Ermakovin merkki

Ermakovin merkki on Vasili Ermakovin määrittämä merkki positiivisten termien numeeristen sarjojen lähentymisestä . Sen spesifisyys piilee siinä, että se ylittää kaikki muut merkit "herkkyydellään". Tämä teos julkaistiin artikkeleissa: "Sarjojen lähentymisen yleinen teoria" ("Mathematical Collection", 1870 ja "Bullet. des sciences mathém. et astronom.", 2-me serie, t. III), "A uusi konvergenssi- ja divergenssikriteeri äärettömän vuorottelevan sarjan" ("Universitetskie Izvestia of the University of St. Vladimir" vuodelta 1872).

Sanamuoto

Anna toiminnon suorittaa: $f(x)$

$f(x)>0\;\forall x$ (funktio hyväksyy vain positiiviset arvot);
funktio pienenee monotonisesti . $f(x)$ $x\geqslant 1$

Sitten sarja konvergoi, jos seuraava epäyhtälö pätee: $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $x\geqslant x_{0}$

\varepsilon (x)={\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\leqslant \lambda

missä . $\lambda<1$

Jos , niin sarja eroaa. $\varepsilon(x)\geqslant 1$ $x\geqslant x_{0}$

Todiste [1]

1. Pätee seuraava epäyhtälö:

{\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\leqslant \lambda .

Kerromme tämän epätasa-arvon molemmat puolet ja integroimme käyttämällä substituutiota : $f(x)$ $t=e^{u}$

\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt=\int \limits _{{x_{0}}} ^{x}f(e^{u})\cdot e^{u}\,du\leqslant \lambda \int \limits _{{x_{0}}}^{x}f(t)\,dt ,

täältä

(1-\lambda )\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\leqslant \lambda \left(\ int \limits _{{x_{0}}}}^{x}f(t)\,dt-\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{ x }}}f(t)\,dt\oikea)\leqslant \lambda \left(\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}f ( t)\,dt-\int \limits _{x}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\oikea)\leqslant \lambda \int \limits _{{x_{0} } }^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt,

koska aliosa viimeisissä suluissa on positiivinen. Siksi jakamalla epäyhtälö luvulla , saamme: $e^{x}>x$ $1-\lambda$

\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\leqslant {\frac {\lambda }{(1-\ lambda )}}\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt.

Lisäämällä integraalin molemmille puolille , saamme $\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}\,f(t)dt$

\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\leqslant {\frac {1}{(1-\lambda )))\int \ rajat _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt=L.

Ottaen huomioon, että klo $e^{x}>x$ $x\geqslant x_{0}$

\int \limits _{{x_{0}}}^{x}f(t)\,dt\leqslant L.

Koska integraali kasvaa kasvaessa ja sille on rajallinen raja : $x$ $x\to \infty$

\int \limits _{{x_{0}}}^{\infty }f(t)\,dt\leqslant L.

Koska tämä integraali suppenee, Cauchyn ja Maclaurinin integraalitestin mukaan sarja myös konvergoi. $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$

2. Pitäkää nyt seuraava epäyhtälö voimassa:

{\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\geqslant 1.

Kerrotaan molemmat osat tästä epäyhtälöstä ja integroidaan käyttämällä vasemman puolen substituutiota , saadaan: $f(x)$ $t=e^{u}$

\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits _{{x_{0}} }^{x}f(t)\,dt.

Lisätään integraali molemmille puolille : $\int \limits _{x}^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt$

\int \limits _{{x}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_ {0}}}}}f(t)\,dt=\gamma .

Koska sitten . Määrittelemme nyt järjestyksen seuraavasti: $x_{0}<e^{{x_{0}}}$ $\gamma >0$ $\{x_i\}$

x_{i}=e^{{x_{{i-1}}}},\;\;i=0,\;1,\;\ldots ,\;n,\;\ldots

Tätä sekvenssiä käyttämällä viimeinen epäyhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

\int \limits _{{x_{{i-1}}}}^{{x_{i}}}f(t)\,dt\geqslant \gamma .

Summaa tämä integraali seuraavasti : $i=0,\;1,\;\ldots ,\;n$

\int \limits _{{x_{0}}}^{{x_{n}}}f(t)\,dt=\sum _{{i=1}}^{n}\int \limits _{ {x_{{i-1}}}}^{{x_{i}}}f(t)\,dt\geqslant n\gamma,

eli tämä integraali on rajaton . Siksi: $n\to\infty$

\int \limits _{{x_{0}}}^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{{x\to \infty }}\int \limits _{{x_{0}} }^{x}f(t)\,dt=+\infty .

Koska tämä integraali hajoaa, Cauchyn-Maclaurinin integraalitestin mukaan sarja eroaa myös. ■ $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$

Formulaatio rajamuodossa

Jos on raja:

\varepsilon =\lim _{{x\to \infty }}\varepsilon (x),

sitten , sarja lähentyy, ja , se eroaa. $\varepsilon<1$ $\varepsilon >1$

Yleistys [2]

Anna toiminnon suorittaa: $f(x)$

$f(x)>0\;\forall x$ (funktio hyväksyy vain positiiviset arvot);
funktio pienenee monotonisesti . $f(x)$ $x\geqslant 1$

Otetaan jokin funktio , joka: $\varphi (x)>x$

$\varphi (x)>0\;\forall x$ (funktio hyväksyy vain positiiviset arvot);
kasvaa monotonisesti;
on jatkuva muuttuja.

Sitten sarja konvergoi, jos seuraava epäyhtälö pätee: $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$

{\frac {\varphi (x)\cdot f(\varphi (x))}{f(x)))\leqslant \lambda <1

Jos

{\frac {\varphi (x)\cdot f(\varphi (x))}{f(x)))\geqslant 1

sitten sarja eroaa.

Muistiinpanot

↑ Fikhtengolts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi . - M .: Nauka, 1970.
↑ A. D. Polyanin, A. V. Manžirov. Matematiikan käsikirja insinööreille ja tutkijoille. - 2006. - S. 340. - 1544 s. - ISBN 978-1420010510 .

Kirjallisuus

Ermakovin merkki - artikkeli matematiikan tietosanakirjasta

Linkit

Weisstein, Eric W. Ermakoff's Test (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Sarjojen lähentymisen merkkejä
Kaikille riveille	Tarpeellinen kunto Cauchyn kriteeri	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Merkkipositiivisille sarjoille	Pääkriteeri Vertailumerkki Kummerin merkki Gaussin merkki Cauchyn radikaali merkki Integroitu ominaisuus D'Alembertin merkki voiman merkki logaritminen merkki Raaben merkki Bertrandin merkki Jametin merkki Schlömilchin merkki Ermakovin merkki Lobatševskin merkki teleskooppinen merkki Sapogovin merkki
Vuorotteleville sarjoille	Leibnizin merkki
Lomakkeen riveille $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelin merkki Dedekindin merkki Dubois-Reymond merkki Dirichlet-merkki
Toiminnallisiin sarjoihin	Weierstrass-kyltti
Fourier -sarjaan	Dini merkki Vallée Poussinin merkki Jordanin merkki Jung merkki Salem merkki Lebesguen merkki Lebesgue-Gergen merkki Martsinkevitšin merkki