Hartley muunnos

Hartley-muunnos (Hartley-muunnos) - integraalimuunnos , joka liittyy läheisesti Fourier-muunnokseen , mutta toisin kuin jälkimmäinen, se muuntaa joitain reaalifunktioita muiksi todellisiksi funktioiksi. R. Hartley ehdotti muunnosa vaihtoehtona Fourier - muunnokselle vuonna 1942 . Hartley-muunnos on yksi monista tunnetuista Fourier-muunnostyypeistä. Hartley-muunnos voidaan myös kääntää.

Ronald Bracewell esitteli erillisen version Hartley-muunnoksestavuonna 1983 .

Määritelmä

Suora muuntaminen

Hartley-muunnos lasketaan kaavalla $H(\omega )$

H(\omega )=\left\{{\mathcal {H}}f\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{ -\infty }^{\infty }f(t)\,{\mbox{cas}}(\omega t)\mathrm {d} t,

missä

{\mbox{cas}}(t)=\cos(t)+\sin(t)={\sqrt {2}}\sin(t+{\frac {\pi }{4}})= {\sqrt {2}}\cos(t-{\frac {\pi }{4)))

- Hartley ydin .

Käänteinen muunnos

Käänteinen muunnos saadaan involuutioperiaatteella :

f=\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}

Selvennykset

Sen sijaan, että käyttäisit samoja kaavoja myötä- ja käänteismuunnoksille, voit syöttää käänteismuunnoksen kertoimen ja ottaa saman kertoimen pois eteenpäin suunnatusta Hartley-muunnoksesta. Tätä tapaa kutsutaan epäsymmetriseksi normalisoimiseksi ; ${\frac {1}{2\pi }}$
Voit käyttää kerrointa sen sijaan ja jättää kertoimen kokonaan pois . $2\pi \nu t$ $\omega t$ ${\frac {1}{2\pi }}$
Voit käyttää kosini- ja sinivähennyslaskua niiden summan sijaan .

Suhde Fourier-muunnoksen kanssa

Hartley - muunnos eroaa Fourier - muunnoksesta ytimen valinnassa .

Fourier-muunnos käyttää eksponentiaalista ydintä

\exp \left({-i\omega t}\right)=\cos(\omega t)-i\sin(\omega t),

missä

i

on kuvitteellinen yksikkö .

Nämä kaksi muunnosta liittyvät läheisesti toisiinsa, ja jos niillä on sama normalisointi, niin

F(\omega )={\frac {H(\omega )+H(-\omega )}{2}}-i{\frac {H(\omega )-H(-\omega )}{ 2}}

Todellisissa funktioissa Hartley-muunnos muuttuu monimutkaiseksi Fourier-muunnokseksi: $f(t)$

\{{\mathcal {H}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\}-\Im \{{\mathcal {F}}f\}=\Re \{ {\mathcal {F}}f\cdot (1+i)\},

missä

\Re

ja ovat funktion todellinen ja kuvitteellinen osa, vastaavasti.

\Olen

Ominaisuudet

Hartley-muunnos - todellinen symmetrinen unitaarinen lineaarinen operaattori

Konvoluutiolauseella on myös analogi : jos kahdella funktiolla ja niillä on Hartley-muunnokset ja vastaavasti, niin niiden konvoluutiolla on muunnos $x(t)$ $y(t)$ $X(t)$ $K(t)$ $z(t)=x*y$

Z(\omega )=\{{\mathcal {H}}(x*y)\}={\sqrt {2\pi }}\left(X(\omega )\left[Y(\omega) )+Y(-\omega )\oikea]+X(-\omega )\vasen[Y(\omega )-Y(-\omega )\oikea]\oikea)/2

Kuten Fourier-muunnos, Hartley-muunnos on parillinen tai pariton funktio riippuen muunnettavan funktion luonteesta.

Cas

Hartley-ytimen ominaisuudet seuraavat trigonometristen funktioiden ominaisuuksista . Koska

{\mbox{cas}}(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4),

sitten

2{\mbox{cas}}(a+b)={\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(-a){ \mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(-b)-{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}} (-b)

{\mbox{cas}}(a+b)=\cos(a){\mbox{cas}}(b)+\sin(a){\mbox{cas}}(-b)=\ cos(b){\mbox{cas}}(a)+\sin(b){\mbox{cas}}(-a)

Ytimen johdannainen on

{\mbox{cas}}'(a)={\frac {\mbox{d}}({\mbox{d}}a}}{\mbox{cas}}(a)=\cos( a)-\sin(a)={\mbox{cas}}(-a)

Kirjallisuus

RONALD N. Bracewell Fourier Transform [1] Arkistoitu 24. toukokuuta 2017 Wayback Machinessa
Hartley, RVL, Lähetysongelmiin sovellettu symmetrisempi Fourier-analyysi Arkistoitu 2. kesäkuuta 2008, Wayback Machine , Proc. IRE 30 , 144-150 (1942).
Bracewell, RN, The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, 2. painos 1978, tarkistettu 1986) (käännetty myös japaniksi ja puolaksi)
Bracewell, RN, The Hartley Transform (Oxford University Press, 1986) (käännetty myös saksaksi ja venäjäksi)
Bracewell, RN, Malli:Doi-inline , Proc. IEEE 82 (3), 381-387 (1994).
Millane, RP, malli: Doi-inline , Proc. IEEE 82 (3), 413-428 (1994).
Villasenor, John D., Malli:Doi-inline , Proc. IEEE 82 (3), 391-399 (1994).

Integraalit muunnokset
Abel muunnos Bessel muuntuu Bushmanin muunnos Gegenbauerin muunnos Hilbertin muunnos Kontorovich-Lebedev muunnos Laplace-muunnos Meyerin muunnos Mehler-Fockin muunnos Mellinin muunnos Nerain muunnos Radonin muutos Stieltjes muunnos Fourier-muunnos Hankelin muunnos Hartley muunnos