Kummer-kriteeri on Ernst Kummerin asettama yleinen kriteeri positiivisten termien numeeristen sarjojen konvergenssille .
Olkoon sarja ja mielivaltainen numeerinen sekvenssi annettu siten, että sarja hajoaa. Sitten sarja konvergoi, jos seuraava epäyhtälö pätee kaikkiin: ,missä . Jos , niin sarja eroaa. |
Annettu rivi .
1. Todiste lähentymisestä. Pätee epätasa-arvo kaikille:
.Kun tämän epäyhtälön molemmat osat kerrotaan luvulla , saadaan:
, |
|
(*) |
ja siitä lähtien:
, .Tämä tarkoittaa, että sekvenssi pienenee monotonisesti ja pyrkii siksi äärelliseen rajaan (koska sitä rajoittaa alhaalta nolla). Vastaavasti sekvenssi ) konvergoi, mikä on sarjan ensimmäisten termien summa
,joka siis myös konvergoi. Mutta sitten epäyhtälöstä (*) ensimmäisen vertailulauseen mukaan seuraa, että sarja konvergoi . Sitten, koska , tämän sarjan on myös lähennettävä .
Huom . Konvergenssin todistamisessa ei käytetä ehtoa, että sarja hajoaa.
2. Todiste erosta. Pitäkää nyt seuraavat epätasa-arvot joidenkin kohdalla voimassa:
tai
.Jakamalla tämän epätasa-arvon molemmat puolet saadaan:
.Koska lauseen ehtojen mukaan sarjan oletetaan olevan divergentti, niin vertailulauseen nojalla myös tämän sarjan täytyy hajota . ■
Jos on raja: sitten , sarja lähentyy, ja , se eroaa. |
Jotkut muut sarjan konvergenssitestit ovat Kummerin testin erikoistapauksia tietyntyyppisillä sekvenssillä :
Sarjojen lähentymisen merkkejä | ||
---|---|---|
Kaikille riveille | ||
Merkkipositiivisille sarjoille |
| |
Vuorotteleville sarjoille | Leibnizin merkki | |
Lomakkeen riveille | ||
Toiminnallisiin sarjoihin | ||
Fourier -sarjaan |
|