Vaihteleva sarja

Vuorotteleva sarja on matemaattinen sarja , jonka jäsenet ottavat vuorotellen vastakkaisten etumerkkien arvot, eli:

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\,b_{n} ,\;b_{n}>0

Leibnizin kyltti

Sanamuoto

Leibnizin testi on Gottfried Leibnizin laatima vuorottelevan sarjan konvergenssitesti . Lauseen lause:

Annetaan vuorotteleva sarja

S=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}b_{n},\ b_{n}\geq 0

joiden osalta seuraavat ehdot täyttyvät:

$b_{n}\geq b_{n+1}$ , alkaen jostain numerosta ( ), $n\geq N$
$\lim _{{n\to \infty }}b_{n}=0.$

Sitten tämä sarja yhtyy.

Muistiinpanot

Sarjoja, jotka täyttävät Leibniz-testin, kutsutaan Leibniz-sarjoiksi . Sellaiset sarjat voivat konvergoitua absoluuttisesti (jos sarja suppenee ), tai ne voivat konvergoitua ehdollisesti (jos moduulien sarja hajoaa). ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n))$

Monotoninen vaimeneminen ei ole välttämätön vuorottelevan sarjan lähentymiselle (vaikka se on välttämätön ehto minkä tahansa sarjan lähentymiselle), joten itse kriteeri on vain riittävä , mutta ei välttämätön (esimerkiksi sarja konvergoituu). Toisaalta monotoninen hajoaminen on välttämätöntä Leibnizin testin soveltamiseksi; jos se puuttuu, sarja voi poiketa, vaikka Leibnizin testin toinen ehto täyttyy. Esimerkki divergentistä vuorottelevasta sarjasta, jossa termien ei-monotoninen lasku [1] : $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$ ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+(-1)^{n))))$

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}+\pisteet +{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n}}+\pisteet

Tämän sarjan kaksinkertaiset osasummat ovat yhtäpitäviä harmonisten sarjojen osasummien kanssa ja kasvavat siten loputtomasti.

Todiste

Tarkastellaan kahta jaksoa osittaisten summien sarjan ja . ${\displaystyle R_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots -b_{2n))$ ${\displaystyle L_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots +b_{2n+1))$

Ensimmäinen sekvenssi ei vähene: ensimmäisellä ehdolla. $R_{n}-R_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+1}\leq 0$

Samalla ehdolla toinen sekvenssi ei kasva: . $L_{n}-L_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+3}\geq 0$

Toinen sekvenssi suurentaa ensimmäisen, eli mille tahansa . Todella, ${\displaystyle L_{n}\geq R_{m))$ $m,n\in {\mathbb {N}}$

kun meillä on:

m\geq n

L_{n}-R_{m}\geq L_{m}-R_{m}=b_{2m+1}>0,

kun meillä on:

m\le n

L_{n}-R_{m}\geq L_{n}-R_{n}=b_{2n+1}>0.

Siksi ne molemmat konvergoivat monotonirajoitteisina sekvensseinä.

On vielä huomioitava, että: , joten ne konvergoivat yhteiseen rajaan , joka on alkuperäisen sarjan summa. $\lim _{{m,n}}|R_{n}-L_{{m}}|=0$ $S$

Matkan varrella osoitimme, että jokaiselle sarjan osasummalle arvio pätee . $S_{n}$ $|S-S_{n}|<b_{{n+1}}$

Esimerkki

$\sum _{{n=1}}^{\infty }(-1)^{{n+1}}{\frac {1}{n}}\;$ . Moduulisarjalla on muoto - tämä on harmoninen sarja , joka eroaa. $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$

Nyt käytämme Leibnizin testiä:

lomitus tehty
${\frac {1}{n+1}}<{\frac {1}{n)),\;\forall \;n$
$\lim _{{n\to \infty }}\,{\frac {1}{n}}=0$ .

Siksi, koska kaikki ehdot täyttyvät, sarja konvergoi (ja ehdollisesti, koska moduulien sarja eroaa).

Arvio Leibniz-sarjan loppuosasta

Leibnizin lauseesta seuraa johtopäätös, jonka avulla voidaan arvioida virhe sarjan epätäydellisen summan (sarjan jäännös ) laskemisessa:

S_{n}=\sum _{{i=1}}^{n}(-1)^{i}b_{i}.

Suppenevan vuorottelevan sarjan loppuosa on modulo pienempi kuin ensimmäinen hylätty termi: ${\displaystyle R_{n}=S-S_{n))$

\left|R_{n}\right|<b_{n+1}.

Todiste [2]

Sekvenssi on monotonisesti kasvava, koska lauseke a ei ole negatiivinen millekään kokonaisluvulle Sekvenssi on monotonisesti laskeva, koska suluissa oleva ilmaisu ei ole negatiivinen. Kuten itse Leibnizin lauseen todistuksessa on jo osoitettu, molemmilla näillä sekvensseillä — ja — on sama raja kuin So saatu ja myös Siten ja So, jokaiselle , mitä vaadittiin todistettavaksi. $S_{{2k}}$ $S_{{2k}}=\sum \limits _{{i=2}}^{{i=n}}{\left({b_{{2i-1}}-b_{{2i}}}\right )},$ $b_{{2i-1}}-b_{{2i}}$ $i.$ $S_{{2k-1}}$ $S_{{2k+1}}=S_{{2k-1}}-\vasen({b_{{2k}}-b_{{2k+1}}}\oikea),$ $S_{{2k}}$ $S_{{2k-1}}$ $k\to +\infty .$ $S_{{2k}}\leqslant s\leqslant S_{{2k-1}}$ $s\leqslant S_{{2k+1}}.$ $0\leqslant s-S_{{2k}}\leqslant S_{{2k+1}}-S_{{2k}}=b_{{2k+1}}$ $0\leqslant S_{{2k-1}}-s\leqslant S_{{2k-1}}-S_{{2k}}=b_{{2k}}.$ $k$ $\left|{s-S_{k}}\right|\leqslant b_{{k+1}},$

Vaihteleva sarja

Vaihtelevia sarjoja kutsutaan joskus myös vuorotteleviksi [3] , mutta tämä termi voi tarkoittaa myös mitä tahansa sarjaa, jossa on ääretön määrä positiivisia ja negatiivisia termejä samanaikaisesti.

Katso myös

Dirichlet -testi on yleistys Leibnizin testistä

Kirjallisuus

Bronshtein IN , Semendyaev KA Matematiikan käsikirja . - Toim. 7., stereotyyppinen. - M . : Valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustantamo, 1967. - S. 296.
Vorobjov N. N. Sarjojen teoria. - 4. painos - M .: Nauka, 1979. - 408 s. - (Valitut korkeamman matematiikan luvut insinööreille ja korkeakoulujen opiskelijoille).
Ivanov G. E. Luku 9. Numeeriset sarjat. §3. Sarja vuorottelevilla jäsenillä // Matemaattisen analyysin luentoja. - M .: MIPT, 2000. - T. 1. - S. 299-303. — 359 s. -800 kappaletta . — ISBN 5-7417-0147-7 .

Muistiinpanot

↑ Vorobjov, 1979 , s. 84-85.
↑ Beklemishev D.V. Analyyttisen geometrian ja lineaarisen algebran kurssi: Proc. yliopistoja varten. - 10. painos, Rev. - M .: FIZMATLIT, 2005.
↑ Fikhtengolts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi, osa 2 s. 302

Jaksot ja rivit
Jaksot	Numerosarja Perusjärjestys Lineaarinen toistuva sekvenssi Fibonaccin numerot kiharat numerot Factorial Barker-sekvenssi de bruijn sekvenssi
Rivit, perus	Rivin summa Loput rivistä Ehdollinen konvergenssi Vaihteleva sarja Rivien moniosa
Numerosarja ( operaatiot numerosarjoilla )	harmoninen sarja Leibniz-sarja Sarja käänteisiä neliöitä Käänteisten alkulukujen sarja Dirichlet rivi Mercator-sarja Rivi Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
toiminnallisia rivejä	Taylor-sarja Laurent-sarja Fourier-sarja Trigonometrinen Fourier-sarja trigonometrinen sarja Wiener-sarja
Muut rivityypit	Neumann-sarja Puiseux'n rivi

Sarjojen lähentymisen merkkejä
Kaikille riveille	Tarpeellinen kunto Cauchyn kriteeri	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Merkkipositiivisille sarjoille	Pääkriteeri Vertailumerkki Kummerin merkki Gaussin merkki Cauchyn radikaali merkki Integroitu ominaisuus D'Alembertin merkki voiman merkki logaritminen merkki Raaben merkki Bertrandin merkki Jametin merkki Schlömilchin merkki Ermakovin merkki Lobatševskin merkki teleskooppinen merkki Sapogovin merkki
Vuorotteleville sarjoille	Leibnizin merkki
Lomakkeen riveille $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelin merkki Dedekindin merkki Dubois-Reymond merkki Dirichlet-merkki
Toiminnallisiin sarjoihin	Weierstrass-kyltti
Fourier -sarjaan	Dini merkki Vallée Poussinin merkki Jordanin merkki Jung merkki Salem merkki Lebesguen merkki Lebesgue-Gergen merkki Martsinkevitšin merkki