Schlömilchin merkki

Schlömilch- kriteeri on Oskar Schlömilchin asettama kriteeri positiivisten termien numeeristen sarjojen konvergenssille .

Sanamuoto

Jos on olemassa sellainen, että jostain luvusta alkaen pätee seuraava epäyhtälö: $\delta>0$ $n$

S_{n}=n\cdot \ln \left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)\geqslant 1+\delta ,

sitten sarja lähentyy. $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Jos , alkaen joistakin , niin sarja poikkeaa. $S_{n}\leqslant 1$ $n$

Jos on raja :

{\displaystyle S=\lim _{n\to \infty }S_{n))

sitten , sarja lähentyy, ja , se eroaa. $S>1$ $S<1$

Kommentti. Jos , niin Schlömilchin kriteeri ei vastaa kysymykseen sarjan konvergenssista. $S=1$

Schlömilch-merkki mahdollistaa joidenkin sarjojen konvergenssin määrittämisen, joihin Raabe-merkki ei sovellu [1] . Esimerkiksi riville:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4^{n-1}[(n-1)!]^{2}}{[(2n-1)!!] ^{2}}}

vierekkäisten jäsenten suhde:

{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}={\frac {4^{n-1}[(n-1)!]^{2}}{[(2n -1)!!]^{2))}\cdot {\frac {[(2n+1)!!]^{2)){4^{n}[n!]^{2))}={ \frac {1}{4}}\cdot {\frac {(2n+1)^{2}}{n^{2}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{4n^{2}}}

;

Raaben merkki hänelle antaa:

R_{n}=1+{\frac {1}{4n}}\xrightarrow {n\to \infty } 1

ja Schlömilchin merkki:

S_{n}=n\cdot \ln \left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{4n^{2}}}\right)\xrightarrow {n \to \infty } 0

Samoin Bertrand-testi vahvistaa myös tämän sarjan konvergenssin:

B_{n}={\frac {\ln n}{4n))\xrightarrow {n\to \infty } 0

Schlömilchin merkki on kuitenkin vähemmän herkkä kuin Bertrandin merkki. Se ei esimerkiksi salli sarjan konvergenssin määrittämistä: [1]

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!]^{2))}

Hänelle naapuriehtojen suhde:

{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}={\frac {(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!] ^{2}}}\cdot {\frac {[(n+2)!]^{2}}{n!\cdot (n+3)!}}={\frac {(n+2)^{ 2}}{n\cdot (n+3)}}=1+{\frac {n+4}{n^{2}+3n}}

Raaben merkki hänelle antaa:

R_{n}=n\cdot {\frac {n+4}{n^{2}+3n))={\frac {n^{2}+4n}{n^{2}+3n }}\xrightarrow {n\to \infty } 1

sekä Schlömilch-kyltti:

S_{n}=n\cdot \ln \left(1+{\frac {n+4}{n^{2}+3n}}\right)\xrightarrow {n\to \infty } 1

Toisaalta Bertrand-testi osoittaa yksiselitteisesti tämän sarjan konvergenssin:

B_{n}=\ln n\cdot \left({\frac {n^{2}+4n}{n^{2}+3n))-1\right)={\frac {\ln n}{n+3}}\xrightarrow {n\to \infty } 0

↑ 1 2 Franciszek Prus-Wiśniowski, Raaben ja Schlömilchin testien vertailu Arkistoitu 29. tammikuuta 2022 Wayback Machinessa , Tatra Mt. Matematiikka. Publ. 42 (2009), 119-130

Subir Kumar Mukherjee. Lause 15 // Reaalianalyysin ensimmäinen kurssi (englanti) . - Kolkata: Academic Publishers, 2009. - S. 190. - 383 s. — ISBN 9788189781903 .

Sarjojen lähentymisen merkkejä
Kaikille riveille	Tarpeellinen kunto Cauchyn kriteeri	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Merkkipositiivisille sarjoille	Pääkriteeri Vertailumerkki Kummerin merkki Gaussin merkki Cauchyn radikaali merkki Integroitu ominaisuus D'Alembertin merkki voiman merkki logaritminen merkki Raaben merkki Bertrandin merkki Jametin merkki Schlömilchin merkki Ermakovin merkki Lobatševskin merkki teleskooppinen merkki Sapogovin merkki
Vuorotteleville sarjoille	Leibnizin merkki
Lomakkeen riveille $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelin merkki Dedekindin merkki Dubois-Reymond merkki Dirichlet-merkki
Toiminnallisiin sarjoihin	Weierstrass-kyltti
Fourier -sarjaan	Dini merkki Vallée Poussinin merkki Jordanin merkki Jung merkki Salem merkki Lebesguen merkki Lebesgue-Gergen merkki Martsinkevitšin merkki