Leibniz-sarja

Leibniz-sarja on vuorotteleva sarja , joka on nimetty sitä tutkineen saksalaisen matemaatikon Leibnizin mukaan (vaikka tämä sarja tunnettiin aiemmin):

1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac { 1}{11}}+{\frac {1}{13}}-{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{17}}-{\frac {1}{19}} +{\frac {1}{21}}-\cdots =\sum _{{n=0}}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1} }.

Tämän sarjan konvergenssi seuraa välittömästi Leibnizin lauseesta vuorotteleville sarjoille . Leibniz osoitti, että sarjan summa on yhtä suuri kuin Tämä löytö osoitti ensimmäistä kertaa, että alun perin geometriassa määritelty luku on itse asiassa universaali matemaattinen vakio ; tulevaisuudessa tämä tosiasia sai jatkuvasti uusia vahvistuksia. ${\frac {\pi }{4}}.$ $\pi$

Lähentymisaste

Leibniz-sarja konvergoi erittäin hitaasti. Seuraava taulukko havainnollistaa konvergenssin nopeutta sarjaan kerrottuna 4:llä. $\pi$

n ( sarjan jäsenten lukumäärä )	$4\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$ (osittainen summa, oikeat merkit on korostettu mustalla)	Suhteellinen tarkkuus
2	2,666666666666667	0,848826363156775
neljä	2,895238095238095	0,921582908570213
kahdeksan	3,017071817071817 _	0,960363786700453
16	3,079153394197426 _	0,980124966449415
32	3,1 10350273698686	0,990055241612751
64	3,1 25968606973288	0,995026711499770
100	3,1 31592903558553	0,996816980705689
1000	3,14 0592653839793	0,999681690193394
10 000	3 141 492653590043	0,999968169011461
100 000	3,1415 82653589793	0,999996816901138
1 000 000	3,14159 1653589793	0,999999681690114
10 000 000	3,141592 553589793	0,999999968169011
100 000 000	3,1415926 43589793	0,999999996816901
1 000 000 000	3,14159265 2589793	0,999999999681690

Historia

Leibniz-sarja on helppo saada laajentamalla arctangentti Taylor-sarjaksi [ 1] :

\operaattorinnimi{arctg} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots

Saamme Leibniz-sarjan. $x=1,$

Arkkitangentin Taylor-sarjan löysi ensimmäisenä intialainen matemaatikko Madhava Sangamagramasta , Keralan tähtitieteen ja matematiikan koulun perustaja (XIV vuosisata). Madhava käytti sarjaa [2] [3] luvun laskemiseen . Kuitenkin Leibniz-sarja, kuten yllä on esitetty, konvergoi erittäin hitaasti, joten Madhava laittoi ja sai paljon nopeamman konvergentin sarjan [4] : $\pi$ $x=1,$ $x={\frac {\sqrt {3}}{3}}$

\pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}- {\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\dots \right).

Ensimmäisen 21 termin summa antaa arvon , ja kaikki merkit viimeistä lukuun ottamatta ovat oikein [5] . $3{,}14159265359$

Madhavan ja hänen opetuslastensa työtä ei tunnettu 1600-luvun Euroopassa, ja James Gregory (1671) ja Gottfried Leibniz (1676) löysivät itsenäisesti arctangentin laajenemisen uudelleen . Siksi jotkut lähteet ehdottavat tämän sarjan kutsumista "Madhava-Leibniz-sarjaksi" tai "Gregory-Leibniz-sarjaksi". Gregory ei kuitenkaan yhdistänyt tätä sarjaa numeroon $\pi.$

Lähentymisen kiihtyvyys

Toinen Leibniz-sarjan muunnos, joka tekee siitä käytännössä sopivan laskentaan , on sarjan ehtojen pariliitto. Tuloksena saamme seuraavan rivin: $\pi$

{\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1} {4n+3}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3))).

Laskelmien optimoimiseksi edelleen voit soveltaa Euler-Maclaurin-kaavaa ja käyttää numeerisia integrointimenetelmiä .

Katso myös

harmoninen sarja

Muistiinpanot

↑ Fikhtengolts, 2003 , s. 401.
↑ Paplauskas A. B. Äärettömän sarjan esinewtonilainen kehityskausi. Osa I // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . - M .: Nauka, 1973. - T. XVIII . - S. 104-131 .
↑ CT Rajagopal ja MS Rangachari. Keskiaikaisen keralin matematiikan hyödyntämättömästä lähteestä (englanniksi) // Archive for History of Exact Sciences : aikakauslehti. - 1978. - Kesäkuu ( nide 18 ). - s. 89-102 . - doi : 10.1007/BF00348142 .
↑ Kaikkialla oleva numero "pi", 2007 , s. 47.
↑ R. C. Gupta. Madhavan ja muut keskiaikaiset intialaiset pi:n arvot // Math . koulutus. - 1975. - Voi. 9 , ei. 3 . -P.B45 - B48 .

Kirjallisuus

Zhukov A. V. Kaikkialla oleva numero "pi". - 2. painos - M . : Kustantaja LKI, 2007. - 216 s. - ISBN 978-5-382-00174-6 .
Fikhtengol'ts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. - M. : FIZMATLIT, 2003. - T. 2. - 864 s. — ISBN 5-9221-0157-9 .

Linkit

Weisstein, Eric W. Gregory Series (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Jaksot ja rivit
Jaksot	Numerosarja Perusjärjestys Lineaarinen toistuva sekvenssi Fibonaccin numerot kiharat numerot Factorial Barker-sekvenssi de bruijn sekvenssi
Rivit, perus	Rivin summa Loput rivistä Ehdollinen konvergenssi Vaihteleva sarja Rivien moniosa
Numerosarja ( operaatiot numerosarjoilla )	harmoninen sarja Leibniz-sarja Sarja käänteisiä neliöitä Käänteisten alkulukujen sarja Dirichlet rivi Mercator-sarja Rivi Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
toiminnallisia rivejä	Taylor-sarja Laurent-sarja Fourier-sarja Trigonometrinen Fourier-sarja trigonometrinen sarja Wiener-sarja
Muut rivityypit	Neumann-sarja Puiseux'n rivi