Aritmeettinen progressio on muodon numeerinen sarja
,eli numerosarja ( esiintymisen jäseniä ), jossa jokainen luku toisesta alkaen saadaan edellisestä lisäämällä siihen vakioluku ( askel tai etenemisero ):
Mikä tahansa ( n -:s) etenemisen termi voidaan laskea käyttämällä yleistä termikaavaa:
Aritmeettinen progressio on monotoninen sarja . Sillä , se kasvaa, ja , se vähenee. Jos , sekvenssi pysyy paikallaan. Nämä väitteet johtuvat aritmeettisen progression termien suhteesta .
Aritmeettisen progression jäsen numerolla löytyy kaavoilla
missä on progression ensimmäinen jäsen, on sen ero, on aritmeettisen etenemisen jäsen numerolla .Todiste |
---|
Suhteen avulla kirjoitamme peräkkäin useita etenemisen jäseniä, nimittäin:
Huomattuamme kuvion teemme oletuksen, että . Käyttämällä matemaattista induktiota osoitamme, että oletus on totta kaikille : Induktion perusta : - väite on totta. Induktiosiirto : Olkoon väitteemme totta , eli . Todistakaamme väitteen totuus :
Joten väite pätee myös . Tämä tarkoittaa, että kaikille . |
Sarja on aritmeettinen progressio mille tahansa sen elementille, jonka ehto täyttyy .
Todiste |
---|
Tarvitsetko :
Koska on aritmeettinen progressio, seuraavat suhteet pätevät:
. Lisäämällä nämä yhtäläisyydet ja jakamalla molemmat puolet kahdella, saamme . Riittävyys : Meillä on se jokaiselle sekvenssin elementille alkaen toisesta, . On osoitettava, että tämä sarja on aritmeettinen progressio. Muunnetaan tämä kaava muotoon . Koska suhteet ovat tosia kaikille , käytämme matemaattista induktiota osoittamaan sen . Induktion perusta : - väite on totta. Induktiosiirto : Olkoon väitteemme totta , eli . Todistakaamme väitteen totuus :
Mutta induktiivisen hypoteesin perusteella tästä seuraa, että . Me ymmärrämme sen Joten väite pätee myös . Tämä tarkoittaa, että . Merkitään nämä erot . Joten , ja siksi meillä on . Koska relaatio on tosi sekvenssin jäsenille , tämä on aritmeettinen progressio. |
Aritmeettisen progression ensimmäisten termien summa voidaan löytää kaavoilla
, jossa on etenemisen ensimmäinen termi, on termi numerolla , on summattujen termien lukumäärä. - missä - etenemisen ensimmäinen jäsen, - etenemisen toinen jäsen - jäsen, jonka numero on . , jossa on etenemisen ensimmäinen termi, on etenemisen erotus, on summattujen termien lukumäärä.Todiste |
---|
Kirjoitetaan summa kahdella tavalla:
- sama määrä, vain ehdot menevät päinvastaisessa järjestyksessä. Nyt lisäämme molemmat yhtäläisyydet lisäämällä peräkkäin oikealla puolella olevat termit, jotka ovat samalla pystysuoralla:
Osoitetaan, että tuloksena olevan summan kaikki termit (kaikki sulut) ovat yhtä suuret. Yleisesti ottaen jokainen termi voidaan ilmaista muodossa . Käytetään aritmeettisen progression yhteisen termin kaavaa:
Olemme havainneet, että jokainen termi ei riipu ja on yhtä suuri kuin . Erityisesti ,. Koska tällaisia termejä on olemassa
Kolmas summan kaava saadaan korvaamalla . Mikä seuraa jo suoraan yleisen termin lausekkeesta. Huomautus : Sen sijaan summan ensimmäisessä kaavassa voit ottaa minkä tahansa muun ehdon , koska ne ovat kaikki samanarvoisia keskenään. |
Aritmeettisen progression jäsenten summa, jossa on lukuja pisteestä - löytyy kaavojen avulla
, jossa on termi numerolla , on termi numerolla ja on summattujen termien määrä. , jossa on termi numerolla , on etenemisen erotus, on summattujen termien lukumäärä.Aritmeettinen eteneminen eroaa ja konvergoi klo . Ja
Todiste |
---|
Kirjoitettuamme lausekkeen yhteiselle termille ja tutkimalla rajaa saamme halutun tuloksen. |
Antaa olla aritmeettinen eteneminen erolla ja numerolla . Tällöin muodon sekvenssi on geometrinen progressio , jonka nimittäjä on .
Todiste |
---|
Tarkastetaan muodostetun geometrisen progression ominaisominaisuus:
Käytetään lauseketta aritmeettisen progression yhteiselle termille: Joten, koska ominaisominaisuus pätee, on geometrinen progressio. Sen nimittäjä löytyy esimerkiksi relaatiosta . |
Seuraus : Jos positiivisten lukujen sarja muodostaa geometrisen jakson, niin niiden logaritmien sarja muodostaa aritmeettisen jakson.
Toisen kertaluvun aritmeettinen progressio on sellainen lukujono, että niiden erojen sarja itse muodostaa yksinkertaisen aritmeettisen jakson. Esimerkki on luonnollisten lukujen neliöiden sarja :
1, 4, 9, 16, 25, 36, …joiden erot muodostavat yksinkertaisen aritmeettisen progression erolla 2:
3, 5, 7, 9, 11,…Kolmioluvut muodostavat myös toisen kertaluvun aritmeettisen jakson, niiden erot muodostavat yksinkertaisen aritmeettisen jakson
Tetraedriluvut muodostavat kolmannen kertaluvun aritmeettisen progression, niiden erot ovat kolmiolukuja.
Korkeampien asteiden eteneminen määritellään samalla tavalla. Erityisesti n: nnen potenssin sarja muodostaa n :nnen kertaluvun aritmeettisen jakson.
Jos on järjestyksen aritmeettinen progressio , niin on olemassa polynomi , joka kaikelle yhtälölle [1]
Jos tunnetaan aritmeettisen progression kaksi jäsentä ja niiden numerot siinä, niin eron löydät mm.
.Legendan mukaan nuoren Gaussin koulun matematiikan opettaja , pitääkseen lapset kiireisinä pitkään, kehotti heitä laskemaan lukujen summan yhdestä sataan. Gauss huomasi, että vastakkaisista päistä tulevat parisummat ovat samat: 1+100=101, 2+99=101 jne. jne., ja sain heti tuloksen: 5050. On todellakin helppo nähdä, että ratkaisu pelkistyy kaavaan
eli luonnollisen sarjan ensimmäisten lukujen summan kaavaan .
Sanakirjat ja tietosanakirjat |
|
---|---|
Bibliografisissa luetteloissa |