Monimutkainen taso

Kompleksi [1] taso on geometrinen esitys kompleksilukujen joukosta . $\mathbb {C}$

Piste kaksiulotteisella reaalitasolla koordinaatteineen edustaa kompleksilukua , jossa : $\mathbb {R} ^{2}$ $(x,y)$ $z=x+iy$

x=\mathrm {Re} \,z

on kompleksiluvun todellinen (tosi) osa,

y=\mathrm {Im} \,z

on sen kuvitteellinen osa.

Toisin sanoen kompleksiluku vastaa sädevektoria koordinaatteineen. Kompleksilukujen algebralliset operaatiot vastaavat niitä vastaavien pisteiden tai vektoreiden operaatioita. Siten erilaiset kompleksilukujen väliset suhteet saavat visuaalisen esityksen kompleksitasolla: $z=x+iy$ $(x,y).$

kompleksilukujen yhteenlasku vastaa sädevektorien yhteenlaskua;
kertominen kompleksiluvulla vastaa sädevektorin kääntämistä kulmalla ja sädevektorin venyttämistä kertoimella; ${\displaystyle re^{i\varphi ))$ $\varphi$ $r$
luvun n:nnet juuret sijaitsevat säännöllisen n-kulman kärjessä, jonka keskipiste on origossa.

Kompleksisen muuttujan kompleksiarvoiset funktiot tulkitaan kompleksisen tason kuvauksiksi itseensä. Konformaalisilla mappauksilla on erityinen rooli monimutkaisessa analyysissä .

Asettaa kompleksitasossa

Avoimet joukot

Naapuruston peruskäsite esitellään kompleksitasolla hyvin yksinkertaisesti - pisteen ympäristö on muotojoukko . Geometrisesti monimutkaisella tasolla lähiöillä on hyvin yksinkertainen muoto - ne ovat vain ympyröitä, joiden keskipiste on tietyissä pisteissä kompleksisessa tasossa. Joskus mukavuussyistä on otettava huomioon puhjenneet kaupunginosat . ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$ $z_{0}\in {\mathbb C}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}=\{z\colon |z-z_{0}|<r\},\,r>0$ ${\piste {{\mathcal U}}}_{{z_{0}}}={{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\setminus \{z_{0}\}$

Määritellään nyt avoin joukko - yhden yleisen topologian klassisen määritelmän muunnelman mukaan joukko on avoin , jos se sisältää jollekin pisteelleen osan lähialueestaan. Meillä on jo naapuruston määritelmä, vastaavasti avoin joukko ei ole täysin määritelty. $\mathbb {C}$

Rajapiste ja suljettu joukko

Rajapisteen määrittäminen ei myöskään ole vaikeaa - piste on joukon raja , jos risteys ei ole tyhjä mielivaltaiselle naapurustolle. Toisin sanoen piste on rajoittava, jos on aina mahdollista löytää joukon pisteitä mielivaltaisesta "läheisyydestä". Rajapisteiden joukkoa kutsutaan joskus johdannaiseksi ja se merkitään . $z_{0}\in {\mathbb C}$ $G\subset \mathbb {C}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap G$ $G'$

Joukkoa kutsutaan suljetuksi , jos sisällyttäminen on totta sille . On selvästi nähtävissä, että mielivaltaiselle joukolle sarja suljetaan; sitä kutsutaan sarjan sulkemiseksi . $G\subset \mathbb {C}$ $G'\alajoukko G$ $G$ $\overline {G}=G\cup G'$ $G$

Reuna

Pistettä kutsutaan joukon rajapisteeksi , jos mielivaltaisen naapuruston leikkauspisteet ja eivät ole tyhjiä. Kaikkien rajapisteiden joukkoa kutsutaan rajajoukoksi tai yksinkertaisesti rajaksi . $z_{0}\in {\mathbb C}$ $G\subset \mathbb {C}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap G$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap ({{\mathbb C}}\setminus G)$ $\osittainen G$

Kaikkialla tiheät joukot

Joukkoa kutsutaan kaikkialla tiheäksi toisessa joukossa , jos mielivaltaisen pisteen ja minkä tahansa naapuruston leikkauspiste ei ole tyhjä. $E\alajoukko {\mathbb C}$ $G\subset \mathbb {C}$ $z_{0}\in G$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap E$

Yhteydet

Sarjojen välinen etäisyys

Kuten alkeismatematiikasta tiedetään, kompleksitasolla kahden pisteen välinen etäisyys on yhtä suuri kuin niiden eron moduuli. Määritetään nyt pisteen ja jonkin joukon välinen etäisyys arvoksi . $z_{0}$ $G\subset \mathbb {C}$ ${\mathrm {dist}}\,(z_{0},G)=\inf _{{z\in G}}|z-z_{0}|$

Tämän käsitteen perusteella on jo mahdollista määrittää kahden mielivaltaisen joukon välinen etäisyys : . $\mathbb {C}$ ${\mathrm {dist}}\,(G_{1},G_{2})=\inf _{{z\in G_{1}}}{\mathrm {dist}}\,(z,G_{2 })=\inf _{{z\in G_{2}}}{\mathrm {dist}}\,(z,G_{1})$

Yhteydet

Joukkoa kutsutaan yhdistetyksi , jos se täyttää suhteen . Jos tämä arvo ei ole nolla, joukkoa kutsutaan irrotetuksi . Voidaan osoittaa, että irrotettu joukko voidaan esittää liitona (äärellisenä tai laskettavana) , jossa on ei-leikkaavia yhdistettyjä joukkoja, joita kutsutaan joukon yhdistetyiksi komponenteiksi . Kytkettyjen komponenttien joukon kardinaalisuutta kutsutaan liitettävyyden järjestykseksi . $G\subset \mathbb {C}$ $\inf _{{z_{1},z_{2}\in G}}|z_{1}-z_{2}|=0$ $G$ $\sum G_{n}$ $G_{n}$ $G$

Kupera, tähti ja polkukytketyt joukot

Joukkoa kutsutaan tähtimäiseksi pisteen suhteen, jos inkluusio pätee mielivaltaiselle pisteelle . $G\subset \mathbb {C}$ $z_{0}\in G$ $z\in G$ $\overline {z_{0}z}\subset G$

Joukkoa kutsutaan kuperaksi , jos se on minkä tahansa pisteensä suhteen tähden muotoinen. Joukkoa kutsutaan joukon kuperaksi rungoksi , jos se on kupera, ja jokaiselle kuperalle joukolle , joka sisältää joukon , sisällyttäminen pätee . $G\subset \mathbb {C}$ $G^{*}$ $G$ $G\subset G^{*}$ $G^{{**}}$ $G$ $G^{*}\subset G^{{**}}$

Katkoviiva on joukko kompleksisen tason pisteitä, jotka esitetään segmenttien liittona. Joukkoa kutsutaan polkukytketyksi , jos kahdelle mielivaltaiselle pisteelle on polyline , jossa . $\Gamma$ $G$ $z_{1},z_{2}\in G$ $\Gamma \osajoukko G$ $z_{1},z_{2}\in \Gamma$

Voidaan todistaa, että mikä tahansa polkuun yhdistetty joukko yhdistetään. Tämä tarkoittaa välittömästi, että kaikki kupera- ja tähtijoukot ovat yhteydessä toisiinsa.

Käyrät $\mathbb {C}$

Käyrät ja polut

Käyrä tai polku kompleksitasolla on muodon kartoitus . Erityisesti on syytä huomata, että tällaisella määritelmällä on mahdollista määrittää paitsi käyrän tyyppi , joka riippuu funktion analyyttisistä ominaisuuksista , myös sen suunta . Esimerkiksi funktiot ja määrittelevät käyrän, joka on ulkonäöltään samanlainen, mutta kulkee vastakkaisiin suuntiin. $\mathbb {C}$ $\varphi (t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ $\varphi (t)$ $\varphi (t)$ $\eta (t)=\varphi (1-t)$

Käyrien homotopia

Käyriä ja kutsutaan homotoopiksiksi , jos on olemassa parametrista riippuva käyrä siten, että ja . $\varphi _{0}(t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ $\varphi _{1}(t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ $\xi (t,q)\kaksoispiste [0;1]\kertaa [0;1]\ to {\mathbb C}$ $q$ $\xi (t,0)\equiv \varphi _{0}$ $\xi (t,1)\equiv \varphi _{1}$

Analyyttinen geometria kompleksitasolla

Tasohahmojen tutkimista helpottaa usein, jos ne siirretään kompleksitasolle. Monet planimetrian lauseet mahdollistavat selkeän ja kompaktin merkinnän käyttämällä kompleksilukuja, esimerkiksi [2] :

Kolme (erillistä) pistettä on samalla viivalla, jos ja vain, jos seuraava ehto täyttyy: ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3))$

{\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}

on todellinen luku.

Neljä (erillistä) pistettä on samalla ympyrällä (tai samalla suoralla) jos ja vain, jos seuraava ehto täyttyy: ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4))$

suhde on reaaliluku.

{\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}:{\frac {z_{1}-z_{4}}{z_{2}- z_{4}}}

Jos suunnikkaalle annetaan kolme kärkeä : niin neljäs määräytyy yhtälöllä [3] : $z_{1},z_{2},z_{3},$ $z_{4}=z_{1}-z_{2}+z_{3}.$

Kompleksitason suoran parametrinen yhtälö on muotoa [4] :

z=ut+v,

missä ovat kompleksiluvut, on mielivaltainen reaaliparametri.

u, v

u\neq 0,t

Kahden suoran välinen kulma ja on Erityisesti suorat ovat kohtisuorassa , kun on puhtaasti kuvitteellinen luku. Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia, jos ja vain jos on reaaliluku; jos myös todellisia, niin molemmat rivit ovat samat. Jokainen suora leikkaa kompleksisen tason kahteen puolitasoon: toisella lauseke on positiivinen, toisella negatiivinen [4] . $z=ut+v$ $z=u't+v'$ $\operaattorin nimi {arg} (u'/u).$ $u'/u$ $u'/u$ ${\näyttötyyli (v'-v)/u}$ $z=ut+v$ $t=\operaattorin nimi {Im} {\frac {zv}{u}}$

Ympyrän yhtälöllä , jolla on keskipiste ja säde , on erittäin yksinkertainen muoto: Epäyhtälö kuvaa ympyrän sisäosaa [4] . Ympyräyhtälön parametrinen muoto on usein kätevä [5] : $c$ $r$ $|zc|=r.$ $|zc|<r$ $z=c+e^{i\varphi }.$

Laajennettu kompleksitaso ja piste äärettömässä

Monimutkaisessa analyysissä on usein hyödyllistä harkita laajennettua kompleksitasoa [6] suurennetuksi verrattuna tavanomaiseen äärettömyyteen : $(z=\infty )$

{\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}

Geometrisesti pistettä edustaa piste Riemannin pallolla (sen "pohjoinen napa"). $\infty$

Tällä lähestymistavalla äärettömästi kasvavan (modulo) sekvenssin katsotaan konvergoivan äärettömyyteen. Algebrallisia operaatioita äärettömällä ei suoriteta, vaikka useat algebralliset suhteet ovat voimassa [6] :

${\frac {z}{\infty }}=0;\ \ z+\infty =\infty \ (z\neq \infty )$
$z\cdot \infty =\infty ;\ \ {\frac {z}{0}}=\infty \ (z\neq 0)$

$\varepsilon$ Äärettömän pisteen -naapurialueeksi katsotaan joukko pisteitä, joiden moduuli on suurempi kuin , eli origon -naapuruston ulompi osa . $z$ $1 \over \varepsilon$ $1 \over \varepsilon$

Laajentunutta kompleksitasoa kutsutaan myös Riemannin palloksi , koska se on isomorfinen tavallisen pallon kanssa (isomorfismi voidaan määrittää esimerkiksi käyttämällä stereografista projektiota ). Kompleksiarvoiset funktiot voidaan joissain tapauksissa laajentaa Riemannin sfääriin. Koska tason viivat (stereografisen projektion alaisina) muuttuvat ympyröiksi pallolla, joka sisältää pisteen äärettömässä, on helpompi tarkastella pallolla monimutkaisia toimintoja. $S^{2}$ [ selventää ]

Muistiinpanot

↑
Kaksoisjännitys on annettu seuraavien lähteiden mukaan.
- Great Soviet Encyclopedia , 3. painos. (1973), osa 12, s. 588, artikkeli Kompleksiluvut .
- Neuvostoliiton Encyclopedic Dictionary (1982), s. 613, artikkeli Kompleksinumero .
- "Venäjän kielen vaikeuksien sanakirjan" (Rosenthal D. E., Telenkova M. A., Iris-press, 2005, s. 273) uusin painos osoittaa molemmat vaihtoehdot: "monimutkaiset (monimutkaiset) numerot".
- Suuressa venäläisessä tietosanakirjassa (Nide 14, 2010) on selittämättömistä syistä tarjolla samanaikaisesti aksentti Kompleksiluku (s. 691), mutta Kompleksianalyysi (s. 695).
↑ Privalov I.I., 1984 , s. 43.
↑ Solomentsev E. D., 1988 , s. kymmenen.
↑ 1 2 3 Ahlfors Lars V., 1979 , s. 17-18.
↑ Solomentsev E. D., 1988 , s. 12.
↑ 1 2 Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N., 1967 , s. 20-21.

Kirjallisuus

Arnold V. I. Kompleksilukujen, kvaternionien ja spinien geometria , MTsNMO, 2002.
Pontryagin L. Kompleksiluvut , Kvant , nro 3, 1982.
Privalov II Johdatus kompleksisen muuttujan funktioiden teoriaan. - 13. painos - M. : Fizmatlit, 1984. - 432 s.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Kompleksisen muuttujan funktioiden teoria - M .: Nauka, 1967. - 304 s.
Solomentsev ED Kompleksisen muuttujan funktiot ja niiden sovellukset. - M . : Korkeakoulu, 1988. - 167 s. — ISBN 5-06-003145-6 .
Shabat B. V. Johdatus kompleksiseen analyysiin: Oppikirja yliopistojen mekaniikan ja matematiikan opiskelijoille, Pietari: 2004.
Ahlfors Lars V. Monimutkainen analyysi. Johdatus yhden kompleksisen muuttujan analyyttisten funktioiden teoriaan. — Kolmas painos. - Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. - 317 s. — ISBN 0-07-000657-1 .