Teleskooppinen merkki

Teleskooppimerkki ( Cauchyn paksuusmerkki ) on Augustin Cauchyn vuonna 1821 perustama merkki positiivisten termien numeeristen sarjojen lähentymisestä [1] .

Sanamuoto

Pätee seuraavat sarjan jäsenet: $f(n)$

järjestys vähenee monotonisesti $\{f(n)\}$
$f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ - jäsenet eivät ole negatiivisia

Sitten sarja konvergoi tai hajoaa samanaikaisesti sarjan kanssa . $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$

Todiste

1. Lauseen ehtojen mukaan termijono on monotonisesti pienenevä, ts. mikään sekvenssin jäsen ei saa olla pienempi kuin jokainen seuraava, mikä tarkoittaa, että termien summa alkaen kohdasta ei ylitä : $\{f(n)\}$ $m$ $f(n)$ $m\cdot f(n)$

\sum _{i=n}^{n+m-1}f(i)\leq m\cdot f(n)

Ryhmittelemme sarjan jäsenet ja käyttämällä tätä laskevan sekvenssin ominaisuutta, saamme: $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }f(n)&=f(1)+\alaviiva {f(2)+f(3)} _{\leq f(2)+f(2)}+\aliviiva {f(4)+f(5)+f(6)+f(7)} _{\leq f(4)+f(4)+f( 4)+f(4)}+\cdots +\alaviiva {f(2^{n})+f(2^{n}+1)+\cdots +f(2^{n+1}-1) } _{\leq f(2^{n})+f(2^{n})+\cdots +f(2^{n})}+\cdots \\&\leq f(1)+2f( 2)+4f(4)+\cdots +2^{n}f(2^{n})+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^ {n}).\end{aligned}}

Eli jos sarjat lähentyvät, niin vertailukriteerin mukaan sarja lähentyy sitäkin enemmän. $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$ $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

2. Vastaavasti:

{\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})&=\alasiviiva {f(1)+f(2)} _{\leq f(1)+f(1)}+\aliviiva {f(2)+f(4)+f(4)+f(4)} _{\leq f(2)+f(2 )+f(3)+f(3)}+\cdots +\alaviiva {f(2^{n})+f(2^{n+1})+\cdots +f(2^{n+1 })} _{\leq f(2^{n})+f(2^{n})+f(2^{n}+1)+f(2^{n}+1)+\cdots + f(2^{n+1}-1)}+\cdots \\&\leq f(1)+f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+f(3) +\cdots +f(n)+f(n)+\cdots =2\sum _{n=1}^{\infty }f(n).\end{tasattu))

Eli jos sarja poikkeaa, niin vertailukriteerin mukaan sarja poikkeaa sitäkin enemmän. $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$ $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\leq 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n).

■

Yleistykset

Vuonna 1864 Joseph Bertrand osoitti, että tämän lauseen sarjan sijasta voidaan käyttää mitä tahansa muodon sarjaa: [2] $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$

\sum _{n=0}^{\infty }m^{n}f(m^{n})

, missä

m\in \mathbb {N} ,m\geq 2

Vuonna 1902 Émile Borel laajensi tätä lausetta edelleen käyttämällä muodon sarjaa sarjan sijaan: [3] $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$

\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}f([a]^{n})

, missä

a\in \mathbb {R} ,a>1

Tässä on kokonaisluvun osa . $[a]$ $a$

Schlömilchin kondensaatiokyltti

Vuonna 1873 Oskar Schlömilch osoitti toisen yleistyksen teleskooppisesta ominaisuudesta [4] :

Pätee seuraavat sarjan jäsenet: $f(n)$

järjestys vähenee monotonisesti $\{f(n)\}$
$f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ - jäsenet eivät ole negatiivisia

Sitten sarja konvergoi tai hajoaa samanaikaisesti sarjan ja . $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $\sum _{n=1}^{\infty }(2n-1)\cdot f(n^{2})$ $\sum _{n=1}^{\infty }2n\cdot f(n^{2})$

Knoppin merkki kondensaatiosta

Vuoden 1922 kirjassaan Konrad Knopp muotoili seuraavan yleistyksen teleskooppisesta piirteestä.

Päästää:

$\{f(n)\}$ on monotonisesti laskeva sarja (sarjan ehdot)
$f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ - sekvenssi ei ole negatiivinen
$\{u_{n}\}$ on jokin tiukasti kasvava sekvenssi
$u_{n}\in \mathbb {N}$ (joka tarkoittaa ) $u_{n}>0$ $\forall n$
sarja rajoitettu $\{r_{n}\}=\left\{{\frac {u_{n+1}-u_{n}}{u_{n}-u_{n-1}}}\right\}$

Sitten sarja konvergoi tai hajoaa samanaikaisesti sarjan kanssa . $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $\sum _{n=1}^{\infty }(u_{n+1}-u_{n})f(u_{n})$

Tämän lauseen katsotaan joskus olevan Schlömilchin [5] ansiota .

Jos esimerkiksi tarkastellaan sarjaa , joka täyttää lauseen vaatimukset mielivaltaiselle kiinteälle , niin tämän lauseen mukaan sarja konvergoi tai hajoaa samanaikaisesti sarjan kanssa , ja koska sarjan kertominen nollasta poikkeavalla vakiolla ei vaikuta konvergenssi, alkuperäinen sarja suppenee tai hajoaa samanaikaisesti sarjan kanssa millä tahansa valitulla vakiolla . $u_{n}=c^{n}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {N} \setminus \{1\))$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $(c-1)\sum _{n=1}^{\infty }c^{n}f(c^{n})$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $\sum _{n=1}^{\infty }c^{n}f(c^{n})$ $c\in \mathbb {N} ,\;c\neq 1$

Muistiinpanot

↑ Cauchy AL I.re partie: Analyze algébrique // Cours d'analyse de l'École royale polytechnique. Pariisi: näyttök. royale Debure frères, 1821. - s. 135-136. — 576 s.
↑ Bertrand J. Premiere Party. Calcul Différentiel // Traité de Calcul Différentiel et de Calcul Intégral (ranska) . - Pariisi: Gauthier-Villars, 1864. - S. 234-235. – 780 s.
↑ Borel E. Leçons sur les Séries a Termes Positifs (ranska) . - Paris: Gauthier-Villars, 1902. - 91 s.
↑ Schlömilch O. Ueber dei gleichzeitige Convergenz oder Divergenz zweier Reihen (saksa) // ZfMuP. - 1873. - Bd. b28 . - S. 425-426 .
↑ Bonar, Khoury, 2006 , Lause 2.4 todistuksella.

Linkit

Weisstein, Eric W. Cauchyn kondensaatiotesti (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
D.D. Bonar ja M. Khoury, Jr. Kehittyneempiä tekniikoita // Real Infinite Series . - Washington DC: Mathematical Association of America, 2006. - s . 43-45 . — 264 s. — ISBN 0-88385-745-6 .

Sarjojen lähentymisen merkkejä
Kaikille riveille	Tarpeellinen kunto Cauchyn kriteeri	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Merkkipositiivisille sarjoille	Pääkriteeri Vertailumerkki Kummerin merkki Gaussin merkki Cauchyn radikaali merkki Integroitu ominaisuus D'Alembertin merkki voiman merkki logaritminen merkki Raaben merkki Bertrandin merkki Jametin merkki Schlömilchin merkki Ermakovin merkki Lobatševskin merkki teleskooppinen merkki Sapogovin merkki
Vuorotteleville sarjoille	Leibnizin merkki
Lomakkeen riveille $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelin merkki Dedekindin merkki Dubois-Reymond merkki Dirichlet-merkki
Toiminnallisiin sarjoihin	Weierstrass-kyltti
Fourier -sarjaan	Dini merkki Vallée Poussinin merkki Jordanin merkki Jung merkki Salem merkki Lebesguen merkki Lebesgue-Gergen merkki Martsinkevitšin merkki