Stieltjes muunnos

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 11. marraskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Stieltjes-muunnos on integraalimuunnos , jolla on funktiolle muoto: $f(x)$

F(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{x+\tau }}dx,

jossa integrointi suoritetaan todellista puoliakselia pitkin ja muutokset kompleksitasossa , leikkauksella negatiivista todellista puoliakselia pitkin. $\tau$

Tämä muunnos on konvoluutiomuunnos , se tapahtuu Laplace - muunnoksen iteroitaessa . Stieltjesin muunnos liittyy myös puoliäärettömän jännevälin momenttiongelmaan ja sen seurauksena joihinkin jatkuviin murtolukuihin .

Jos on jatkuva ja rajoittuu arvoon , niin inversiokaava on voimassa: $f(x)x^{\frac {1}{2))$ $(0,\infty )$

f(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {(-1)^{n}}{2\pi }}\left({\frac {e}{n}} \right)^{2n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{2n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}} }F(x)\oikea),\quad x>0.

T. I. Stiltjes käsitteli tätä muutosta ensimmäistä kertaa .

Laplace-muunnoksen iteraatio

Merkitään funktion (muuttuja ) suora Laplace-muunnos uuden muuttujan funktiona as $f(x)$ $x$ $s$

{\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}(s)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-sx}f(x)\ ,dx.

Sitten toistettu (iteroitu) Laplace-muunnos

{\mathcal {L}}\left\{{\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}(s)\right\}(\tau )=\int _{0 }^{\infty }{\frac {f(x)}{x+\tau }}dx

on Stieltjesin muunnos ( integraalin ottamisen jälkeen ). $s$

Siksi monet Stieltjes-muunnoksen ominaisuudet voidaan saada suoraan Laplace-muunnoksen ominaisuuksista .

Perusominaisuudet ja -lauseet

Merkitse funktion Stieltjes-muunnos as $f(x)$

{\mathcal {S}}\left\{f(x)\right\}=F(\tau ).

Vastaava käänteismuunnos merkitään seuraavasti:

{\mathcal {S}}^{-1}\left\{F(\tau )\right\}=f(x).

Kerro alkuperäinen muuttujalla

Yhteenvetona voidaan todeta, että alkuperäisen kuva kerrottuna muuttujalla ja muuttujan ja kuvan tulo on yhtä suuri kuin vakio, joka on yhtä suuri kuin integraali alkuperäisen positiivisella todellisella puoliakselilla:

{\mathcal {S}}\left\{xf(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }f(x)dx-\tau F(\tau )

Kuvien erojohdannainen

{\mathcal {S}}^{-1}\left\{{\frac {F(\tau )-F(\alpha )}{\tau -\alpha }}\right\}=-{ \frac {f(x)}{x+\alpha }},\quad |\operaattorinimi {arg} (\alpha )|<\pi

Erojohdannainen alkuperäisistä

{\mathcal {S}}\left\{{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}\right\}={\frac {{\frac {1}{2} }\left(F(ae^{i\pi })+F(ae^{i\pi })\right)-f(a)\ln \left({\frac {\tau }{a))\ oikea)-F(\tau )}{\tau +a}},\quad a>0

Argumentti Stretch

Kun alkuperäistä muuttujaa skaalataan kertoimella, myös kuvamuuttuja skaalataan kertoimella: $a$ $a$

{\mathcal {S}}\left\{f(ax)\right\}=F(a\tau ),\quad a>0

Erottaa alkuperäisen

Derivaatan kuvan ja kuvan derivaatan summa on yhtä suuri kuin vakio jaettuna kuvamuuttujalla, ja tämä vakio on yhtä suuri kuin alkuperäisen arvo nollassa, otettuna vastakkaisella merkillä:

{\mathcal {S}}\left\{f'(x)\right\}=-{\frac {f(0)}{\tau }}-F'(\tau )

Yleistykset

Yleistetty Stieltjes-muunnos

F(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{(x+\tau )^{\rho }}}dx.

Integroitu Stieltjes-muunnos

F(\tau )=\int _{+0}^{\infty }K(\tau ,x)f(x)dx,

missä

K(\tau ,x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {\ln {\frac {\tau }{x))}{\tau -x)),&\tau \neq x\\{\frac {1}{\tau }},&\tau =x\\\end{matrix}}\right.

Kirjallisuus

Mathematical Encyclopedia Toim. kollegio: I. M. Vinogradov (toimittajan päällikkö) [ja muut] M., "Soviet Encyclopedia", 1977-1985.
Bateman G., Erdeyi A. Integraalimuunnostaulukot. Osa 2: Besselin muunnokset, erikoisfunktioiden integraalit . - M, Tiede, 1970

Integraalit muunnokset
Abel muunnos Bessel muuntuu Bushmanin muunnos Gegenbauerin muunnos Hilbertin muunnos Kontorovich-Lebedev muunnos Laplace-muunnos Meyerin muunnos Mehler-Fockin muunnos Mellinin muunnos Nerain muunnos Radonin muutos Stieltjes muunnos Fourier-muunnos Hankelin muunnos Hartley muunnos