Trigonometrinen Fourier-sarja

Trigonometrinen Fourier-sarja - mielivaltaisen funktion esitys jaksolla sarjan muodossa $f$ $2\pi$

f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)

(yksi)

tai käyttämällä monimutkaista merkintää sarjana:

f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}

Pistetulo ja ortogonaalisuus

Olkoon tilan kaksi funktiota . Määritetään heidän skalaaritulonsa $\phi _{n}$ $\phi_m$ $L^2\vasen[-\frac{\tau}{2},\frac{\tau}{2}\oikea]$

\langle \phi_m(x), \phi_n(x)\rangle:=\int\limits_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}\phi_m(x) \phi_n(x)dx

Ortogonaalisuusehto

\int \limits _{-{\frac {\tau }{2}}}^{\frac {\tau }{2}}\phi _{m}(x)\phi _{n}( x)dx=\|\phi _{m}(x)\|^{2}\delta _{nm}

missä on Kronecker-symboli . Siten ortogonaalisten funktioiden skalaaritulo on yhtä suuri kuin funktion normin neliö nollassa tai muuten. $\delta_{nm}$ $n=m$

Seuraava havainto on avainasemassa Fourier-sarjan teoriassa: muodon funktiot ovat pareittain ortogonaalisia tämän skalaaritulon suhteen, toisin sanoen kaikille ei-negatiivisille kokonaisluvuille : $\sin(kx)$ $\cos(kx)$ $k\neql$

\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\sin(lx)dx = \int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\cos(lx) dx = 0

ja kaikille ei-negatiivisille kokonaisluvuille , $k$ $l$

\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\sin(lx)dx = 0

Toinen tärkeä ominaisuus on, että trigonometrinen funktiojärjestelmä on avaruuden perusta . Toisin sanoen, jos jokin funktio tästä avaruudesta on ortogonaalinen kaikille muodon funktioille , niin se on identtisesti yhtä suuri kuin nolla (tarkemmin sanottuna se on yhtä suuri kuin nolla melkein kaikkialla ). $L^2[0,2\pi]$ $\cos(kx), \sin(kx), k\in\mathbb{Z}$

Klassinen määritelmä

Funktion trigonometrinen Fourier-sarja on muodon funktionaalinen sarja $f\in L_2([-\pi,\pi])$

f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)

(yksi)

missä

a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,

a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,

b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx.

Lukuja ja ( ) kutsutaan funktion Fourier-kertoimiksi . Niiden kaavat voidaan selittää seuraavasti. Oletetaan, että haluamme esittää funktion sarjana (1), ja meidän on määritettävä tuntemattomat kertoimet , ja . Jos kerromme (1):n oikean puolen ja integroimme väliin oikean puolen ortogonaalisuuden vuoksi, kaikki termit katoavat yhtä lukuun ottamatta. Tuloksena olevasta yhtälöstä kerroin ilmaistaan helposti . Samoin varten $a_{0}$ $a_n$ $b_n$ $n = 1, 2, \ldots$ $f$ $f\in L_2([-\pi,\pi])$ $a_{0}$ $a_n$ $b_n$ $\cos(kx)$ $[-\pi,\pi]$ $a_{k}$ $b_{k}$

Sarja (1) konvergoi funktioon avaruudessa . Toisin sanoen, jos merkitsemme sarjan (1) osittaissummilla: $f$ $L_2([-\pi,\pi])$ $S_k(x)$

S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)

silloin niiden keskipoikkeama funktiosta on yleensä nolla: $f$

\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0

Neliön keskiarvokonvergenssista huolimatta funktion Fourier-sarjan ei yleisesti ottaen tarvitse supistua siihen pisteittäin (katso alla).

Monimutkainen merkintätapa

Usein Fourier-sarjan kanssa työskennellessä on kätevämpää käyttää perustana imaginaariargumentin eksponenteja sinien ja kosinien sijaan. Käsittelemme monimutkaisten arvoisten funktioiden tilaa $L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ sisäisen tuotteen kanssa

\langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx

Otamme myös huomioon funktiojärjestelmän

\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z}

Kuten ennenkin, nämä funktiot ovat pareittain ortogonaalisia ja muodostavat täydellisen järjestelmän, joten mikä tahansa funktio voidaan laajentaa niiden päälle Fourier-sarjassa: $f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$

f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}

jossa oikeanpuoleinen sarja supistuu normiin vuonna . Tässä $f$ $f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$

\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx

Kertoimet: liittyvät klassisiin Fourier-kertoimiin seuraavilla kaavoilla: $\hat{f}_k$

\hat{f}_k = (a_k-ib_k)/2, k>0;

\hat{f}_0 = a_0/2;

\hat{f}_k = (a_{|k|}+ib_{|k|})/2, k<0;

a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, k>0;

b_k = i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), k>0.

Reaalimuuttujan kompleksista funktiota laajennetaan samassa Fourier-sarjassa imaginaarisilla eksponenteilla kuin reaalimuuttuja, mutta toisin kuin jälkimmäinen, sen laajentamiseksi , eikä se yleisesti ottaen ole kompleksinen konjugaatti. $\hat{f}_k$ $\hat{f}_{-k}$

Trigonometrisen Fourier-sarjan ominaisuudet

Kaikki tämän osan väittämät ovat tosia olettaen, että niihin osallistuvat funktiot (ja niillä suoritettujen toimintojen tulokset) ovat avaruudessa $L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ .

Fourier-kertoimien laskenta on lineaarinen operaatio:

\widehat{(\alpha f+\beta g)}_k=\alpha \hat{f}_k+\beta\hat{g}_k

Parsevalin tasa-arvo on totta :

2\pi \sum_{k=1}^\infty \hat{|f|}_k^2 = ||f||^2

Derivaatan Fourier-kertoimet ilmaistaan helposti itse funktion Fourier-kertoimina:

\widehat{(f')}_k=ik\hat{f}_k

kahden funktion tulon Fourier-kertoimet ilmaistaan tekijöiden Fourier-kertoimien konvoluutiolla :

\widehat{(fg)}_k=\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}\hat{f}_j\hat{g}_{kj}

harkitse funktion konvoluutiooperaatiota :

(f\ast g)(t):=\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(tx)g(x) dx,

jossa funktioiden oletetaan jatkuvan jaksoittain intervallista koko riville. Sitten $[-\pi,\pi]$

\widehat{(f\ast g)}_k =2\pi\hat{f}_k\hat{g}_k

Joidenkin funktioiden Fourier-laajennukset

Toiminto	Fourier-sarja
	${\frac {4a}{\pi }}\left({\frac {\sin t}{1}}+{\frac {\sin 3t}{3}}+{\frac {\sin 5t }{5}}+\pisteet\oikea)$
	${\frac {4a}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\sin {\frac {2\pi (2n -1)t}{T}}$

Katso myös

Muistiinpanot

Kirjallisuus

Zhuk V.V., Natanson G.I. Trigonometrinen Fourier-sarja ja approksimaatioteorian elementit. - L . : Kustantaja Leningrad. un-ta, 1983. - S. 188.
Rudin U. Matemaattisen analyysin perusteet. – 1976.
Piskunov N. S. Differentiaali- ja integraalilaskenta VTUZ:ille. - M . : "Nauka", 1964. - T. 2.

Jaksot ja rivit
Jaksot	Numerosarja Perusjärjestys Lineaarinen toistuva sekvenssi Fibonaccin numerot kiharat numerot Factorial Barker-sekvenssi de bruijn sekvenssi
Rivit, perus	Rivin summa Loput rivistä Ehdollinen konvergenssi Vaihteleva sarja Rivien moniosa
Numerosarja ( operaatiot numerosarjoilla )	harmoninen sarja Leibniz-sarja Sarja käänteisiä neliöitä Käänteisten alkulukujen sarja Dirichlet rivi Mercator-sarja Rivi Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
toiminnallisia rivejä	Taylor-sarja Laurent-sarja Fourier-sarja Trigonometrinen Fourier-sarja trigonometrinen sarja Wiener-sarja
Muut rivityypit	Neumann-sarja Puiseux'n rivi

Integraalilaskenta

Main

Riemannin integraalin yleistykset

Integraalit
muunnokset

Numeerinen
integrointi

mittateoria

liittyvät aiheet

Listat integraaleista