Riemannin integraali

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 13. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Riemannin integraali on määrätyn integraalin yleisimmin käytetty muoto . Hyvin usein termillä "määrätty integraali" viitataan Riemannin integraaliin, ja sitä tutkitaan aivan ensimmäisenä määrättynä integraalina kaikilla matemaattisen analyysin kursseilla. [1] Bernhard Riemann esitteli vuonna 1854 , ja se on yksi ensimmäisistä integraalin käsitteen formalisoinneista . [2]

Epävirallinen kuvaus

Riemannin integraali on graafin alla olevan alueen käsitteen formalisaatio. Jaetaan segmentti, josta etsimme aluetta, äärelliseen määrään alasegmenttejä. Valitsemme kussakin osasegmentissä kaavion tietyn pisteen ja rakennamme pystysuoran suorakulmion, jonka alasegmentti on kaavion juuri kyseisen pisteen perusta. Harkitse sellaisista suorakulmioista saatua kuvaa. Tällaisen kuvion pinta- ala S , joka on jaettu pituudellisiksi segmenteiksi, saadaan summalla: $\Delta x_{i}$

{\displaystyle \sigma =\sum _{i}f(x_{i})\Delta x_{i))

On intuitiivisesti selvää, että jos pienennämme näiden alasegmenttien pituuksia, niin tällaisen kuvan pinta-ala lähestyy yhä enemmän kaavion alla olevaa aluetta. Tämä huomautus johtaa Riemannin integraalin määritelmään. [3]

Määritelmä

Klassinen määritelmä

Määritetään reaaliarvoinen funktio välille . _ Me laskemme . $[a,b]$ $f$ $a<b$

Integraalin määrittelemiseksi on ensinnäkin tarpeen määritellä segmentin jakamisen käsite ja muut siihen liittyvät määritelmät.

Segmentin osio (merkitsemätön) on rajallinen joukko pisteitä segmentin , joka sisältää kohdat ja . Kuten määritelmästä voidaan nähdä, osio sisältää aina vähintään kaksi pistettä. Jakopisteet voidaan järjestää nousevaan järjestykseen: . Segmentin kaikkien osioiden joukkoa merkitään . $[a,b]$ $[a,b]$ $a$ $b$ $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\pisteet <x_{{n-1}}<x_{n}=b$ $[a;b]$ $T[a;b]$

Jakopisteitä, joiden välillä ei ole muita jakopisteitä, kutsutaan vierekkäisiksi . Janaa, jonka päät ovat vierekkäisiä jakopisteitä, kutsutaan osittaiseksi jaetuksi segmentiksi . Merkitsemme sellaisia segmenttejä kuin . Osion osittaisen segmentin pituus on merkitty . Suurimman segmentin pituutta kutsutaan osion halkaisijaksi . Osiointia varten sen halkaisija merkitään muodossa . $\Delta _{i}=[x_{i-1};x_{i}]$ $\Delta _{i}$ $\Delta x_{i}$ $\tau$ $d(\tau )$

Osion merkintä on äärellinen järjestetty joukko siten, että . Kaikkien osion merkintöjen joukko merkitään nimellä . $(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})$ ${\displaystyle \xi _{i}\in \Delta _{i))$ $\tau$ $\Xi (\tau )$

Merkitty osio on järjestetty pari , jossa on nimeämätön osio ja jokin nimiöinti . Segmentin kaikkien merkittyjen osioiden joukko merkitään nimellä . $(\tau ,\xi )$ $\tau$ $\xi$ $\tau$ $[a;b]$ $T'[a;b]$

Kaikkien näiden määritelmien jälkeen voimme siirtyä suoraan Riemannin integraalin määritelmään.

Olkoon jokin merkitty osio annettu . Nimetyn osion funktion Riemannin integraalisummaa kutsutaan . Riemannin integraali on näiden summien raja, koska osion halkaisija pyrkii olemaan nolla. Tässä on kuitenkin yksi hienovaraisuus: tämä on funktion raja, jossa on merkityt osiot argumenteiksi, ei numeroiksi, ja tavallinen käsitys rajasta lähestyttäessä pistettä ei päde tässä. On tarpeen antaa muodollinen kuvaus siitä, mitä tarkoitamme ilmauksella "raja väliseinän halkaisijalla, joka pyrkii nollaan" $(\tau ,\xi )$ $f$ $(\tau ,\xi )$ ${\displaystyle \sigma (f,\tau ,\xi )=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i))$

Antaa olla funktio, joka antaa numeron merkitylle osiolle. Lukua kutsutaan funktion rajaksi, kun osion halkaisija pyrkii nollaan, jos $g:T'[a;b]\rightarrow \mathbb {R}$ $c$ $g$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall (\tau ,\xi )\in T'[a;b],d(\tau )<\delta :|g(\tau ,\xi )-c|<\varepsilon

Nimitys: $c=\lim _{d(\tau )\to 0}g(\tau ,\xi )$

Tällainen raja on perusrajan erikoistapaus . Itse asiassa merkitsemme kaikkien merkittyjen osioiden joukkoa, joiden halkaisija on pienempi kuin . Tällöin joukko on joukon perusta , ja edellä määritelty raja ei ole muuta kuin raja tämän perustan yli. Siten tällaisilla rajoilla kaikki perusrajojen ominaispiirteet täyttyvät. $\delta$ ${\displaystyle D'_{\delta ))$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{D'_{\delta }|\delta >0\))$ $T'[a;b]$

Lopuksi voimme määritellä Riemannin integraalin. Funktion Riemannin integraali alueella - on funktion Riemannin integraalisummien raja segmentin $f$ $a$ $b$ nimetyissä osioissa, joiden osion halkaisija pyrkii nollaan. Integraalimerkintää käyttämällä tämä kirjoitetaan seuraavasti: $f$ $[a;b]$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau ,\xi )

Riemannin integraali on myös määritelty tapaukselle . Sillä se määritellään $a\geq b$ $a>b$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx

Miten _ $a=b$

\int _{a}^{a}f(x)\,dx=0

[neljä]

Darboux-integraalien kautta

Riemannin integraali voidaan määritellä vaihtoehtoisella tavalla Darboux-integraaleilla. Yleensä tällainen määritelmä todistetaan ominaisuudeksi, ja lausetta niiden ekvivalenssista kutsutaan Darboux'n lauseeksi . Tällaisen määritelmän edut ovat, että sen avulla voimme luopua nimitetyn osion käsitteestä, osion rajasta, ja antaa selkeämmän kuvan integroitavuuden käsitteestä.

Merkitsemättömälle osiolle merkitsemme segmentin funktion pienintä infimumia ja suurinta supremumia. $\tau$ $mi$ $f$ $\Delta _{i}$ $Mi}$

Alempaa Darboux'n summaa kutsutaan . ${\displaystyle s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i))$

Darboux'n yläsummaa kutsutaan . [5] $S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}$

Alempaa Darboux-integraalia kutsutaan nimellä . $I_{*}=\sup _{\tau \in T[a;b]}s(f,\tau )$

Ylempää Darboux-integraalia kutsutaan nimellä . [6] $I^{*}=\inf _{\tau \in T[a;b]}S(f,\tau )$

Darboux-integraalit ovat olemassa kaikille integrointiväliin rajatuille funktioille. Jos Darboux-integraalit ovat samat ja ovat äärellisiä, funktiota kutsutaan Riemannin integraaliksi välissä ja tätä lukua itseään Riemannin integraaliksi. [7] $f$ $[a;b]$

Darboux-integraali voidaan määritellä myös merkitsemättömien osioiden rajana, jolloin osion halkaisija pyrkii nollaan. Merkitsemättömien osioiden raja määritellään samalla tavalla kuin nimettyjen osioiden raja, mutta myös tämä käsite virallistetaan. Antaa olla funktio, joka antaa numeron nimeämättömälle osiolle. Lukua kutsutaan funktion rajaksi, kun osion halkaisija pyrkii nollaan, jos $g:T[a;b]\rightarrow \mathbb {R}$ $c$ $g$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall \tau \in T[a;b],d(\tau )<\delta :|g(\tau )-c|<\ varepsilon

Nimitys: [8] $c=\lim _{d(\tau )\to 0}g(\tau )$

Tällainen raja on myös perusrajan erikoistapaus. Tässä pohjana on setti , jossa . [9] Sitten: ${\mathfrak {B}}=\{D_{\delta }|\delta >0\}$ ${\displaystyle D_{\delta }=\{\tau \in T[a;b]|d(\tau )<\delta \))$

Alempaa Darboux-integraalia kutsutaan nimellä . $I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )$

Ylempää Darboux-integraalia kutsutaan nimellä . [kymmenen] $I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )$

Integroitavat toiminnot

Funktiota, jolle Riemannin integraali on olemassa rajoissa alkaen - (jos raja on yhtä suuri kuin ääretön, niin katsotaan, että integraalia ei ole olemassa), kutsutaan Riemannin integraaliksi segmentillä [a;b] . [11] Intervalle integroitavissa olevien funktioiden joukkoa kutsutaan joukoksi funktioita, jotka ovat integroitavia intervalliin, ja sitä merkitään . $a$ $b$ $f:[a;b]\rightarrow \mathbb {R}$ $[a;b]$ $[a;b]$ $R[a;b]$

Integroitavuuden tärkein ja kätevin ehto on Lebesguen kriteeri: intervalliin integroitavien funktioiden joukko on täsmälleen se joukko funktioita, jotka ovat rajallisia ja jatkuvia melkein kaikkialla tällä välillä. Tämä kriteeri mahdollistaa lähes välittömästi suurimman osan integroitavuuden riittävistä ehdoista. Tämän väitteen todistaminen on kuitenkin melko monimutkaista, minkä vuoksi se jätetään usein pois metodisessa esityksessä ja lisätodistukset perustuvat Riemannin kriteeriin. Riemannin integraalin olemassaolon todistaminen Riemannin kriteerin perusteella on vaikeampaa kuin Lebesguen kriteerin perusteella.

Integroitavuuskriteerit

Cauchyn kriteeri . Funktio on Riemannin integroitavissa segmenttiinif $[a,b]$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall (\tau ',\xi '),(\tau '',\xi '')\in T'[a;b], d(\tau ')<\delta ,d(\tau '')<\delta :|\sigma (f,\tau ',\xi ')-\sigma (f,\tau '',\xi '' )|<\varepsilon

[12] Tämä kriteeri ei ole muuta kuin tallenne Cauchyn konvergenssikriteeristä Riemannin integraalin tapauksessa.

Darboux-kriteeri. Funktio on Riemannin integroitavissa intervalliin silloin ja vain, jos ylempi Darboux-integraali osuu yhteen alemman kanssa ja on äärellinen. [13] $[a,b]$

Vaihtoehtoinen Riemannin integraalin määritelmä perustuu tähän kriteeriin.

Riemmannin kriteeri . Määritämme joukon funktion värähtelyn muodossa . [neljätoista] $f(x)$ $E$ $\omega (f,G)=\sup _{x\in E}f(x)-\inf _{x\in E}f(x)=\sup _{x,y\in E} |f(x)-f(y)|$

Sitten osion funktion -summaa kutsutaan . [15] [16]

\Omega

f

\tau

\Omega (f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}\omega (f,\Delta _{i})=S(f,\tau )-s(f,\ tau)

Funktio on Riemannin integroitavissa silloin ja vain, jos se on rajoitettu ja -summien raja osion halkaisijan pyrkiessä nollaan on yhtä suuri kuin . [17]

\Omega

0

Riemmannin infinum-kriteeri. Riemannin kriteerissä on myös muunnelma, joka käyttää tarkan reunan käsitettä rajan sijaan: funktio on integroitavissa silloin ja vain jos . [18] [19] $\inf _{\tau \in T[a;b]}\Omega (f,\tau )=0$
Riemannin erityinen kriteeri. Itse asiassa Riemannin kriteerissä voidaan vaatia heikompia olosuhteita.

Merkitään segmentin jakamisesta yhtä suuriin osiin. Funktio on integroitavissa tähän segmenttiin silloin ja vain, jos sekvenssi pyrkii nollaan. [kaksikymmentä]

\tau_n

n

\Omega (f,\tau _{n})

Riemannin erityinen infinum-kriteeri. Funktio on integroitavissa segmenttiin silloin ja vain jos . [21] $\inf _{n\in \mathbb {N} }\Omega (f,\tau _{n})=0$
Dubois-Reymondin kriteeri. Määritellään funktion vaihtelu pisteessä tämän pisteen läheisyydessä olevan funktion vaihtelujen arvon tarkaksi alarajaksi (jos funktion alue ei sisällä pisteen koko ympäristöä, niin vain huomioidaan ne naapuruston kohdat, jotka sisältyvät määritelmäalueeseen).

\omega (f,x_{0})=\inf _{U(x_{0})}\omega (f,U(x_{0})\cap X)

[neljätoista] Itse asiassa funktion värähtely pisteessä on ero funktion ja jatkuvan välillä. Jatkuvuuspisteessä se on yhtä suuri kuin , epäjatkuvuuspisteessä se on suurempi kuin .

0

0

Funktio on Riemannin integroitavissa silloin ja vain, jos se on rajoitettu ja jokaiselle joukolle kaikkia pisteitä , joissa Jordanin mitta on nolla (eli minkä tahansa se voidaan kattaa äärellisellä välijoukolla , jonka kokonaispituus on pienempi kuin ). [22]

\varepsilon

x\in[a;b]

\omega (f,x)\geq \varepsilon

\delta>0

\delta

Lebesguen kriteeri. Funktio on Riemannin integroitavissa segmenttiin silloin ja vain, jos se on rajoitettu tähän segmenttiin, ja pistejoukolla , jossa se on epäjatkuva , on nolla Lebesgue-mitta (eli minkä tahansa sen voi kattaa laskettavalla intervalliperheellä, jolla on kokonaispituus pienempi kuin ). [23] $[a,b]$ $\varepsilon > 0$ $\varepsilon$

Riittävät edellytykset integroitavuudelle

Kaikki alla luetellut riittävät integroitavuusehdot seuraavat lähes välittömästi Lebesguen kriteeristä.

Intervalle jatkuva funktio on integroitavissa siihen [24]
Intervalle rajattu funktio, joka on epäjatkuva äärellisessä määrässä pisteitään, on integroitavissa tälle intervallille [25]
Monotoninen toiminto intervalliin, integroitava siihen [26]
Integroitavan funktion ja luvun tulo on integroitavissa [27]
Integroitavien funktioiden summa on integroitavissa [27]
Integroitavien funktioiden tuote on integroitavissa [28]
Jos kahden integroitavan funktion suhde on rajallinen, se on integroitavissa. Erikoistapaus on, jos nimittäjäarvojen joukolla ei ole rajapistettä. [neljätoista] $0$
Integroitavan funktion moduuli on integroitavissa. [29]
Funktioiden kokoonpano , jossa on jatkuva segmentillä ja on integroitavissa , integroitavissa on . [kolmekymmentä] $f(g(x))$ $f$ $[\inf g(x),\sup g(x)]$ $g$ $[a;b]$ $[a;b]$
Jos funktio on integroitavissa jollekin aikavälille, se on integroitavissa mille tahansa alasegmentilleen. [31]
Antaa ja olla funktio , joka on integroitavissa ja . Sitten se on integroitavissa . [32] $a<b<c$ $f$ $[a;b]$ $[b;c]$ $[a;c]$

Ominaisuudet

Muut ominaisuudet ovat voimassa vain, jos vastaavat integraalit ovat olemassa.

Integraation välttämätön edellytys. Segmentille integroitava funktio on rajoitettu siihen. [33] $[a;b]$
Ei-negatiivisuus. Jos välin ei-negatiivinen funktio, $[a;b]$ $a<b$ $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0$ [34]
Positiivisuus. Ei-negatiiviselle ja jatkuvalle funktiolle segmentillä , joka on nollasta poikkeava ainakin yhdessä pisteessä $[a;b]$ $a<b$ $\int _{a}^{b}f(x)\,dx>0$ [35]
Lineaarisuus. $\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a }^{b}g(x)\,dx$ [27]

Kaikkien näiden kolmen integraalin olemassaoloon riittää kahden niistä olemassaolo. Kenelle tahansa

\lambda \in \mathbb {R}

\int _{a}^{b}\lambda f(x)\,dx=\lambda \int _{a}^{b}f(x)\,dx

[27] Oikean integraalin olemassaolo merkitsee vasemman integraalin olemassaoloa. Jos , niin vasemmiston olemassaolo merkitsee oikean olemassaoloa.

\lambda \neq 0

Additiivisuus. Satunnaisille numeroille $a,b,c$ $\int _{a}^{c}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f( x)\,dx$ [32]

Kaikkien näiden kolmen integraalin olemassaoloon riittää, että integraali ylittää suuremman segmentin tai kaksi pienempää.

Yksitoikkoinen. Anna ja edelleen . Sitten $a<b$ $f(x)\leq g(x)$ $[a;b]$ $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx$ [34]
Arvosana. Anna , , . Sitten $a<b$ $m=\inf _{x\in[a;b]}f(x)$ $M=\sup _{x\in [a;b]}f(x)$

m(ba)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(ba)

[36]

Moduulin arviointi. Anna . $a<b$ $\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\, dx$ [29]

Jotta nämä kaksi integraalia olisivat olemassa, vasemman integraalin olemassaolo riittää. Tästä ominaisuudesta on muunnelma mielivaltaisille ja .

a

b

\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \left|\int _{a}^{b}\left|f(x)\right |\,dx\oikea|

[37]

Keskiarvon lause . Paremman ymmärtämisen vuoksi muotoilemme ensin keskiarvolauseen hieman yksinkertaistetussa formulaatiossa.

Segmentin funktion keskiarvoa kutsutaan .

f

[a;b]

{\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx

Keskiarvolause sanoo, että janalla jatkuva funktio saa keskiarvonsa jossain vaiheessa tällä segmentillä.

\exists c\in [a;b]:f(c)={\frac {1}{ba))\int _{a}^{b}f(x)\,dx

Voit kirjoittaa tämän ehdon ilman jakamista kattamaan tapauksen, kun .

ba

a=b

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(ba)

Tällaisessa merkinnässä keskiarvon lause on totta kaikille ja arvoille .

a

b

Itse asiassa paljon yleisempi ehto on totta. Antaa olla integroitavissa , , . Sitten

f

[a;b]

m=\inf _{x\in[a;b]}f(x)

M=\sup _{x\in [a;b]}f(x)

\exists \mu \in [m;M]:\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\mu (ba)

[36] Tätä lausetta kutsutaan joskus myös integraalikeskiarvon lauseeksi erottamaan se seuraavista. [38]

Yleistetty keskiarvolause . Olkoon funktiointegroitavissa segmentillä,,, ja funktiointegroitava ja vakiomerkkinen. Sitten $f$ $[a;b]$ $m=\inf _{x\in[a;b]}f(x)$ $M=\sup _{x\in [a;b]}f(x)$ $g$

\exists \mu \in [m;M]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=\mu \int _{a}^{b}g (x)\,dx

[39] Lause on jälleen totta mille tahansa ja .

a

b

Tälle lauseelle voidaan myös antaa variaatio jatkuvuuden tapauksessa . [40]

f

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b} g(x)\,dx

Joskus tätä lausetta, ei edellistä, kutsutaan keskiarvolauseeksi. Lisäksi, jotta se erottuisi seuraavasta, tätä lausetta kutsutaan ensimmäisen keskiarvon lauseeksi . [41]

Toinen keskiarvolause . Olkoon funktiointegroitavissa intervalliinja funktiomonotoninen. Sitten $f$ $[a;b]$ $g$

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(a)\int _{a}^{c} f(x)\,dx+g(b)\int _{c}^{b}f(x)\,dx

[42] Toisessa keskiarvon lauseessa on muunnelmia ei-negatiivisille funktioille . Olkoon funktio integroitavissa segmentissä , ja funktio ei-negatiivinen eikä kasva. Sitten

g

f

[a;b]

g

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(a)\int _{a}^{c} f(x)\,dx

[43] Olkoon funktio integroitavissa intervalliin , ja funktio ei-negatiivinen ja ei-laskeva. Sitten

f

[a;b]

g

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(b)\int _{c}^{b} f(x)\,dx

[43]

Riippumattomuus nollamittajoukoista. Jos kaksi funktiota on integroitavissa välissä ja ovat yhtä suuret lähes kaikkialla sillä, niin myös niiden integraalit ovat yhtä suuret. Siten Riemannin integraalin arvo ei riipu funktion arvosta mittajoukossa nolla. Sen olemassaolo riippuu kuitenkin: esimerkiksi nolla ja Dirichlet-funktio ovat yhtä suuria lähes kaikkialla, mutta ensimmäisen funktion integraali on olemassa, mutta ei toisen.

Integraali muuttujan ylärajalla

Toiminto määritellään integraalilla seuraavasti $h(x)$

h(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt

kutsutaan integraaliksi, jonka muuttujan yläraja on . [38]

Ominaisuudet:

Määritelmäalue on väli, johon piste tulee. ${\näyttötyyli \int _{a}^{x}f(t)\,dt}$ $a$
Integraali ylärajalla on jatkuva. [38] ${\näyttötyyli \int _{a}^{x}f(t)\,dt}$
Lisäksi integraali, jolla on ylempi muuttujan raja, on Lipschitz-funktio
Kohdissa , joissa on jatkuva, muuttujan ylärajan integraali on differentioituva ja sen derivaatan arvo on yhtä suuri kuin . [44] $x$ $f(x)$ ${\näyttötyyli \int _{a}^{x}f(t)\,dt}$ $f(x)$

Viimeinen ominaisuus mahdollistaa funktion antiderivaatan kirjoittamiseen integraalin, jolla on ylempi muuttujaraja. Siten se suhteuttaa epämääräisen integraalin ja seuraavan suhteen määrittelemän:

\int f(x)\,dx=\int _{a}^{x}f(t)\,dt+C

Tämä yhtäläisyys on myös totta, jos se on integroitavissa ja siinä on antiderivaatti . [45] $f$ $[a;b]$

Laskenta

Riemannin integraalien laskemiseen yksinkertaisimmissa tapauksissa käytetään Newton-Leibnizin kaavaa, joka on seurausta integraalin ominaisuuksista, jolla on ylempi muuttujaraja.

Newton-Leibnizin kaava . Antaa ollajatkuva päällä,sen antiderivatiivinen päällä,. Sitten $f(x)$ $[a;b]$ $F(x)$ $[a;b]$ $a \neq b$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)

[46]

Käytännön laskelmissa käytetään myös seuraavia menetelmiä:

Muuttuva korvaus . Olkoon integraalin laskeminen pakollinen

\int _{a}^{b}f(x)\,dx

Korvaus suoritetaan , minkä jälkeen integroinnin rajat ja ero lasketaan uudelleen:

x=\varphi (t)

a=\varphi (\alpha ),b=\varphi (\beta ),dx=\varphi '(t)\,dt

Sitten

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t))\varphi '(t)\,dt

Jotta tällainen korvaaminen olisi laillista, tarvitaan jatkuvuutta ja jatkuvaa erilaisuutta ja tiukkaa monotonisuutta . [47]

f

\varphi

Integrointi osien mukaan . Osien integrointimenetelmä koostuu seuraavan kaavan soveltamisesta:

\int _{a}^{b}u\,dv=(uv){\bigr |}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\,du

Kaava on laillinen, jos ja ovat jatkuvasti vaihtelevia. [48]

u

v

Itse asiassa monet Newton-Leibnizin kaavalle ja edellä mainituille kahdelle menetelmälle määritellyistä ehdoista ovat redundantteja ja niitä voidaan heikentää merkittävästi. [49] [48] [50] Tällaiset ehdot ovat kuitenkin monimutkaisempia, ja useimpiin käytännön tapauksiin nämä ehdot ovat riittävät. Lisäksi pelkistetyssä muodossa nämä ehdot takaavat myös kaikkien integraalien olemassaolon, minkä ansiosta voimme rajoittua vain näiden yksinkertaisten ehtojen tarkistamiseen ennen sopivien menetelmien soveltamista.

Parittoman funktion integrointi . Olkoon pariton funktio integroitavissa segmenttiin. Sitten $f$ $[-a;a]$

\int _{-a}^{a}f(x)\,dx=0

[51]

Tasaisen toiminnon integrointi . Antaa olla parillinen funktio integroitavissa intervalliin. Sitten $f$ $[-a;a]$

\int _{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int _{0}^{a}f(x)\,dx

[51]

Jaksottaisen funktion integrointi . Anna sen olla jakso ja integroitavissa . Sitten se on integroitavissa mihin tahansa aikaväliin ja mihin tahansa $f$ $T$ $[0;T]$ $a$

\int _{a}^{a+T}f(x)\,dx=\int _{0}^{T}f(x)\,dx

[51]

Historia

Edellä olevan integraalin määritelmän antoi Cauchy [52] , ja sitä sovellettiin vain jatkuviin funktioihin.

Riemann vuonna 1854 (julkaistu 1868 [2] , venäjäksi ensimmäisen kerran vuonna 1914 [53] [54] ) antoi saman määritelmän ilman jatkuvuuden oletusta. Riemannin teorian modernin muodon antoi Darboux (1879).

Muunnelmia ja yleistyksiä

Osittain annettujen funktioiden Riemannin integraali. Joskus on järkevää määritellä Riemannnin integraali funktioille, jotka on määritelty välillä osittain . Se määritetään, jos funktion jollakin laajennuksella täysin annettuun funktioon sen integraali on sama kuin sama arvo. Tässä tapauksessa tätä arvoa pidetään osittain annetun funktion Riemannin integraalina. Esimerkiksi: voit tarkastella funktioita, joita ei ole määritelty äärelliseen määrään pisteitä. Jos lisäksi kaikissa muissa kohdissa ne ovat jatkuvia melkein kaikkialla, niin mikä tahansa laajennus täysin annettuun funktioon on integroitavissa ja niiden arvot ovat yhtä suuret, koska integraalin arvo ei riipu mittajoukon arvosta nolla. Tällaisille funktioille on olemassa jopa yleistys Newton-Leibnizin kaavasta. [55] Näin ei kuitenkaan aina ole edes laskettavalla joukolla. Otetaan funktio , joka on määritelty vain irrationaalisten lukujen joukolle. Sitä voidaan laajentaa eri tavoin Dirichlet-toimintoon asti. Yhdessä tapauksessa se on integroitavissa, toisessa ei. Toisaalta, jos otamme huomioon , joka on epämääräinen Cantor-joukossa , niin kaikki tällaisen funktion suorittaminen on integroitavissa. $[a;b]$ $0$ $0$ $0$
Vektoriarvoisten funktioiden Riemannin integraali. Riemannin integraali voidaan määrittää funktioille, joiden arvot ovat missä tahansa topologisessa vektoriavaruudessa yli . Voimme esimerkiksi tarkastella vektorifunktioiden integraalia (funktiot euklidisen avaruuden arvoilla ). Tällaiset funktiot on integroitu koordinaatistoittain, minkä vuoksi lähes kaikki ominaisuudet siirretään myös niihin. [56] $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
Riemmannin väärä integraali . Joskus on tarve tarkastella integraalia äärettömällä aikavälillä tai rajoittamattomasta funktiosta. Väärä integraali on yleistys Riemannnin integraalista tällaisiin tapauksiin. Äärettömille intervalleille väärä integraali määritellään seuraavasti:

\int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx=\lim _{y\to +\infty }\int _{a}^{y}f(x)\, dx

Äärillisille intervalleille, joissa on rajoittamaton funktio ylärajan läheisyydessä, määritellään seuraavasti:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{y\to b-}\int _{a}^{y}f(x)\,dx

Muut tapaukset määritellään samalla tavalla. Jos intervallin sisällä on äärettömiä epäjatkuvuuspisteitä tai molemmat rajat ovat äärettömiä, niin additiivisuusintegraali jakautuu useiksi. Tämän määritelmän keskeinen piirre on, että integroitaville funktioille tällaiset rajat ovat yhteneväisiä tavallisten (jota kutsutaan oikeaksi erottamaan sopimattomasta) integraalit. Siten väärä Riemannin integraali on vain oma yleistys.

Useita Riemannin integraalia . Useita integraali on otettu useiden muuttujien funktioista jonkin osajoukon yli. Näiden joukkojen osiointi Jordanian mitattavissa oleviksi osajouksiksi otetaan huomioon . Niihin merkitään pisteet ja lasketaan integraalisummat (välien pituuksien sijasta otetaan vastaavien osajoukkojen Jordan-mitat). Tällaisen osion osajoukon halkaisija on kaikkien pisteiden välisten etäisyyksien summa. Itse osion halkaisija on osajoukon väliseinien vähimmäishalkaisija. Integraalisummien rajaa, kun osioiden halkaisija pyrkii nollaan, kutsutaan moniintegraaliksi. $\mathbb {R} ^{n}$

Monet useiden integraalien ominaisuudet osuvat yhteen tavallisten ominaisuuksien kanssa, mutta osa ei (esimerkiksi muuttujien kaavan muutos). Vastoin yleistä väärinkäsitystä, ne eivät ole tarkka yleistys Riemannin integraalista, koska moniintegraali ottaa ohjaamattoman joukon, ja tavallinen vaatii segmentin suunnan asettamisen.

Kaareva integraali . Samoin kuin moniintegraali, se on otettu useiden muuttujien funktiosta, mutta jo käyrää pitkin. Käyrä on myös jaettu alikäyriin, funktion arvot kerrotaan vastaavien alikäyrien pituuksilla ja lasketaan yhteen.
Pinta integraali . Melkein samanlainen kuin kaareva integraali, sillä erolla, että se otetaan pintaan ja funktioiden arvot merkittyissä pisteissä kerrotaan vastaavien osien pinta-alalla.
Lebesguen integraali . Vaihtoehtoinen lähestymistapa integraalin määritelmään. Tässä integroitavan funktion määritelmäalueen jakamisen sijaan arvojen alue jaetaan, minkä jälkeen jakopisteet kerrotaan näiden segmenttien käänteiskuvien mitoilla ja summataan keskenään. Kun osion yläpiste kasvaa, alempi pienenee ja sen halkaisija pyrkii nollaan, tällaiset summat pyrkivät Lebesgue-integraaliin.

Katso myös

Lebesguen integraali ja vastaava Danielin integraali , Youngin integraali
Stieltjes integraali
Useita Riemannin integraalia
Väärä integraali

Muistiinpanot

↑ Fikhtengolts, 2003 , s. 107.
↑ 1 2 Riemann (artikkeli), 1868 , s. 101-103.
↑ Fikhtengolts, 2003 , s. 104.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 218.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 190.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 204-205.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 208.
↑ Iljin, 1985 , s. 337.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 189.
↑ Iljin, 1985 , s. 338.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 186-188.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 539.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 553.
↑ 1 2 3 Kudrjavtsev, 2003 , s. 556.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 224.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 181.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 180.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 185.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 205.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 186.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 187.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 563.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 567.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 548.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 549.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 198.
↑ 1 2 3 4 Kudrjavtsev, 2003 , s. 573.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 574.
↑ 1 2 Kudrjavtsev, 2003 , s. 578.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 203.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 571.
↑ 1 2 Kudrjavtsev, 2003 , s. 572.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 179.
↑ 1 2 Kudrjavtsev, 2003 , s. 576.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 577.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 2003 , s. 125.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 579.
↑ 1 2 3 Kudrjavtsev, 2003 , s. 587.
↑ Fikhtengolts, 2003 , s. 126.
↑ Fikhtengolts, 2003 , s. 127.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 583.
↑ Fikhtengolts, 2003 , s. 132.
↑ 1 2 Arkhipov, 1999 , s. 215.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 588.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 590.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 591.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 596.
↑ 1 2 Kudrjavtsev, 2003 , s. 600.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 593.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 601.
↑ 1 2 3 Vilenkin, 1979 , s. 72.
↑ Cauchy, 1831 .
↑ Riemann (kirja), 1914 .
↑ Arkhipov, 1999 , s. 196.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 595.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 607.

Kirjallisuus

V.A. Ilyin , V.A. Sadovnichy , Bl. H. Sendov . Matemaattinen analyysi. Alkukurssi. - 2., tarkistettu. - M . : Moskovan yliopiston kustantamo, 1985. - T. 1. - 660 s.
Fikhtengol'ts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi kolmessa osassa. - Toim. 8. - M. : Nauka, 2003. - T. 2. - 864 s.
Arkhipov G.I. , Sadovnichiy V.A. , Chubarikov V.N. Matemaattisen analyysin luentoja / Toim. V. A. Sadovnichy. - 1. painos - M .: Higher School , 1999. - 695 s. - ISBN 5-06-003596-4 .
Kudrjavtsev L. D. Matemaattisen analyysin kurssi. 3 osassa. T. 1. Yhden muuttujan funktioiden differentiaali- ja integraalilaskenta - M. : Drofa, 2003. - 704 s.
Vilenkin N.Ya., Kunitskaya E.S., Mordkovich A.G. Matemaattinen analyysi. Integraalilaskenta. - M . : Prosveschenie, 1979. - 176 s.
Cauchy AL Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites. – Torino, 1831.
Riemann B. Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. - 1868. - Voi. 13. - s. 87-132.
Riemann B. Mahdollisuudesta ilmaista funktio trigonometrisen sarjan avulla // Funktioiden hajottaminen trigonometrisissa sarjoissa / Lejeune-Diriclet, Riemann, Lipschitz; Per. G. A. Gruzintsev ja S. N. Bernstein. - Kharkov: Kharkov Mathematical Society, 1914. - (Kharkov Mathematical Library. Sarja B; nro 2).

Linkit

Epämääräisten ja määrällisten integraalien taulukot - EqWorld: Matemaattisten yhtälöiden maailma.
Riemannin integraalin tiukka määritelmä .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani Iso venäläinen
Bibliografisissa luetteloissa	NKC : ph135430

Integraalilaskenta

Main

Riemannin integraalin yleistykset

Integraalit
muunnokset

Numeerinen
integrointi

mittateoria

liittyvät aiheet

Listat integraaleista