Mellinin muunnos

Mellin-muunnos on muunnos , jota voidaan pitää kaksipuolisen Laplace-muunnoksen moninkertaisena versiona . Tämä integraalimuunnos liittyy läheisesti Dirichlet - sarjan teoriaan ja sitä käytetään usein lukuteoriassa ja asymptoottisten laajennusten teoriassa . Mellin-muunnos liittyy läheisesti Laplace-muunnokseen ja Fourier-muunnokseen sekä gammafunktioiden teoriaan ja viereisten erikoisfunktioiden teoriaan .

Muunnos on nimetty sitä tutkineen matemaatikon Hjalmar Mellinin mukaan .

Määritelmä

Suora Mellin-muunnos saadaan seuraavasti:

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s-1}f (x)dx

Käänteinen muunnos - kaavalla:

\left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int \ rajat _{ci\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds

Integroinnin oletetaan tapahtuvan kompleksitasolla . Olosuhteet, joissa muunnos voidaan tehdä, ovat samat kuin Mellinin käänteismuunnoslauseen ehdot.

Suhde muihin muunnoksiin

Kaksipuolinen Laplace-integraali voidaan ilmaista Mellin-muunnoksena:

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)

Ja päinvastoin: Mellin-muunnos ilmaistaan Laplace-muunnoksena kaavalla:

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s) .

Fourier-muunnos voidaan ilmaista Mellin-muunnoksena kaavalla:

\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(-is)=\left\{{ \mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)

Takaisin:

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s) =\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(is)

Mellin -muunnos liittää myös Newtonin interpolaatiokaavat tai binomimuunnokset sekvenssin generointifunktioon käyttäen Poisson–Mellin–Newton-sykliä .

Esimerkkejä

Cahen-Mellin-integraali

Jos:

$c>0,$
$\Re(y)>0,$
${\displaystyle y^{-s))$ päähaaralla _,

sitten [1]

e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{ci\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)y^{- s}\;ds

, missä

\Gamma (s)

on gammafunktio .

Nimetty Hjalmar Mellinin ja ranskalaisen matemaatikon Eugène Cahenin mukaan ( ranska: Eugène Cahen ).

Mellin-muunnos Lebesgue-avaruuteen

Hilbert - avaruudessa Mellin-muunnos annetaan hieman eri tavalla. Lebesgue-avaruudessa kaikki perusnauhat sisältävät . Tässä suhteessa on mahdollista määritellä lineaarinen operaattori seuraavasti: $L^{2}(0,\infty )$ ${\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M))))$

{\tilde {\mathcal {M))}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),\{{\tilde {\ mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+is}f(x)\,dx

Tuo on:

\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f \}({\tfrac {1}{2}}-is)

Tätä operaattoria kutsutaan yleensä Mellin-muunnokseksi, mutta tässä ja jatkossa käytämme merkintää . ${\mathcal {M}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M))))$

käänteis Mellinin muunnoslauseetosoittaa sen

{\tilde {\mathcal {M))}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty ),\{ {\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty } ^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds.

Myös tämä operaattori on isometrinen , eli

\|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|_{L^{2}(0 ,\infty )}

varten .

\forall f\in L^{2}(0,\infty )

Tämä selittää suhteen ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi ))))$

Yhteys todennäköisyysteoriaan

Todennäköisyysteoriassa Mellin - muunnos on tärkeä työkalu satunnaismuuttujien jakauman tutkimisessa [2] .

Jos:

$D=\{s:a\leqslant \Re (s)\leqslant b\},$
$a\leqslant 0\leqslant b,$
$X$ - satunnainen arvo,
$X^{+}=\max\{X,0\},$
$X^{-}=\max\{-X,0\},$

silloin Mellin-muunnos määritellään seuraavasti:

{\mathcal {M}}_{X}(s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{+}}(x)+i\ int \limits _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{-}}(x),

missä on kuvitteellinen yksikkö .

i

Satunnaismuuttujan Mellin - muunnos määrittää yksiselitteisesti sen jakautumisfunktion . ${\mathcal {M}}_{X}(it)$ $X$ $F_{x}$

Sovellus

Mellin-muunnos on erityisen tärkeä tietotekniikan, erityisesti hahmontunnistuksen , kannalta .

Muistiinpanot

↑ Hardy, G.H.; Littlewood, JE Avustuksia Riemannin Zeta-funktion teoriaan ja alkulukujen jakautumisen teoriaan // Acta Mathematica : aikakauslehti . - 1916. - Voi. 41 , no. 1 . - s. 119-196 . - doi : 10.1007/BF02422942 . (Katso sen muistiinpanot lisäviittauksia varten Cahenin ja Mellinin työhön, mukaan lukien Cahenin opinnäytetyö.)
↑ Galambos, Simonelli, 2004, s. 15

Kirjallisuus

Galambos, Janos; Simonelli, Italia. Satunnaismuuttujien tuotteet: sovelluksia fysiikan ongelmiin ja aritmeettisiin funktioihin . – Marcel Dekker, Inc., 2004. - ISBN 0-8247-5402-6 .
Paris, R. B.; Kaminski, D. Asymptotics ja Mellin-Barnesin integraalit (neopr.) . - Cambridge University Press , 2001.
polyaniini, AD; Manzhirov, A. V. Integraaliyhtälöiden käsikirja (neopr.) . - Boca Raton: CRC Press , 1998. - ISBN 0-8493-2876-4 .
Flajolet, P.; Gourdon, X.; Dumas, P. Mellin muunnokset ja asymptotiikka: Harmoniset summat // Tietojenkäsittelyteoria. - 1995. - Voi. 144 , nro. 1-2 . - s. 3-58 .
Integral Transforms -taulukot arkistoitu 30. kesäkuuta 2007 EqWorldin Wayback Machinessa : Matemaattisten yhtälöiden maailma.
Hazewinkel, Michiel, toim. (2001), Mellin-muunnos , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W. Mellin Transform (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Linkit

Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic summas. Arkistoitu 24. toukokuuta 2006 Wayback Machinessa
Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico Arkistoitu 3. marraskuuta 2012 Wayback Machinessa , uutisryhmä es.ciencia.matematicas
Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas Arkistoitu 29. tammikuuta 2007 Wayback Machinessa (espanjaksi).
Mellin Transform Methods Arkistoitu 11. huhtikuuta 2013 Wayback Machinessa , Digital Library of Mathematical Functions , 2011-08-29, National Institute of Standards and Technology
Antonio De Sena ja Davide Rocchesso, Fast Mellin Transform with Applications in DAFX Arkistoitu 14. syyskuuta 2014 Wayback Machinessa

Integraalit muunnokset
Abel muunnos Bessel muuntuu Bushmanin muunnos Gegenbauerin muunnos Hilbertin muunnos Kontorovich-Lebedev muunnos Laplace-muunnos Meyerin muunnos Mehler-Fockin muunnos Mellinin muunnos Nerain muunnos Radonin muutos Stieltjes muunnos Fourier-muunnos Hankelin muunnos Hartley muunnos