Cauchy-Maclaurin integraalitesti

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 11. toukokuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 13 muokkausta .

Cauchyn ja Maclaurinin integraalitesti on testi pienenevän positiivisen lukusarjan konvergenssille . Cauchy-Maclaurin-testi mahdollistaa sarjan konvergenssin varmistuksen pelkistämisen vastaavan funktion väärän integraalin konvergenssin varmentamiseen , jälkimmäinen löytyy usein eksplisiittisesti. $[1,\infty )$

Lauseen lause

Anna toiminnon suorittaa: $f(x)$

$\forall x\geqslant 1\quad f(x)>0$ , eli funktio ottaa positiivisia arvoja väliltä ; $[1,+\infty )$
$\forall x_{1},x_{2}\geqslant 1\qquad x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geqslant f(x_{2})$ , eli funktio on monotonisesti ei-kasvava päällä ; $[1,+\infty )$
${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad f(n)=a_{n))$ (funktion arvon vastaavuus sarjan jäsenelle).

Sitten sarja ja väärä integraali konvergoivat tai hajoavat samanaikaisesti. $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\int \limits _{1}^{\infty }\!f(x)\,dx$

Luonnos todisteesta

Rakennetaan kaavioon vaiheittaisia lukuja kuvan osoittamalla tavalla. $f(x)$
Suuremman hahmon pinta-ala on . $S_{b}=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n-1)$
Pienemmän hahmon pinta-ala on . $S_{s}=f(2)+f(3)+f(4)+...+f(n)$
Kaareva puolisuunnikkaan pinta -ala funktion kaavion alla on $S_{{tr}}=\int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx$
Saamme $S_{s}\leqslant S_{{tr}}\leqslant S_{b}\;\Rightarrow \;S_{n}-a_{1}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x )\,dx\leqslant S_{{n-1}}$
Edelleen se todistetaan etumerkkipositiivisten sarjojen konvergenssikriteerin avulla .

Täydellinen todiste

$\forall b>1$ $f(x)$ on monotoninen päällä , joten se on olemassa. ${\näyttötyyli [1,b]}$ $\int \limits _{1}^{b}f(x)dx$

$\forall x\in [n,n+1]$ $f(n)\geqslant f(x)\geqslant f(n+1)$ , Näin ollen

$\forall n\in \mathbb {N} \qquad$ $\int \limits _{n}^{n+1}f(n)dx=f(n)\geqslant \int \limits _{n}^{n+1}f(x)dx\geqslant f(n+1)$ .
Eli jos se lähentyy, niin sitten $\int \limits _{1}^{+\infty }f(x)\,dx$

$S_{n}-f(1)=f(2)+...+f(n)\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant \ int \limits _{1}^{+\infty }f(x)\,dx<+\infty$ .
Siksi se on rajoitettu. Ja koska se ei ole laskeva, se konvergoi. $S_{n}$

Jos se poikkeaa, eli silloin $\int \limits _{1}^{+\infty }f(x)\,dx$ $\lim _{n\to \infty }\int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx=+\infty$

$S_{n}=f(1)+...+f(n)\geqslant \int \limits _{1}^{n+1}f(x)\,dx\to +\infty ,$ joten sarja eroaa.

Lause on todistettu.

Esimerkkejä ("viitesarja")

Yleistetty harmoninen sarja konvergoi ja hajoaa klo , koska ${\displaystyle \sum {\frac {1}{n^{p))))$ $p>1$ $p\leqslant 1$

$\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}dx=\ln x|_{1}^{+\infty }=+\infty$ (tapaus ), $p=1$

$\int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{p}}}dx=\left.{\frac {1}{1-p}}x^ {1-p}\right|_{1}^{+\infty }={\frac {1}{p-1}}$ klo , $p>1$

$\int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{p}}}dx=\left.{\frac {1}{1-p}}x^ {1-p}\right|_{1}^{+\infty }=+\infty$ osoitteessa . $p<1$

$\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{x\ln ^{q}x))$ lähentyy ja hajoaa klo . Perustelut on otettava huomioon . $q>1$ $q\leqslant 1$ $\int \limits _{2}^{+\infty }{\frac {1}{x\ln ^{q}x}}dx$
Vertailun perusteella näihin sarjoihin perustuvat Raaben, Gaussin, Bertrandin ja joidenkin muiden merkit. "Referenssi"-sarjojen sarjaa voidaan jatkaa ja niiden pohjalta voidaan rakentaa yhä hienompien ominaisuuksien perhe hitaasti konvergoiville sarjoille.

Sarjan loppuosan arviointi

Integraali Cauchyn kriteeri antaa meille mahdollisuuden estimoida positiivisen merkkisarjan loppuosa . Todistuksessa saadusta lausekkeesta $r_{n}$

S_{n}-a_{1}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant S_{{n-1}}

Yksinkertaisten muunnosten avulla saamme:

\int \limits _{{n+1}}^{\infty }f(x)\,dx\leqslant r_{n}\leqslant \int \limits _{n}^{\infty }f(x)\ ,dx\leqslant a_{n}+\int \limits _{{n+1}}^{\infty }f(x)\,dx

Katso myös

Sarjojen lähentymisen merkkejä
Kaikille riveille	Tarpeellinen kunto Cauchyn kriteeri	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Merkkipositiivisille sarjoille	Pääkriteeri Vertailumerkki Kummerin merkki Gaussin merkki Cauchyn radikaali merkki Integroitu ominaisuus D'Alembertin merkki voiman merkki logaritminen merkki Raaben merkki Bertrandin merkki Jametin merkki Schlömilchin merkki Ermakovin merkki Lobatševskin merkki teleskooppinen merkki Sapogovin merkki
Vuorotteleville sarjoille	Leibnizin merkki
Lomakkeen riveille $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelin merkki Dedekindin merkki Dubois-Reymond merkki Dirichlet-merkki
Toiminnallisiin sarjoihin	Weierstrass-kyltti
Fourier -sarjaan	Dini merkki Vallée Poussinin merkki Jordanin merkki Jung merkki Salem merkki Lebesguen merkki Lebesgue-Gergen merkki Martsinkevitšin merkki