Lebesguen integraali

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 31.10.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Lebesgue-integraali on yleistys Riemannin integraalista laajempaan funktioluokkaan .

Kaikki reaaliviivan äärelliselle segmentille määritellyt ja Riemannin integroitavat funktiot ovat myös Lebesgue-integroitavia, ja tässä tapauksessa molemmat integraalit ovat yhtä suuret. On kuitenkin olemassa suuri joukko funktioita, jotka on määritelty aikavälille ja Lebesgue integroitavissa, mutta ei Riemannin integroitavissa. Myös Lebesgue-integraali voi olla järkevä mielivaltaisille joukoille annetuille funktioille ( Fréchet-integraali ).

Lebesgue-integraalin [1] rakentamisen idea on, että sen sijaan , että integrandin määritelmäalue jaettaisiin osiin ja sitten koottaisiin integraalisumma näiden osien funktion arvoista, sen arvoalue jaetaan intervalleiksi ja sitten näiden välien esikuvien mitat summataan vastaavilla painoilla.

Määritelmä

Lebesgue-integraali määritetään askel askeleelta siirtyen yksinkertaisemmista funktioista monimutkaisiin funktioihin. Oletetaan, että meille on annettu avaruus, jossa on mitta , ja sille on määritelty mitattava funktio , jossa on Borel -algebra reaaliakselilla. $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f\colon (X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ $\sigma$

Määritelmä 1. Antaa olla jonkin mitattavissa olevan joukon indikaattori , eli missä . Sitten funktion Lebesgue-integraali määritelmän mukaan: $f$ $f(x)={\mathbf {1}}_{A}(x)$ $A\in {\mathcal {F}}$ $f$

\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\equiv \int \limits _{X}f\,d\mu =\mu (A).

Määritelmä 2. Olkoon yksinkertainen funktio , eli missä , ja olla äärellinen osio mitattavissa oleviksi joukoiksi. Sitten $f$ $f(x)=\sum \limits _{{i=1}}^{n}f_{i}\,{\mathbf {1}}_{{F_{i}}}(x)$ $\{f_{i}\}_{{i=1}}^{n}\subset {\mathbb {R}}$ $\{F_{i}\}_{{i=1}}^{n}\subset {\mathcal {F}}$ $X$

\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sum \limits _{{i=1}}^{n}f_{i}\,\mu (F_{i})

Määritelmä 3. Olkoon nyt ei-negatiivinen funktio, eli . Harkitse kaikkia yksinkertaisia toimintoja siten, että . Kutsutaan tätä perhettä . Jokaiselle tämän perheen funktiolle on jo määritetty Lebesgue-integraali. Sitten integraali saadaan kaavalla: $f$ $f(x)\geqslant 0\;\forall x\in X$ $\{f_{s}\}$ $f_{s}(x)\leqslant f(x)\;\forall x\in X$ ${\mathcal {P}}_{f}$ $f$

\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sup \left\{\int \limits _{X}f_{s}(x)\,\mu (dx)\; \vert \;f_{s}\in {\mathcal {P}}_{f}\right\}

Lopuksi, jos funktiolla on mielivaltainen etumerkki, se voidaan esittää kahden ei-negatiivisen funktion erotuksena. Itse asiassa on helppo nähdä, että: $f$

f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x),

missä

f^{+}(x)=\max(f(x),0),\;f^{-}(x)=-\min(0,f(x))

Määritelmä 4. Olkoon mielivaltainen mitattavissa oleva funktio. Sitten sen integraali annetaan kaavalla: $f$

\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f^{+}(x)\,\mu (dx)-\int \limits _{ X}f^{-}(x)\,\mu (dx)

Määritelmä 5. Olkoon lopuksi mielivaltainen mitattavissa oleva joukko. Siis määritelmän mukaan $A\in {\mathcal {F}}$

\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\,{\mathbf {1}}_{A}(x)\, \mu (dx)

missä on joukon indikaattorifunktio . ${\mathbf {1}}_{A}(x)$ $A$

Esimerkki

Tarkastellaan Dirichlet-funktiota , joka on määritelty kohdassa , jossa on Borelin σ-algebra päällä ja Lebesguen mitta . Tämä funktio ottaa arvoja rationaalisista pisteistä ja irrationaalisista pisteistä . On helppo nähdä, että se ei ole integroitavissa Riemannin merkityksessä. Se on kuitenkin yksinkertainen funktio avaruudessa, jolla on äärellinen mitta, koska se ottaa vain kaksi arvoa, ja siksi sen Lebesgue-integraali on määritelty ja yhtä suuri: $f(x)\equiv \chi _{{{\mathbb {Q}}_{{[0,1]}}}}(x)$ $([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),m)$ ${\mathcal {B}}([0,1])$ $[0,1]$ $m$ $yksi$ $0$ $f$

\int \limits _{{[0,1]}}f(x)\,m(dx)=1\cdot m({\mathbb {Q}}_{{[0,1]}})+0 \cdot m([0,1]\setminus {\mathbb {Q}}_{{[0,1]}})=1\cdot 0+0\cdot 1=0.

Itse asiassa segmentin mitta on yhtä suuri kuin 1, ja koska rationaalilukujen joukko on laskettavissa , niin sen mitta on yhtä suuri kuin 0, mikä tarkoittaa, että irrationaalisten lukujen mitta on yhtä suuri kuin . $[0,1]$ $1-0=1$

Muistiinpanot

Koska , mitattavissa oleva funktio on Lebesgue-integroitavissa silloin ja vain, jos funktio on Lebesgue-integroitava. Tämä ominaisuus ei päde Riemannin integraalille; $|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)$ $f(x)$ $|f(x)|$
Avaruuden, suuren ja toiminnon valinnasta riippuen integraali voi olla äärellinen tai ääretön. Jos funktion integraali on äärellinen, funktion sanotaan olevan Lebesguen integroitava tai summattava ;
Jos funktio on määritelty todennäköisyysavaruudessa ja on mitattavissa, niin sitä kutsutaan satunnaismuuttujaksi ja sen integraaliksi matemaattiseksi odotukseksi tai keskiarvoksi. Satunnaismuuttuja on integroitavissa, jos sillä on äärellinen matemaattinen odotus. $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$

Ominaisuudet

Lebesguen integraali on lineaarinen, eli $\int \limits _{X}[af(x)+bg(x)]\,\mu (dx)=a\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)+b\ int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$ ,

missä ovat mielivaltaiset vakiot;

a,b\in \mathbb{R}

Lebesguen integraali säilyttää eriarvoisuudet, eli jos , on mitattavissa ja integroitavissa lähes kaikkialla , sitten integroitavissa ja , ja lisäksi $0\leqslant f(x)\leqslant g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ $f(x)$ $0\leqslant \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\leqslant \int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$ ;
Lebesguen integraali ei riipu funktion käyttäytymisestä mittajoukossa nolla, eli jos melkein kaikkialla , niin $f(x)=g(x)$ $\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$ .

Lebesguen integraalisummat

Lebesguen integraalisummat funktiolle ja suurelle ovat muodon summia $f(x)$ $\mu$

S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}\cdot \mu \{x\in X:y_{k}<f(x)\leqslant y_{k+1}\ }

missä on osio funktion arvoalueesta . ${\näyttötyyli y_{1}<y_{2}<\pisteet <y_{N))$ $f(x)$

Jokainen tällainen summa on funktion approksimoivan yksinkertaisen funktion Lebesgue-integraali - jokaisessa pisteessä se ottaa yhden arvoista (eli osajoukossa ). Siksi, jos funktio on Lebesgue-integroitava, nämä summat konvergoivat sen integraaliin, kun , , ja osion halkaisija pyrkii olemaan nolla. $f(x)$ ${\displaystyle y_{1},y_{2},\dots ,y_{N))$ $y_{k}$ $\{x\in X:y_{k}<f(x)\leqslant y_{k+1}\}$ $f(x)$ $y_{1}\rightarrow -\infty$ $y_{N}\rightarrow +\infty$ ${\displaystyle \delta =\max\{y_{2}-y_{1},\dots ,y_{N}-y_{N-1}\))$

Lebesguen integraalisummien erikoisuus on, että niiden laskemiseen ei tarvitse laskea integroitavan funktion arvoja - itse asiassa tarvitaan vain sen arvojen jakautumisfunktio :

{\displaystyle F(y)=\mu \{x\in X:f(x)\leqslant y\))

Sitten funktion ja suuren Lebesguen integraalisummista tulee funktion ja jakaumafunktion Riemann -Stieltjesin integraalisummia : $f(x)$ $\mu$ $y$ $F(y)$

S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}(F(y_{k+1})-F(y_{k}))\rightarrow \int \limits _{-\ infty }^{+\infty }ydF(y)

Jos jakaumafunktiolla on tiheys: , niin Lebesguen integraalisummat muunnetaan Riemannin integraalisummiksi : $F(y)$ $dF(y)=\rho (y)dy$

S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}\rho (y_{k})(y_{k+1}-y_{k})\rightarrow \int \limits _{ -\infty }^{+\infty }y\rho (y)dy

Koska jakaumafunktiot syntyvät luonnollisesti todennäköisyysteoriassa, tilastollisessa ja kvanttifysiikassa, Lebesguen integraalisummia käytetään itse asiassa Lebesguen integraalin laskemiseen, pääasiassa näiden teorioiden sovelluksissa. Useimmiten Lebesgue-integraali lasketaan Riemannin integraaliksi , joka on yhtä suuri (tapauksissa, joissa jälkimmäinen on järkevä).

Funktiosekvenssien Lebesgue-integraalien konvergenssi

Muistiinpanot

↑ Lebesgue, Henri (1904). "Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives". Pariisi: Gauthier Villars.

Kirjallisuus

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. Funktioteorian ja funktionaalisen analyysin elementit. - toim. neljäs, tarkistettu. - M .: Nauka , 1976 . — 544 s.
Trenogin V. A. Funktionaalinen analyysi. - M .: Nauka , 1980 . — 495 s.
Shilov G.E. Matemaattinen analyysi. Erikoiskurssi. - 2. - M .: Fizmatlit , 1961 . — 436 s.

Frolov N. A. Reaalimuuttujan funktioiden teoria. - 2. - M .: GUPIMPR , 1961 . — 173 s.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen
Bibliografisissa luetteloissa	BNF : 125110551 J9U : 987007561114305171 LCCN : sh94008345 NDL : 00567363 NKC : ph117704

Integraalilaskenta

Main

Riemannin integraalin yleistykset

Integraalit
muunnokset

Numeerinen
integrointi

mittateoria

liittyvät aiheet

Listat integraaleista