Mehler-Fockin muunnos

Funktion Mehler-Fock-muunnos on muotoa: $f(x)$

F(\tau )=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,\quad \ tau \geqslant 0,

missä on ensimmäisen tyyppinen pallomainen Legendre-funktio . Jos on todellinen funktio , ja $P_{\nu }(x)$ $f(x)$

f(x)f(x)P_{-{\frac {1}{2}}}(x)\in L(1,+\infty ),

тогда интеграл , понимаемый в смысле Лебега , представляет вещественную функцию , определюбнынулюхю . $F(\tau )$ $\tau \geqslant 0$

Käänteinen muunnos näyttää tältä:

f(x)=\int _{0}^{\infty }\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )F(\tau )P_{-{\frac {1} {2}}+i\tau }d\tau .

Tämän muunnoksen esitteli ensimmäisen kerran G. F. Mehler vuonna 1881, ja V. A. Fock osoitti sitä koskevat päälauseet .

Mehler-Fockin muunnos löytää sovelluksen potentiaaliteorian , lämmönjohtavuuden teorian ongelmien ratkaisemisessa, lineaaristen integraaliyhtälöiden ja muiden matemaattisen fysiikan ongelmien ratkaisemisessa .

Muut määritelmät

Joskus määritelmää laajennetaan , olettaen $F(\tau )$ $\tau <0$

F(-\tau )=F(\tau ).

Mehler-Fockin muunnoksen teoria perustuu mielivaltaisen funktion laajentamiseen Fourier-tyyppiseksi integraaliksi:

f(x)=\int _{0}^{\infty }\int _{1}^{\infty }\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )P_{- {\frac {1}{2}}+i\tau }f(\xi )P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\xi )d\xi d\tau .

Sen perusteella voidaan saada muita mahdollisia määritelmiä Mehler-Fock-muunnokselle.

Kirjallisuudessa on määritelmä:

{\tilde {F}}(x)=\int _{0}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)f(\tau )d\tau ,\quad x\geqslant 1.

Sitten, jos , on paikallisesti integroitavissa ja , niin inversiokaava on tosi: $f(\tau )\in L[0,\infty )$ $|f'(\tau )|$ $[0, \infty)$ $f(0) = 0$

f(\tau )=\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )\int _{1}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2)) +i\tau }(x){\tilde {F}}(x)dx.

Laskenta

Mehler-Fock-muunnoksen varsinainen laskenta suoritetaan Legendre-funktioiden integraaliesitysten ja sitä seuraavan integrointijärjestyksen muutoksen avulla.

Esimerkkejä tällaisista integraalisista esityksistä ovat:

P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\mathrm {ch} \,\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0} ^{\alpha }{\frac {\cos \tau s}{\sqrt {2(\mathrm {ch} \,\alpha -\mathrm {ch} \,s)))}ds,\quad \alpha \ geqslant 0,

(tätä esitystä kutsutaan myös Mehler-integraaliksi)

P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\mathrm {ch} \,\alpha )={\frac {2}{\pi }}\mathrm {ch} \ ,\pi \tau \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos \tau s}{\sqrt {2(\mathrm {ch} \,\alpha -\mathrm {ch} \,s )}}}ds,\quad \alpha \geqslant 0.

Parsevalin yhtäläisyys

Mehler-Fock-muunnokselle voidaan saada Parseval - yhtälön analogi Fourier-muunnokselle .

Olkoon kaksi mielivaltaista funktiota, jotka täyttävät ehdot: $g_{k}(x),\;i=1,2$

g_{k}(x)x^{-{\frac {1}{2}}}\ln(1+x)\in L(1,\infty ),\quad g_{k}(x )\in L_{2}(1,\infty ),

ja Mehler-Fockin muunnos saadaan yhtälöistä:

G_{k}(\tau )=\int _{1}^{\infty }{\sqrt {\tau \mathrm {th} \,\pi \tau }}P_{-{\frac {1 }{2}}+i\tau }(x)g_{k}(x)dx,\quad i=1,2,

g_{k}(x)=\int _{0}^{\infty }{\sqrt {\tau \mathrm {th} \,\pi \tau }}P_{-{\frac {1} {2}}+i\tau }(x)G_{k}(\tau )dx,\quad i=1,2,

silloin Parseval-yhtälö pätee Mehler-Fockin muunnokseen:

\int _{0}^{\infty }G_{1}(\tau )G_{2}(\tau )d\tau =\int _{1}^{\infty }g_{1}( x)g_{2}(x)dx.

Käyttöesimerkki

Tarkastellaan esimerkkiä ratkaisusta, jossa käytetään integraaliyhtälön Mehler-Fock-muunnosta:

f(x)=g(x)+\lambda \int _{1}^{\infty }{\frac {f(s)}{x+s}}ds,\quad x\geqslant 1, \quad \pi \lambda<1.

Olkoon Mehler-Fockin muunnokset

F(\tau )=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,

G(\tau )=\int _{1}^{\infty }g(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,

olla olemassa.

Sitten yhtälö voidaan muuntaa muotoon:

F(\tau )=G(\tau )+{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau )))F(\tau ),

missä:

F(\tau )={\frac {G(\tau )}{1-{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau ))))).

If on jatkuva funktio rajallisesta vaihtelusta missä tahansa äärellisessä välillä, ja $g(x)$ $x\in(1,b),$

g(x)P_{\frac {1}{2}}(x)\in L(1,+\infty ),

G(\tau )\tau \in L(0,+\infty ),

sitten inversiokaavan avulla saadaan alkuperäisen yhtälön ratkaisu:

f(x)=\int _{0}^{\infty }\tau \mathrm {th} \,(\pi \tau ){\frac {G(\tau )}{1-{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau )))))P_{-{\frac {1}{2))+i\tau }(x)d\tau .

Yleistetty Mehler-Fock-muunnos

Yleistetty Mehler-Fock-muunnos saadaan kaavalla:

{\tilde {F}}_{k}(x)=\int _{0}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }^{( k)}f(\tau )d\tau ,

missä ovat vastaavat ensimmäisen tyyppiset Legendre-funktiot. $P_{\nu }^{(k)}(x)$

Vastaava muunnoskaava on:

f(\tau )={\frac {\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )}{2))\Gamma \left({\frac {1}{2)) -k+ix\oikea)\Gamma \vasen({\frac {1}{2}}-k-ix\oikea)\int _{1}^{\infty }P_{-{\frac {1}{ 2}}+i\tau }^{(k)}(x){\tilde {F}}_{k}(x)dx.

Erikoistapaukset

Osoitteessa , saamme tapauksen tavallisesta Mehler-Fock-muunnoksesta . $k = 0$ ${\tilde {F}}(x)$
Kun saat kosinin Fourier-muunnoksen . $k={\frac {1}{2)),x=\,\mathrm {ch} \,\alpha$
Kun saat sini-Fourier-muunnoksen . $k=-{\frac {1}{2)),x=\,\mathrm {ch} \,\alpha$

Kirjallisuus

Mathematical Encyclopedia Toim. kollegio: I. M. Vinogradov (toimittajan päällikkö) [ja muut] M., "Soviet Encyclopedia", 1977-1985.
Ditkin V. A., Prudnikov A. P. Integraalimuunnokset ja operaatiolaskenta. - M, Fizmatgiz, 1961

Integraalit muunnokset
Abel muunnos Bessel muuntuu Bushmanin muunnos Gegenbauerin muunnos Hilbertin muunnos Kontorovich-Lebedev muunnos Laplace-muunnos Meyerin muunnos Mehler-Fockin muunnos Mellinin muunnos Nerain muunnos Radonin muutos Stieltjes muunnos Fourier-muunnos Hankelin muunnos Hartley muunnos