Välttämätön ehto sarjojen lähentymiselle

Sarjan konvergenssin välttämätön ehto ( Sarjan konvergenssin välttämätön kriteeri ):

Jotta sarja lähentyisi , sekvenssin on oltava äärettömän pieni . $\sum a_{k}$ ${\näyttötyyli (a_{k})}$

Todiste

Olkoon alkuperäinen sarja lähentyvä (osittaissummien sarjalla on äärellinen raja). Ehdolla, sarjoja osittaisten summien ja on yhteinen äärellinen raja , mutta , mutta koska se vastaa ääretöntä pienuus . ${\näyttötyyli (s_{k})}$ ${\näyttötyyli (s_{k+1})}$ $s$ $|a_{k+1}|=|\,s_{k+1}-\,s_{k}|$ $|a_{k+1}|\rightarrow 0$ ${\näyttötyyli (a_{k})}$

Huomautus

Tämä ominaisuus on vain välttämätön, mutta ei riittävä , eli siitä tosiasiasta, että siitä ei seuraa, että sarja konvergoi. $(a_{k})\rightarrow 0$

Siten harmoninen sarja hajoaa, vaikka sarjan konvergenssin välttämätön ehto täyttyykin sille. $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{n}}+...$

Kirjallisuus

Bogdanov Yu. S. - Matemaattisen analyysin luentoja - Osa 2 - Minsk: BSU Publishing House - 1978.
Fikhtengol'ts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. - Toim. 6. - M. : Nauka, 1966. - T. 2. - 800 s.

Sarjojen lähentymisen merkkejä
Kaikille riveille	Tarpeellinen kunto Cauchyn kriteeri	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Merkkipositiivisille sarjoille	Pääkriteeri Vertailumerkki Kummerin merkki Gaussin merkki Cauchyn radikaali merkki Integroitu ominaisuus D'Alembertin merkki voiman merkki logaritminen merkki Raaben merkki Bertrandin merkki Jametin merkki Schlömilchin merkki Ermakovin merkki Lobatševskin merkki teleskooppinen merkki Sapogovin merkki
Vuorotteleville sarjoille	Leibnizin merkki
Lomakkeen riveille $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelin merkki Dedekindin merkki Dubois-Reymond merkki Dirichlet-merkki
Toiminnallisiin sarjoihin	Weierstrass-kyltti
Fourier -sarjaan	Dini merkki Vallée Poussinin merkki Jordanin merkki Jung merkki Salem merkki Lebesguen merkki Lebesgue-Gergen merkki Martsinkevitšin merkki