Vertailumerkki

Vertailumerkki on väite kahden sarjan divergenssin tai konvergenssin samanaikaisuudesta , joka perustuu näiden sarjojen jäsenten vertailuun.

Sanamuoto

Olkoon kaksi positiivista sarjaa:

\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}

\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}

Sitten, jos jostain paikasta ( ), seuraava epäyhtälö pätee: $n>N$

0\leqslant a_{n}\leqslant b_{n}

silloin sarjan konvergenssi tarkoittaa . $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Tai jos sarja poikkeaa, eroaa ja . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$

Todiste

Merkitään sarjan osasummat . Epäyhtälöistä seuraa , että Siten rajoittuneisuus merkitsee rajoittuneisuutta ja rajoittuneisuus rajattomuutta . Attribuutin pätevyys seuraa konvergenssikriteeristä $\sigma _{n}$ $\sum b_{k}$ $(*)$ $0\leqslant s_{n}\leqslant \sigma _{n},\forall n.$ $(\sigma _{n})$ ${\näyttötyyli (s_{n}),}$ ${\näyttötyyli (s_{n})}$ $(\sigma _{n}).$ $\sum b_{k}.$

Suhteiden vertailun merkki

Myös vertailumerkki voidaan muotoilla kätevämmässä muodossa - suhteiden muodossa.

Sanamuoto

Jos tiukasti positiivisen sarjan jäsenille ja , jostain kohdasta ( ) alkaen pätee seuraava epäyhtälö: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $n>N$

{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\leqslant {\frac {b_{{n+1}}}{b_{n}}}

silloin sarjojen konvergenssi tarkoittaa konvergenssia ja divergentti poikkeamista . $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$

Todiste

Kerrotaan eriarvoisuudet varten , Saamme $k=1,2,...,n-1$

{\frac {a_{n}}{a_{1}}}\leqslant {\frac {b_{n}}{b_{1}}},

tai

a_{n}\leqslant {\frac {a_{1}}{b_{1}}}\,b_{n},\forall n.

Edelleen riittää soveltaa vertailukriteeriä positiivisille sarjoille ja (ja ottaa huomioon, että vakiokerroin ei vaikuta konvergenssiin). $\sum a_{k}$ $\sum {\frac {a_{1}}{b_{1}}}\,b_{k}$

Rajavertailukriteeri

Koska on melko vaikea tehtävä luotettavasti määrittää tämän epäyhtälön pätevyys mille tahansa n:lle, niin käytännössä vertailukriteeriä käytetään yleensä rajoittavassa muodossa.

Sanamuoto

Jos ja on ehdottomasti positiivisia sarjoja ja $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$

\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c

silloin konvergenssi tarkoittaa konvergenssia ja eroaminen tarkoittaa eroa . $0\leqslant c<\infty$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $0<c\leqslant \infty$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Todiste

Tiedämme , että jokaiselle on olemassa sellainen, että kaikelle meillä on , tai joka on sama: $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ $\varepsilon > 0$ $n_{0}$ ${\displaystyle n\geq n_{0))$ $\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon$

-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon

c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon

{\displaystyle (c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n))

Koska , voimme pitää sen tarpeeksi pienenä ollaksemme positiivisia. Mutta sitten , ja edellä kuvatun vertailukriteerin mukaan, jos lähentyy, niin konvergoi ja . $c>0$ $\varepsilon$ $c-\varepsilon$ $b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}$ $\sum _{n}a_{n}$ ${\displaystyle \sum _{n}b_{n))$

Samoin , ja sitten, jos lähentyy, niin lähentyy ja . ${\displaystyle a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n))$ ${\displaystyle \sum _{n}b_{n))$ $\sum _{n}a_{n}$

Siten joko molemmat sarjat suppenevat tai ne molemmat eroavat.

Kirjallisuus

Yu. S. Bogdanov — Matemaattisen analyysin luentoja — Osa 2 — Minsk — BSU Publishing House. V. I. Lenin - 1978.
G. M. Fikhtengolts. Sarjavertailulauseet // Matemaattisen analyysin perusteet. - Pietari. : Lan, 2001. - T. 2. - S. 17-19. — 464 s. - ISBN 5-8114-0191-4 .

Linkit

http://www.math24.ru/comparison-tests.html

Sarjojen lähentymisen merkkejä
Kaikille riveille	Tarpeellinen kunto Cauchyn kriteeri	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Merkkipositiivisille sarjoille	Pääkriteeri Vertailumerkki Kummerin merkki Gaussin merkki Cauchyn radikaali merkki Integroitu ominaisuus D'Alembertin merkki voiman merkki logaritminen merkki Raaben merkki Bertrandin merkki Jametin merkki Schlömilchin merkki Ermakovin merkki Lobatševskin merkki teleskooppinen merkki Sapogovin merkki
Vuorotteleville sarjoille	Leibnizin merkki
Lomakkeen riveille $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelin merkki Dedekindin merkki Dubois-Reymond merkki Dirichlet-merkki
Toiminnallisiin sarjoihin	Weierstrass-kyltti
Fourier -sarjaan	Dini merkki Vallée Poussinin merkki Jordanin merkki Jung merkki Salem merkki Lebesguen merkki Lebesgue-Gergen merkki Martsinkevitšin merkki