Lineaarinen toistuva sekvenssi

Lineaarinen toistuva sekvenssi ( lineaarinen toistuvuus ) on mikä tahansa numeerinen sarja , jonka määrittää lineaarinen toistuvuussuhde : $x_{0},x_{1},\dots$

{\displaystyle x_{n}=a_{1}\cdot x_{n-1}+\dots +a_{d}\cdot x_{nd))

kaikille

n\geqslant d

annetuilla alkutermeillä , joissa d on kiinteä luonnollinen luku , annetaan numeeriset kertoimet, . Tässä tapauksessa numeroa d kutsutaan sekvenssin järjestykseksi . ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{d-1))$ $a_{1},\pisteet ,a_{d}$ $a_{d}\neq 0$

Lineaarisia toistuvia sekvenssejä kutsutaan joskus myös toistuviksi sarjoiksi .

Lineaaristen toistuvien sekvenssien teoria on tarkka analogi vakiokertoimisten lineaaristen differentiaaliyhtälöiden teorialle .

Esimerkkejä

Lineaaristen toistuvien sekvenssien erityistapauksia ovat sekvenssit:

Lucas-sekvenssit tyydyttävät erityisesti: ${\displaystyle x_{n}=P\cdot x_{n-1}-Q\cdot x_{n-2))$
- aritmeettinen progressio ; ${\näyttötyyli (P,Q)=(2,1)}$
- geometrinen progressio ; $Q=0$
- Fibonacci- luvut ; ${\näyttötyyli (P,Q)=(1,-1)}$
- Lucas - numerot ; ${\näyttötyyli (P,Q)=(1,-1)}$
Tribonacci-luvut tyydyttävät . ${\displaystyle x_{n}=x_{n-1}+x_{n-2}+x_{n-3))$

Yleinen termi kaava

Lineaarisille toistuville sekvensseille on kaava, joka ilmaisee sekvenssin yhteisen termin sen ominaispolynomin juurina

\lambda ^{d}-a_{1}\lambda ^{d-1}-\dots -a_{d-1}\lambda -a_{d}.

Nimittäin yleinen termi ilmaistaan muodon sekvenssien lineaarisena yhdistelmänä $d$

x_{n}=\lambda _{k}^{n}\cdot n^{m},

jossa on ominaispolynomin juuri ja ei-negatiivinen kokonaisluku, joka on pienempi kuin . $\lambda_k$ $m$ $\lambda_k$

Fibonacci-luvuille tällainen kaava on Binet'n kaava .

Esimerkki

Löytääkseen kaavan sekvenssin yhteiselle termille, joka täyttää toisen asteen lineaarisen toistuvan yhtälön alkuarvoilla , tulee ratkaista ominaisyhtälö $F_{n}$ ${\displaystyle F_{n}=b\cdot F_{n-1}+c\cdot F_{n-2))$ $F_{1}$ $F_{2}$

q^{2}-bq-c=0

Jos yhtälössä on kaksi erilaista nollasta poikkeavaa juurta ja , niin mielivaltaisille vakioille ja , sekvenssi $q_{1}$ $q_{2}$ $A$ $B$

F_{n}=A\cdot q_{1}^{n}+B\cdot q_{2}^{n},

tyydyttää toistumissuhteen; on vielä löytää numerot ja se $A$ $B$

{\displaystyle F_{1}=A\cdot q_{1}+B\cdot q_{2))

ja .

F_{2}=A\cdot q_{1}^{2}+B\cdot q_{2}^{2}

Jos ominaisyhtälön diskriminantti on nolla ja siksi yhtälöllä on yksi juuri , niin mielivaltaisille vakioille ja sekvenssi $q_{1}$ $A$ $B$

{\displaystyle F_{n}=(A+B\cdot n)\cdot q_{1}^{n))

tyydyttää toistumissuhteen; on vielä löytää numerot ja se $A$ $B$

{\displaystyle F_{1}=(A+B)\cdot q_{1))

ja .

F_{2}=(A+B\cdot 2)\cdot q_{1}^{2}

Erityisesti seuraavan toisen asteen lineaarisen toistuvan yhtälön määrittelemälle sekvenssille

F_{n}=5\cdot F_{n-1}-6\cdot F_{n-2}

; , .

F_{1}=1

F_{2}=-2

ominaisyhtälön juuret ovat , . Siksi $q^{2}-5\cdot q+6=0$ $q_{1}=2$ $q_{2}=3$

F_{n}=-2\cdot (3^{n-1}-2^{n-1})-6\cdot (3^{n-2}-2^{n-2}) .

Lopuksi:

F_{n}=5\cdot 2^{n-1}-4\cdot 3^{n-1}.

Sovellukset

Lineaarisia toistuvia sekvenssejä jäännösrenkaiden yli käytetään perinteisesti pseudosatunnaislukujen luomiseen .

Historia

Lineaaristen toistuvien sekvenssien teorian perusteet antoivat 1700-luvun 20-luvulla Abraham de Moivre ja Daniel Bernoulli . Leonhard Euler selitti sen 13. luvussa Introduction to the Analysis of Infinitesimals (1748). [1] Myöhemmin Pafnuty Lvovich Chebyshev ja vielä myöhemmin Andrey Andreevich Markov esittelivät tämän teorian äärellisten erojen laskennan kursseilla. [2] [3]

Katso myös

Muistiinpanot

↑ L. Euler, Johdatus infinitesimaalien analyysiin, osa I, M. - L., 1936, s. 197–218
↑ P. L. Chebyshev, Todennäköisyysteoria, luennot 1879–1880, M. - L., 1936, s. 139–147
↑ A. A. Markov, Äärillisten erojen laskenta, 2. painos, Odessa, 1910, s. 209–239

Kirjallisuus

A. I. Markushevich . paluusekvenssit . - Rouva. Teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustantamo, 1950. - Vol. 1. - ( Suosittuja matematiikan luentoja ).
M. M. Gluhov, V. P. Elizarov, A. A. Nechaev. Luku XXV. Lineaariset toistuvat sekvenssit // Algebra. - Oppikirja. 2 osassa. - M . : Helios ARV, 2003. - T. 2. - ISBN 8-85438-072-2 .
A. Egorov. Pisot numerot // Kvant . - 2005. - Nro 5 . - S. 8-13 .
Chebrakov Yu. V. Luku 2.7. Toistuvat yhtälöt // Maagisten matriisien teoria. TMM-1:n julkaisu . - Pietari. , 2010.

Jaksot ja rivit
Jaksot	Numerosarja Perusjärjestys Lineaarinen toistuva sekvenssi Fibonaccin numerot kiharat numerot Factorial Barker-sekvenssi de bruijn sekvenssi
Rivit, perus	Rivin summa Loput rivistä Ehdollinen konvergenssi Vaihteleva sarja Rivien moniosa
Numerosarja ( operaatiot numerosarjoilla )	harmoninen sarja Leibniz-sarja Sarja käänteisiä neliöitä Käänteisten alkulukujen sarja Dirichlet rivi Mercator-sarja Rivi Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
toiminnallisia rivejä	Taylor-sarja Laurent-sarja Fourier-sarja Trigonometrinen Fourier-sarja trigonometrinen sarja Wiener-sarja
Muut rivityypit	Neumann-sarja Puiseux'n rivi