Useita integraali

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 27. joulukuuta 2020 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Matemaattisessa analyysissä moni- tai moniintegraali on joukko integraaleja, jotka on otettu muuttujista. Esimerkiksi: $\d > 1$

{\displaystyle \underbrace {\int \cdots \int } _{d}f(x_{1},\ldots ,x_{d})dx_{1}\cdots dx_{d))

Huomaa: moninkertainen integraali on määrätty integraali, ja kun se lasketaan, saadaan aina luku.

Moniintegraalin määritelmä

Olkoon n -ulotteisen todellisen avaruuden mitattavissa oleva [1] joukko, funktio . $B\sub \R^n$ $f:B\to\R$ $B$

Joukon osio on $\sigma$ joukko pareittain hajallaan olevia osajoukkoja , jotka yhdessä antavat kaiken . $B$ $\sigma =\left\{{{U}_{i}}\subset B\right\}$ $B$

Väliseinän hienous on sarjojen suurin halkaisija . $\left| \sigma \right|$ $U_i \in \sigma$

\left| \sigma \right|=\max \left\{ \operaattorinimi{diam}\left( {{U}_{i}} \right) \right\}

Osiota kutsutaan äärelliseksi , jos se on äärellinen joukko, ja mitattavaksi , jos kaikki sen elementit ovat mitattavissa (tässä tapauksessa Jordanin mukaan) joukkoja.

Funktion moninkertainen (n-kertainen) integraali joukossa on luku (jos se on olemassa) siten, että riippumatta siitä, kuinka pienestä -naapuri asettamamme luvulla on, joukolla on aina tällainen osio ja joukko välipisteet, että osion osion välipisteen funktion arvon tulojen summa osuu tähän naapurustoon. Muodollisesti: $f$ $B$ $minä$ $\varepsilon$ $minä$ $B$

\forall \varepsilon>0\;\; \exists\delta>0

: :

\sigma = \{ U_i \}_{i=1}^{m}

\left| \sigma \right|<\delta \; \forall \xi_i \in U_i \; \; \left| {\sum_{i=1}^{m}f(\xi_i)\mu(U_i) - I} \oikea| < \varepsilon

Tässä on sarjan mitta . $\mu(U_i)$ $U_{i}$

Tämä määritelmä voidaan muotoilla toiseen muotoon integraalisummia käyttäen. Tarkastellaan nimittäin tietyn osion ja pistejoukon integraalisummaa $\sigma = \{ U_i \}_{i=1}^{m}$ $\xi = \{ \xi_i \in U_i \}$

\zeta(f,\sigma, \xi) = \sum_{i=1}^mf(\xi_i) \mu(U_i)

Raja on funktion moninkertainen integraali $f:B\to \R$

I = \lim_{\left| \sigma \right|\to 0} \zeta(f,\sigma,\xi)

jos se on olemassa. Raja on otettu kaikkien osiojonojen joukkoon, hienouden ollessa 0. Tietenkin tämä määritelmä eroaa edellisestä, itse asiassa vain käytetyn kielen osalta.

Integraali merkitään seuraavasti:

Vektorimuodossa [2]

\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}=I

Tai he laittavat integraalikuvakkeen ajat, kirjoittavat funktion ja differentiaalit: . $\d$ $\d$ $\underbrace{\int{\cdots }\int }_{d}f({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}})d{{x}_{1} }\cdots d{{x}_{d}}=I$
Kaksois- ja kolmoisintegraaleille käytetään myös merkintää ja vastaavasti. $\int$ $\iiiint$

Nykyaikaisissa matemaattisissa ja fysikaalisissa artikkeleissa integraalimerkin toistuvaa käyttöä ei käytetä.

Tällaista moninkertaista integraalia kutsutaan varsinaiseksi integraaliksi .

Siinä tapauksessa moninkertainen integraali on sama kuin Riemannin integraali . $n = 1$

Usean integraalin olemassaolo

Riittävät olosuhteet

Jos funktio on jatkuva Jordanin mitattavissa olevassa kompaktissa joukossa, se on integroitavissa siihen.
- Joukon rajoittamaton funktio ei ehkä ole integroitavissa, vaikka se olisi jatkuva. Esimerkiksi funktio ei ole integroitavissa väliin . $y = 1/x$ $\vasen(0;1 \oikea)$
Jos funktio on määritelty Jordanin mitattavissa olevalle joukolle, jossa on mielivaltaisen pieniä osioita, joille annettu funktio on rajoittamaton niiden kaikkien positiivisen suuren elementtien liitossa, tämä funktio ei ole integroitavissa tähän joukkoon.

Darboux-kriteeri

Olkoon funktion ylempi ja alempi Darboux-integraali . Sitten, jos ylempi ja alempi Darboux-integraali ovat yhtä suuret, tämä funktio on integroitavissa , ja: $minä^*$ $minä_*$ $G$ $G$

I^*=I_*=\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}

Lebesguen kriteeri

Olkoon Jordanin mitattavissa oleva joukko. Toiminto on integroitavissa, jos: $G$ $G$

Ominaisuus on rajoitettu . $G$
Funktio on jatkuvassa käytössä , jolloin joukolla on nolla Lebesgue-mitta . $G\setminus E$ $E$

Useiden integraalien ominaisuudet

Lineaarisuus funktiossa . Olkoon sitten mitattavissa, funktiot ja integroitavissa $\G$ $\f$ $\g$ $\G$

\forall \lambda ,\mu \in \R:~ \int\limits_{G}{\left( \lambda f+\mu g \right)dX}=\lambda \int\limits_{G}{fdX}+\ mu \int\limits_{G}{gdX}

Additiivisuus suhteessa integrointijoukkoon . Olkoon joukot ja mitattavissa, ja . Olkoon myös funktio määritelty ja integroitavissa jokaisessa joukossa ja . Silloin integraali over on olemassa ja on yhtä suuri kuin ${G}_{1}$ $G_{2}$ $G_1\cap G_2 = \varnothing$ $G_1\kuppi G_2 = G$ $f(X)$ $G_{1}$ $G_{2}$ $G$

\int_G f(X) dX = \int_{G_1} f(X) dX + \int_{G_2} f(X) dX

Monotonisuus toiminnassa . Olkoon mitattavissa, toimii ja olla integroitavissa , ja . Sitten $G$ $f$ $g$ $G$ $\forall X\in G\colon f\left( X \right)\leqslant g\left( X \right)$

\int_G f(X)dX \leqslant \int_G g(X)dX

Integraalinen kolmion epäyhtälö . Edellisen ominaisuuden seuraus.

\left| \int_G f(X)dX \right|\leqslant \int_G \left| f(X)\oikea| dX

Integraalikeskiarvon lause . Antaa olla kompakti, toiminto on jatkuva ja integroitavissa , sitten $G$ $f(X)$ $G$

\olemassa Y\in G\kaksoispiste \int_G f(X)dX = f(Y) \mu(G)

Vakiotoiminto on integroitavissa mihin tahansa mitattavaan joukkoon ja $f(X) = c$ $G$

\int_G f(X)dX = c\cdot \mu(G)

Tämän seurauksena ,. $\ \int_G dX = \mu(G)$

Useiden integraalien laskenta

Usean integraalin pelkistys iteratiivisiksi

Antaa olla mitattavissa oleva joukko, olla myös mitattavissa oleva joukko, olla määritelty ja integroitavissa . Sitten $D\alajoukko {{\mathbb{R}}^{d-1}}$ $G=\left\{ \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right):\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)\in D;\varphi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right )\le {{x}_{d}}\le \psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right) \right\}$ $f\vasen(X\oikea)$ $\G$

$\int \limits _{\ \varphi \left({{x}_{1)),\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x} _{d}}\oikea)d{{x}_{d}}}\equiv I\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\ oikein)$ on olemassa kaikkialla kohdassa , lukuun ottamatta Lebesguen suuren nollajoukkoa ( voi olla tyhjä); $D$ $D_0$ $D_0$
on olemassa missä $\int \limits _{D}{\tilde {I}}\left({{x}_{1)),\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)d{ {x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}\equiv \int \limits _{D}{\left[\int \limits _{\,\varphi \left({ {x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left({{x}_{1}}),\ldots ,{{ x }_{d-1}}\right)}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{ d }}}\oikea]d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}$

\tilde I\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right) \equiv \begin{cases} I\left( {{x}_{ 1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right), & ({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}) \ in D \backslash D_0 \\ \qquad \quad 0 & ({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}) \in D_0, \end{cases}

kutsutaan iteroiduksi integraaliksi funktion yli joukon ;

f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)

G

$\int \limits _{G}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{1} }\ldots d{{x}_{d}}}=\int \limits _{D}{\left[\int \limits _{\,\varphi \left({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\ oikea)}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{d}}}\right]d{{ x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}$ .

Mikä tahansa d-ulotteinen integraali voidaan pelkistää d yksiulotteiseksi integraaliksi.

Muuttujien muutos useassa integraalissa

Annetaan bijektiivinen kartoitus , joka muuttaa verkkotunnuksen muotoon : ${{\mathbb{R}}^{d}} \leftrightarrow {{\mathbb{R}}^{d}}$ $\ {{D}'}$ $\D$

\left\{ \begin{align} {{t}_{1}}={{\psi }_{1}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_ {d}} \right) \\ {{t}_{2}}={{\psi }_{2}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_ {d}} \oikea) \\ \ldots \\ {{t}_{d}}={{\psi }_{d}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{ {x}_{d}} \right) \\ \end{align} \right.

missä ovat "vanhat" koordinaatit ja "uudet" koordinaatit. Lisäksi olkoon kartoituksen määrittävillä funktioilla jatkuvia ensimmäisen asteen osittaisderivaataita alueella sekä rajoitettu ja nollasta poikkeava jakobilainen $t$ $x$ $\ {{D}'}$

\frac{D\left( t \right)}{D\left( x \right)}=\frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d }} \right)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)}

Sitten sillä ehdolla, että integraali on olemassa

\int\limits_{D}{f\left( T \right)dT}=\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1)),\ ldots ,{{t}_{d}} \right)d{{t}_{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}

muuttujien muutoksen kaava on voimassa:

\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1)),\ldots ,{{t}_{d)) \right)d{{t} _{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}=\int{\int\limits_{{{D}'}}{\ldots \int{f\left( {{\psi }_{1}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right),\ldots ,{{\psi }_{d}}\left ( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \right)\left| \frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)} \right|d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d}}}}}

Symmetrian käyttö

Jos integrointialue on symmetrinen vähintään yhden integrointimuuttujan koordinaattien alkuperän suhteen ja integrandi on pariton tässä muuttujassa, integraali on yhtä suuri kuin nolla, koska integraalialueen kahden puolikkaan integraaleilla on sama itseisarvo, mutta päinvastaiset merkit. Jos integrandi on parillinen tämän muuttujan yläpuolella, integraali on kaksinkertainen integraalialueen yhden puolikkaan integraaliin, koska kummankin puolikkaan integraalit ovat yhtä suuret.

Esimerkki 1. Olkoon funktio integroitu toimialueen yli $f(x,y) = 2\sin(x)-3y^3+5$

T=\left \{ ( x,y) \in \mathbf{R}^2 \ : \ x^2+y^2\le 1 \right \},

ympyrä , jonka säde on 1 ja jonka keskipiste on origossa.

Lineaarisuusominaisuuden avulla integraali voidaan jakaa kolmeen osaan:

\iint_T (2\sin x - 3y^3 + 5) \, dx \, dy = \iint_T 2 \sin x \, dx \, dy - \iint_T 3y^3 \, dx \, dy + \iint_T 5 \ , dx \, dy

2sin( x ) ja 3 y 3 ovat parittomia funktioita, ja on myös selvää, että levy T on symmetrinen sekä x -akselin että y - akselin suhteen . Siten vain vakio 5 vaikuttaa lopputulokseen.

Esimerkki 2. Olkoon funktio f ( x , y , z ) = x exp( y 2 + z 2 ) integroituna pallon yli , jonka säde on 2 ja jonka keskipiste on origossa,

T = \left \{ ( x,y, z) \in \mathbf{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2 \le 4 \oikea \}.

"Pallo" on symmetrinen kaikkia kolmea akselia pitkin, mutta riittää, että integraali x -akselia pitkin osoittaa, että integraali on 0, koska funktio on tässä muuttujassa pariton.

Kaksoisintegraali

Kaksoisintegraali on moniintegraali, jossa on . $\d=2$

\iint\limits_{D}{f\left( P \right)d\sigma }

. Tässä on alue-elementti tarkasteluissa koordinaateissa.

\d\sigma

Suorakaidekoordinaateissa: , missä on alue-alkio suorakaiteen muotoisina koordinaatteina. $\iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)dxdy}$ $\dxdy$

Kaksoisintegraalin geometrinen merkitys

Anna funktion ottaa vain positiivisia arvoja alueella. Tällöin kaksoisintegraali on numeerisesti yhtä suuri kuin pystysuoran lieriömäisen rungon tilavuus, joka on rakennettu alustalle ja jota ylhäältä rajaa vastaava pintakappale . $f\left(x,y\oikea)$ $\D$ $\iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)d\sigma }::$ $\V$ $\D$ $z=f\left(x,y\oikea)$

Kaksoisintegraalin ilmaisu napakoordinaateina

Joissakin tapauksissa on helpompi laskea kaksoisintegraali ei suorakaiteen muotoisina, vaan napakoordinaateina , koska tässä tapauksessa integrointialueen muoto ja koko integrointiprosessi kokonaisuudessaan voivat yksinkertaistaa merkittävästi.

Käytämme muuttujien muutoslausetta. Siirtymää vastaavalla muunnoksella on muoto:

\left\{{\begin{aligned}&x=r\cos \varphi \\&y=r\sin \varphi \end{aligned}}\right.

Kuvauksen Jacobiaanin moduuli on . Näin saamme sen $\r$

\iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)dxdy}=\iint \limits _{{D}'}{g\left(r,\varphi \right)rdrd\ varphi },\quad

missä .

g\left(r,\varphi \right)=f\left(r\cos \varphi ,r\sin \varphi \right)

Tässä on alue-elementti napakoordinaateissa. $\rdrd\varphi$

Esimerkki siirtymisestä mielivaltaiseen koordinaattijärjestelmään

Lasketaan alueen pinta-ala . $D=\left\{ \left( x,y \right):{{x}^{2}}+\frac{{{y}^{2}}}{4}\le 1 \right\}$

Napakoordinaattijärjestelmään vaihtaminen ei tee alueesta helpompaa:

{D}'=\left\{ \left( r,\varphi \right):{{r}^{2}}\left( {{\cos }^{2}}\varphi +\frac{1} {4}{{\sin }^{2}}\varphi \right)\le 1 \right\}

Sinin edessä oleva kerroin "häiritsee". Tässä tapauksessa siirtymää voidaan säätää hieman:

\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=2r\sin \varphi \\ \end{align} \right.

Tämä muunnos muuttaa alkuperäisen alueen seuraavaksi:

{D}''=\left\{ \left( r,\varphi \right):{{r}^{2}}\le 1 \right\}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 0 \le \varphi \le 2\pi \\ & 0\le r\le 1 \\ \end{align} \right.

Jacobin näyttö:

\left| \begin{matrix} {{{{x}'}}_{r}} & {{{{y}'}}_{r}} \\ {{{{x}'}}_{\varphi } } & {{{{y}'}}_{\varphi }} \\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} \cos \varphi & 2\sin \varphi \\ -r\sin \varphi & 2r\cos \varphi \\ \end{matrix} \right|=2r

Jacobian moduuli on myös . $2r$

Täältä

S\left( D \right)=\iint\limits_{{{D}''}}{2rdrd\varphi }=2\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\ limits_{0}^{1}{rdr}=\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }=2\pi

Tulos on oikea, koska aluetta rajoittaa kanonisen yhtälön antama ellipsi. Pinta-ala voidaan laskea kaavalla . Korvaamalla varmistamme, että integraalin laskenta on oikein. $\D$ $S=\pi ab$

Kaksoisintegraalien sovellukset

Arvon nimi	Yleinen ilmaisu	Suorakulmaiset koordinaatit	Polaarikoordinaatit
Tasaisen hahmon pinta-ala	$S=\iint\limits_{G}{d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{dxdy}$	$\iint\limits_{G}{rdrd\varphi }$
Ohuen litteän levyn massa tiheys $\mu$	$m=\iint\limits_{G}{\mu \left( \sigma \right)d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{\mu \left( x,y \right)dxdy}$	$\iint\limits_{G}{\mu \left( r,\varphi \right)rdrd\varphi }$
Pintakappaleen alue $^{1)}$	$S=\iint\limits_{G}{\frac{d\sigma }{\cos \gamma }}$	$\iint\limits_{G}{\sqrt{1+{{\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)}^{2))+{{\left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)}^{2}}}dxdy}$	$\iint\limits_{G}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{r}^{2}}{{\left( \frac{\partial z}{\partial \rho } \right )}^{2))+{{\left( \frac{\partial z}{\partial \varphi } \right)}^{2))}drd\varphi }$
sylinterimäisen rungon tilavuus, koneessa seisomassa $XOY$	$V=\iint\limits_{G}{zd\sigma }$	$\iint\limits_{G}{zdxdy}$	$\iint\limits_{G}{zrdrd\varphi }$
Litteän hahmon hitausmomentti $^{2)}$ akselin suhteen $O{{Z}^{3)}}$	${{I}_{z}}=\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdy}$	$\iint\limits_{G}{{{r}^{3}}drd\varphi }$
Litteän hahmon hitausmomentti $^{2)}$ akselin suhteen $O{{X}^{3)}}$	${{I}_{z}}=\iint\limits_{G}{{{y}^{2}}d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{{{y}^{2}}dxdy}$	$\iint\limits_{G}{{{r}^{3}}{{\sin }^{2}}\varphi drd\varphi }$
Massakoordinaattien keskipiste homogeeninen levy $^{3)}$	${{x}_{c}}=\frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{xd\sigma }}$ ${{y}_{c}}=\frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{yd\sigma }}$	$\begin{align} & \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{xdxdy}} \\ & \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{ydxdy}} \ \ \end{align}$	$\begin{align} & \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}\cos \varphi drd\varphi }} \\ & \frac{1}{ S}{\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}\sin \varphi drd\varphi }} \\ \end{align}$
Huomautuksia	1) Pinta-ala - projektio tasoon ; vain yksi pinnan piste projisoidaan kuhunkin alueen pisteeseen; $G$ $XOY$ $\gamma$ on tangenttitason ja tason välinen kulma . $XOY$ 2) Yhdistettynä koneeseen . $XOY$ 3) Tai mikä on sama, suhteessa keskustaan O.

Kolmoisintegraali

Kolmoisintegraali on moniintegraali, jossa on : $\d=3$

\iiiint\limits_{D}{f\left( P \right)dV }

missä on tilavuuselementti tarkasteluissa koordinaateissa. $\dV$

Kolmoisintegraalin lauseke suorakaiteen muotoisina koordinaatteina

Suorakulmaisissa koordinaateissa kolmoisintegraalilla on seuraava muoto:

\iiiint\limits_{D} f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz

missä on tilavuuselementti suorakaiteen muotoisina koordinaatteina. $\dxdydz$

Kolmoisintegraalin ilmaisu sylinterimäisinä koordinaatteina

Samoin joissakin tapauksissa kolmoisintegraali on helpompi laskea ei suorakaiteen muotoisina, vaan sylinterimäisinä koordinaatteina . Käytämme muuttujien muutoslausetta. Siirtymää vastaavalla muunnoksella on muoto:

\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=r\sin \varphi \\ & z=h \\ \end{align} \right.

Kuvauksen Jacobiaanin moduuli on . Näin saamme sen $\r$

\iiiint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iiint\limits_{{{D}'}}{f\left( r,\varphi ,h \right)rdrd \varphi dh}

missä on tilavuuselementti sylinterimäisinä koordinaatteina. $rdrd\varphi dh$

Kolmoisintegraalin ilmaisu pallokoordinaateina

Sylinterimäisten koordinaattien lisäksi voit vaihtaa myös pallomaisiin koordinaatteihin . Käytämme muuttujien muutoslausetta. Siirtymää vastaavalla muunnoksella on muoto:

\left\{ \begin{align} & x=r\sin \theta \cos \varphi \\ & y=r\sin \theta \sin \varphi \\ & z=r\cos \theta \\ \end{ align}\right.

Kuvauksen Jacobiaanin moduuli on . Näin saamme sen $\ {{r}^{2}}\sin \theta$

\iiiint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iiint\limits_{{{D}''}}{f\left( r,\varphi ,\theta \right ){{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta }

missä on tilavuuselementti pallokoordinaateissa. ${{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta$

Kolmoisintegraalien sovellukset

Arvon nimi	Yleinen ilmaisu	Suorakulmaiset koordinaatit	Sylinterimäiset koordinaatit	Pallomaiset koordinaatit
kehon tilavuus	$V=\iiiint\limits_{G}{dV }$	$\iiiint\limits_{G}{dxdydz}$	$\iiiint\limits_{G}{rdrd\varphi dh}$	$\iiiint\limits_{G}{{{\rho }^{2}}\sin \theta d\rho d\varphi d\theta }$
Geometriikan hitausmomentti kehot akselin ympärillä $oz$	${{I}_{z}}=\iiiint\limits_{G}{{{r}^{2}}dV }$	$\iiiint\limits_{G}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdydz}$	$\iiiint\limits_{G}{{{r}^{3}}drd\varphi dh}$	$\iiiint\limits_{G}{{{\rho }^{4}}{{\sin }^{3}}\theta d\rho d\varphi d\theta }$
Fyysisen kehon massa tiheydellä $\mu$	$m=\iiiint\limits_{G}{\mu dV }$	$\iiiint\limits_{G}{\mu dxdydz}$	$\iiiint\limits_{G}{\mu rdrd\varphi dh}$	$\iiiint\limits_{G}{\mu {{\rho }^{2}}\sin \theta d\rho d\varphi d\theta }$
Massakoordinaattien keskipiste homogeeninen runko	$\begin{align} & {{x}_{c}}={\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{xdV }} \\ & {{y}_{c}} ={\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{ydV }} \\ & {{z}_{c}}={\frac{1}{V}}{\iiiint\ rajat_{G}{zdV }} \\ \end{align}$	$\begin{align} & {\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{xdxdydz}} \\ & {\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{ ydxdydz)) \\ & {\frac{1}{V)){\iiiint\limits_{G}{zdxdydz)) \\ \end{align}$	—	—

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Täällä ja kaikkialla alla, ellei toisin mainita, joukon mitattavuus ymmärretään Jordanian merkityksessä.
↑ Tällaisessa merkinnässä on melko tyypillistä käyttää eri kirjainta integroinnin ( n - dimensio) laajuuden elementille kuin integroitavan funktion vektoriargumentin nimeämiseen, ts. ei vaan esimerkiksi tai yksinkertaisesti tai jne., koska koordinaattimerkinnässä tämä tilavuuselementti on yksinkertaisimmissa tapauksissa koordinaattidifferentiaalien tulo ja yleisemmässä kaarevien koordinaattien tapauksessa X pitää sisältää myös metriikan determinantti : $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX},$ $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dV_X}$ $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dV}$ $\int\limits_{G}{f\left( X \right)d\Omega}$ $dV_X = \prod_i dX_i$ $dV_X = |\det g| \prod_i dX_i.$

Kirjallisuus

Vygodsky, M. Ya. Useiden argumenttien funktioiden eriyttäminen ja integrointi // Korkeamman matematiikan käsikirja. - M .: Astrel, AST, 2005. - 991 s. - 10 000 kappaletta. - ISBN 5-17-012238-1 , 5-271-03651-0.
Ilyin, V. A., Poznyak, E. G. Luku 2. Kaksois- ja n-kertaiset integraalit // Matemaattisen analyysin perusteet. - 4. - M. : FIZMATLIT, 2001. - T. 2. - 464 s. — (Korkeamman matematiikan ja matemaattisen fysiikan kurssi). -5000 kappaletta. — ISBN 5-9221-0131-5 .
Kudrjavtsev, L. D. Luku 6. Useiden muuttujien funktioiden integraalilaskenta // Matemaattisen analyysin kurssi. - M . : Higher School, 1981. - T. 2. - 584 s.
Budak, B. M., Fomin S. V. Useita integraalit ja sarjat. — M .: Nauka , 1967. — 608 s.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	BNE : XX552555 NKC : ph385192

Integraalilaskenta

Main

Riemannin integraalin yleistykset

Integraalit
muunnokset

Numeerinen
integrointi

mittateoria

liittyvät aiheet

Listat integraaleista