistavat äärellisen määrän operaatioiden avulla saada tarkat tuntemattomien arvot ja sisältävät järjestelmän muuntamisen yksinkertaiseen muotoon ja yksinkertaistettu järjestelmä; Alkuperäisiin approksimaatioihin perustuvat peräkkäiset approksimaatiomenetelmät mahdollistavat "parannettujen" likimääräisten arvojen saamisen, joille "parannus"-toiminto tulee toistaa peräkkäin; Monte Carlon menetelmät mahdollistavat satunnaismuuttujien matemaattisten odotusten perusteella ratkaisun saamisen järjestelmään [53] .

Algebran koulukurssilta tunnettu eliminointimenetelmä mahdollistaa järjestelmän matriisin pelkistämisen diagonaali- tai kolmiomuotoon [54] . Gaussin eliminointimenetelmä pääelementin valinnalla, joka on välttämätön laskennallisen virheen vähentämiseksi, sisältää liikkeen eteenpäin (itse eliminointiprosessi) ja taaksepäin liikkeen (kolmiomatriisin järjestelmän ratkaisu) [55] . Sen kompaktia versiota käytetään käänteismatriisin määrittämiseen, josta voi olla hyötyä, jos vain oikea puoli muuttuu lineaariyhtälöjärjestelmässä [56] ja determinanttien laskemiseen [57] . Jordan-kaavio mahdollistaa käänteisen liikkeen helpotuksen [58] , ja järjestelmässä ilman käänteistä liikettä, joka perustuu solumatriisin muuntamiseen , jälkimmäistä ei vaadita [59] . Matriisisymmetriaehdon avulla voimme tehdä useita yksinkertaistuksia ja käyttää neliöjuurimenetelmää, jossa järjestelmämatriisi esitetään alemman kolmiomatriisin tulona sen suhteen transponoidulla matriisilla, jossa kolmiomatriisit määritetään kaavoilla alkuperäisen matriisin alkioiden tulojen kautta (jos positiivisten määrällisten matriisien ehtoa ei ole, jotkut kaavat voivat sisältää imaginaarielementtejä), ja sitten järjestelmä ratkaistaan kahdessa vaiheessa apuratkaisun kautta. kolmiomatriiseille rakennetut järjestelmät [60] . On olemassa myös skalaaritulon ominaisuuksiin perustuva ortogonalisointimenetelmä [61] , konjugaattigradienttimenetelmä, jossa konstruoidaan apufunktio, joka muodostaa ellipsoidien perheen, joilla on yhteinen keskus ja jolle on tarpeen löytää vektori. jolle se ottaa vähimmäisarvon [62] . Korkean asteen matriiseille käytetään solun osiointimenetelmää, jolloin ongelma rajoittuu alemman asteen matriisien ongelmien ratkaisemiseen [63] . ${\begin{pmatrix}A&b\\-I&0\end{pmatrix}}$

Peräkkäisten approksimaatioiden tapauksessa käytetään toistuvaa kaavaa

{\overline {x}}_{k+1}=F_{k}({\overline {x}}_{0},\dots ,{\overline {x}}_{k}),

missä on funktio, joka riippuu systeemimatriisista, oikeasta, approksimaatioluvusta ja aiemmista approksimaatioista , missä on alkuvektori. Tässä tapauksessa menetelmää pidetään ensim- mäisenä, jos funktio riippuu vain viimeisestä aikaisemmista approksimaatioista. Tässä tapauksessa kaava voidaan kirjoittaa muodossa , missä . Laskelmien mukavuuden vuoksi on toivottavaa käyttää diagonaalista tai kolmiomatriisia , joka on kätevä kääntää. Tämän matriisin valinnasta riippuen menetelmiä kutsutaan täysvaiheiseksi ja yksivaiheiseksi [64] . Lineaariset täysivaiheiset menetelmät sisältävät yksinkertaisen iteroinnin [65] , Richardsonin menetelmän [66] ; lineaarisiin yksivaiheisiin menetelmiin - Seidelin menetelmä [67] , relaksaatiomenetelmä [68] ; epälineaarisiin menetelmiin - jyrkimmän laskun menetelmään [69] . $F_{k}$ ${\overline {x}}_{0},\dots ,{\overline {x}}_{k}$ ${\overline {x}}_{0}$ ${\overline {x}}_{k+1}=B_{k}{\overline {x}}_{k}+{\overline {c}}_{k}$ $D_{k}{\overline {x}}_{k+1}+E_{k}{\overline {x}}_{k}={\overline {b}}$ $D_{k}+E_{k}=A$ $D_{k}$

Korkeamman asteen algebrallisten yhtälöiden ja transsendenttisten yhtälöiden ratkaisu

Algebrallisen yhtälön ratkaisu , jossa todellisen tai kompleksisen argumentin funktio on vasemmalla puolella, on kompleksitasossa [70] . Sen määrittämiseksi on ensinnäkin tarpeen sulkea jokainen juuri riittävän pienelle alueelle, eli erottaa se, johon usein käytetään graafisia menetelmiä [71] . Reaalijuurille käytetään myös yleistettyä Descartes-sääntöä, Sturmin lausetta [72] ja Fourier-menetelmää [73] . Neliöjuurimenetelmä tai Lobachevsky-menetelmä [74] on löytänyt laajan sovelluksen . Perusmuodossaan se koskee todellisia juuria [75] , jotka ovat kaukana toisistaan, mutta yleistyksiä on sekä kompleksisiin [76] että todellisiin yhtäläisiin tai läheisiin juuriin [77] . $f(z)=0$

Iteratiiviset menetelmät algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseksi jaetaan stationäärisiin, kun funktio liittyy toiseen funktioon, jolla on samat juuret, iteraatioluvusta riippumatta [78] , ja ei-stationaarisiin, jolloin funktio voi riippua iteraatioluvusta. Yksinkertaisimpia stationaarisia iteratiivisia menetelmiä ovat sekanttimenetelmä (tai lineaarinen interpolointimenetelmä) ja tangenttimenetelmä (tai Newtonin menetelmä), jotka ovat vastaavasti ensimmäisen ja toisen asteen menetelmiä. Näiden menetelmien yhdistelmä, jossa peräkkäiset approksimaatiot sijaitsevat juuren vastakkaisilla puolilla, mahdollistaa nopeamman konvergenssin saavuttamisen [79] . Tšebyshevin menetelmä, joka perustuu käänteisfunktion laajentamiseen Taylorin kaavalla, mahdollistaa korkeamman asteen menetelmien rakentamisen erittäin nopealla konvergenssilla [80] . On olemassa myös Koenigin lauseeseen [81] ja Aitkenin menetelmään [82] perustuva menetelmä . Iteratiivisten menetelmien konvergenssin osoittamiseksi käytetään pakatun kuvauksen periaatetta [83] .

Katso myös

Elementtimenetelmä

Muistiinpanot

↑ Mucha V.S. Laskennalliset menetelmät ja tietokonealgebra: oppikirja-menetelmä. korvaus. — 2. painos, korjattu. ja ylimääräisiä - Minsk: BGUIR, 2010. - 148 s.: siltti, ISBN 978-985-488-522-3 , UDC 519.6 (075.8), BBK 22.19ya73, M92
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Encyclopedia of Cybernetics / Glushkov V. M., Amosov N. M., Artemenko I. A. - Kiova, 1974. - T. 2. - S. 530-532.
↑ Djatšenko V. F. Laskennallisen matematiikan peruskäsitteet. - M., Nauka, 1972. - Levikki 45 000 kappaletta. - s. 10
↑ Kalitkin, 1978 , s. 3.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 33.
↑ Kalitkin, 1978 , s. 2.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 13-16.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 57-58.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 53.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 63.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 65.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 77-79.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 79-80.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 84-87.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 102-106.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 106-109.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 112.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 125-135.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 111-112.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 149-150.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 331-333.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 333-334.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 334-336.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 336-337.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 337.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 337-342.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 347-348.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 349-352.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 352-355.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 355-357.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 364-365.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 386-387.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 217.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 217-220.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 220-226.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 226-228.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 230-234.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 234-236.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 237-240.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 240-243.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 243-254.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 254-258.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 264-266.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 266-269.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 269-276.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 279-284.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 289-297.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 305-306.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 315-318.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 318-320.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 320-324.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 1, 1962 , s. 324-325.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 9-10.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. kymmenen.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 10-13.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 17-18.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 18-19.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 19-20.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 20-23.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 23-25.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 25-30.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 30-31.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 41.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 54-56.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 56-59.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 59-61.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 61-62.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 66-67.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 67-73.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 76.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 76-79.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 83-88.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 88-94.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 103.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 103-107.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 107-114.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 115.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 128-129.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 135-140.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 140-143.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 143-146.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 146-148.
↑ Berezin, Zhidkov, osa 2, 1959 , s. 129-134.

Kirjallisuus

Amosov A. A., Dubinsky Yu. A., Kopchenova N. V. Laskennalliset menetelmät insinööreille. – 1994.
Berezin I. S. , Zhidkov N. P. Laskennalliset menetelmät. - M . : Nauka , 1962. - T. 1.
Berezin I. S. , Zhidkov N. P. Laskennalliset menetelmät. - M . : Nauka, 1959. - T. 2.
Kalitkin N. N. Numeeriset menetelmät. - M .: Nauka, 1978.
Numeeriset menetelmät: teoria ja käytäntö: oppikirja kandidaateille, korkeakouluopiskelijoille, jotka opiskelevat valmistelun suunnassa "Matematiikka. Soveltava matematiikka / U. G. Pirumov , Gidaspov V. Yu., Ivanov I. E., Reviznikov D. L. , Streltsov V. Yu., Formalev V. F. ; Moskovan ilmailu in-t-nat. tutkimusta un-t. - 5. painos, tarkistettu. ja ylimääräisiä - Moskova : Yurayt, 2012. - 421 s. : ill., välilehti; 22 cm - (kandidaatti. Peruskurssi).; ISBN 978-5-9916-1867-0
Ryzhikov Yu. Laskennalliset menetelmät. - Pietari: BHV, 2007. - 400 s. — ISBN 978-5-9775-0137-8

Linkit

Tieteellinen aikakauslehti “Computational Methods and Programming. Uudet tietotekniikat »
Materiaalit numeerisista menetelmistä
Numeeriset menetelmät
Computational Methods in Applied Mathematics , International Journal, ISSN 1609-4840

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Hienoa norjalaista Britannica (verkossa) Universalis
Bibliografisissa luetteloissa	BNF : 11930888x GND : 4042805-9 J9U : 987007538744005171 LCCN : sh85093237 NKC : ph425906 , ph115471

Matematiikan alat

Portaali "Tiede"

Matematiikan perusteet joukko teoria matemaattinen logiikka logiikan algebra

Lukuteoria ( aritmetiikka )

Algebra
Algebra	Yhtälön ratkaisu
Lineaarialgebra	Vektorilaskenta matriiseja Tensorilaskenta Multilineaarinen algebra
Yleisalgebra	Kommutatiivinen algebra Edustusteoria Differentiaalialgebra Homologinen algebra Yleisalgebra Luokkateoria

Analyysi
Klassinen analyysi	Differentiaalilaskenta Integraalilaskenta
Funktion teoria	Harmoninen analyysi Quaternion Analysis Monimutkainen analyysi mittateoria Reaalimuuttujan funktioiden teoria toiminnallinen analyysi Variaatiolaskelma
Differentiaali- ja integraaliyhtälöt	Dynaamiset järjestelmät ja ergodinen teoria Differentiaaliyhtälöt tavallinen osittaisissa johdannaisissa Integraaliyhtälöt
Vektorianalyysi Globaali analyysi Katastrofi teoria Mukautettu analyysi Sujuva äärettömän pieni analyysi

Geometria ja topologia
Geometria	Algebrallinen geometria Analyyttinen geometria Euklidinen geometria Ei-euklidinen geometria Planimetria Stereometria
Topologia	Yleinen topologia Algebrallinen topologia Differentiaaligeometria ja topologia

Diskreetti matematiikka
Kombinatoriikka graafiteoria

Sovellettu matematiikka
Matemaattinen fysiikka Matemaattinen kemia matemaattinen biologia Matemaattiset tilastot Matemaattinen mallinnus Algoritmien teoria Numeeriset menetelmät matemaattinen taloustiede talousmatematiikka Todennäköisyysteoria Toimintatutkimus Peliteoria

Portaali "Matematiikka"
Luokka "Matematiikka"