Cauchyn radikaali merkki

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 26. joulukuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Cauchyn radikaalimerkki on merkki lukusarjan konvergenssista :

Jos kyseessä on numerosarja

\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}

ei-negatiivisilla termeillä on olemassa luku , , jolloin jostain luvusta alkaen epäyhtälö $q$ $0<q<1$

{\sqrt[{n}]{a_{n))}\leq q

sitten tämä sarja konvergoi; jos jostain numerosta alkaen

{\sqrt[{n}]{a_{n))}>1

sitten sarja eroaa.

Jos , tämä on kyseenalainen tapaus ja lisätutkimusta tarvitaan. ${\sqrt[{n}]{a_{n))}=1$

Jos, alkaen jostain luvusta, , ja ei ole olemassa sellaista , että kaikille , alkaen jostain luvusta, niin tässä tapauksessa sarja voi sekä lähentyä että hajota. ${\sqrt[{n}]{a_{n))}<1$ $q$ $0<q<1$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leqslant q$ $n$

Rajoituslomake

Jos on raja

{\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n))))

sitten harkittu sarja konvergoi, jos , ja jos hajoaa. $\rho<1$ $\rho >1$

Huomautus 1. Jos , niin Cauchyn radikaalitesti ei vastaa kysymykseen sarjan konvergenssista. $\rho=1$

Huomautus 2. Jos , mutta sekvenssi pyrkii ylhäältä äärirajoihinsa, sarja hajoaa. $\rho=1$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n))))$ $\rho$

Todiste

Ensinnäkin on huomattava, että jos Cauchyn kriteeri täyttyy sekvenssille , alkaen jostain numerosta , voimme tarkastella sekvenssin osajonoa , joka alkaa juuri tästä numerosta. Tällaisesta osasekvenssistä muodostuva sarja konvergoi. Mutta silloin myös alkuperäinen sarja suppenee, koska sekvenssin alkutermien äärellinen määrä ei vaikuta sarjan konvergenssiin. Tässä tapauksessa todisteen yksinkertaistamiseksi on järkevää hyväksyä , eli hyväksyä, että Cauchyn kriteeri täyttyy kaikille luonnollisille . ${\näyttötyyli \{a\))$ $N$ ${\näyttötyyli \{a\))$ $N-1$ ${\näyttötyyli \{a\))$ $N = 1$ $n$

Olkoon epäyhtälö totta kaikille luonnollisille luvuille , missä . Sitten voit kirjoittaa , , …, , ja niin edelleen. Koska ja , ja kaikki sekvenssin jäsenet ovat ei-negatiivisia, epäyhtälöjärjestelmä voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: , , …, , ja niin edelleen. Kun lisätään ensimmäiset epäyhtälöt, saadaan . Tämä tarkoittaa, että sarjan :s osasumma on pienempi kuin pienenevän geometrisen progression osasumma alkutermillä . Äärettömän pienenevän geometrisen progression summa konvergoi, joten positiivisen etumerkin sarjan vertailukriteerin mukaan myös alkuperäinen sarja suppenee. $n$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leqslant q$ $0<q<1$ ${a_{1}}\leq q$ ${\sqrt {a_{2))}\leq q$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leq q$ $q$ ${\näyttötyyli \{a\))$ ${a_{1}}\leq q$ ${a_{2}}\leq {q^{2}}$ ${a_{n}}\leq {q^{n}}$ $n$ ${a_{1}}+...+{a_{n}}\leq q+...+{q^{n}}$ $n$ $n$ $q$
Olkoon (kaikki luonnolliset ): sitten voimme kirjoittaa . Tämä tarkoittaa, että sekvenssin jäsenten moduulilla ei ole taipumusta nollata äärettömässä, eikä sekvenssi itse pyri nollaan. Minkään sarjan konvergenssin välttämätön ehto ei täyty. Siksi sarja eroaa. ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\geq 1$ $n$ $a_{n}\geq 1$ ${\näyttötyyli \{a\))$ ${\näyttötyyli \{a\))$
Anna kaikille luonnollisille . Lisäksi ei ole sellaista , että kaikille luonnollinen . Tässä tapauksessa sarja voi joko lähentyä tai hajota. Esimerkiksi molemmat sarjat ja täyttävät tämän ehdon, ja ensimmäinen sarja (harmoninen) hajoaa ja toinen konvergoi. Itse asiassa sarja on totta kaikille luonnollisille , paitsi . Samalla, koska , tämä tarkoittaa, että mille tahansa : lle on mahdollista valita luku siten, että ja samalla jostain luvusta alkaen kaikki sekvenssin jäsenet , jossa , ovat välissä , eli , . Ja tämä tarkoittaa , että sellaista ei ole olemassa kaikille luonnollisille . Nämä argumentit voidaan toistaa toiselle riville: sama pätee kaikille , . Toinen sarja kuitenkin lähentyy. ${\sqrt[{n}]{a_{n))}<1$ $n$ $q$ $0<q<1$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leqslant q$ $n$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ ${\sqrt[{n}]{|{a_{n}}|}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{n}}}={\left({\frac {1}{n}}\oikea)^{\frac {1}{n}}}<1$ $n$ $n = 1$ $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n))}=1$ $q$ $0<q<1$ $\varepsilon$ $1-\varepsilon >q$ $\{b\}$ ${b_{n}}={\sqrt[{n}]{a_{n}}}$ $(1-\varepsilon ;1)$ ${b_{n}}>q$ $q$ $0<q<1$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leqslant q$ $n>1$ $n>1$ ${\sqrt[{n}]{|{a_{n}}|}}<1$ $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n))}=1$

Esimerkkejä

1. Rivi

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {n}{2^{n}}}

konvergoi, koska Cauchyn lauseen radikaalitestin rajoittavan muodon ehto täyttyy

\lim _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}={\frac {1}{2}}

2. Harkitse sarjaa

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\left({\frac {n-1}{n+1}}\right)}^{{n(n-1)))

\lim _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}{\left({\frac {n- 1}{n+1}}\right)}^{{n-1}}=\lim _{{n\to \infty }}{\left(1-{\frac {2}{n+1} }\right)}^{{n-1}}=e^{{-2}}<1\Rightarrow

sarja lähentyy.

Katso myös

Sarjojen lähentymisen merkkejä
Kaikille riveille	Tarpeellinen kunto Cauchyn kriteeri	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Merkkipositiivisille sarjoille	Pääkriteeri Vertailumerkki Kummerin merkki Gaussin merkki Cauchyn radikaali merkki Integroitu ominaisuus D'Alembertin merkki voiman merkki logaritminen merkki Raaben merkki Bertrandin merkki Jametin merkki Schlömilchin merkki Ermakovin merkki Lobatševskin merkki teleskooppinen merkki Sapogovin merkki
Vuorotteleville sarjoille	Leibnizin merkki
Lomakkeen riveille $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelin merkki Dedekindin merkki Dubois-Reymond merkki Dirichlet-merkki
Toiminnallisiin sarjoihin	Weierstrass-kyltti
Fourier -sarjaan	Dini merkki Vallée Poussinin merkki Jordanin merkki Jung merkki Salem merkki Lebesguen merkki Lebesgue-Gergen merkki Martsinkevitšin merkki