Mercator-sarja

Mercator-sarja (jota kutsutaan joskus Newton-Mercator-sarjaksi ) matemaattisessa analyysissä on Taylor-sarja luonnolliselle logaritmifunktiolle , jonka saksalainen matemaatikko Nicholas Mercator (Kaufmann) julkaisi ensimmäisen kerran tutkielmassa Logarithmotechnia (1668):

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{ 4}}{4}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}

Leibniz kutsui Mercatoria "ensimmäiseksi äärettömän sarjan keksijäksi" tämän löydön vuoksi; Ennen Mercatoria eurooppalaiset matemaatikot pitivät lähes yksinomaan numeerisia sarjoja , jotka eivät sisältäneet muuttujia. Mercatorista riippumatta tämän sarjan löysi Isaac Newton . Teoksessa " The Method of Fluxions and Infinite Series with its Application to the Geometry of Curves " (1671, julkaistiin postuumisti vuonna 1736) Newton ilmaisi hämmästyksensä siitä, ettei kukaan ennen Mercatoria kiinnittänyt huomiotaan periaatteiden kirjaimiin [muuttujiin]. äskettäin löydetystä desimaalimurto-opista, etenkin koska se avaa tien vaikeampiin ja tärkeämpiin löytöihin ” [1] .

Mercator-sarja myötävaikutti joukkojen kiinnostuksen nousuun äärettömien sarjojen käyttöön ja yleisen sarja- ja funktioteorian muodostumiseen. 1600-luvun loppuun mennessä tämä aihe laajeni merkittävästi ja muuttui matemaattiseksi analyysiksi [2] .

Mercator-sarja konvergoituu , vaikka konvergenssi on melko hidasta. Sillä sarja lähentyy täysin . $-1<x\leqslant 1,$ $|x|<1$

Historia

Vuonna 1647 Grégoire de Saint-Vincent löysi logaritmin ja hyperbelin alla olevan alueen välisen yhteyden (katso kuva). Vuonna 1650 italialainen matemaatikko Pietro Mengoli julkaisi geometristen näkökohtien perusteella tutkielmassa " Uudet aritmeettiset kvadratuurit " laajennuksen äärettömäksi sarjaksi [3] : $\ln 2$

\ln 2={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{5\cdot 6}}\dots

Vuonna 1657 englantilainen matemaatikko William Braunker julkaisi tämän kaavan itsenäisesti artikkelissaan " Hyperbolan neliöinti äärettömän rationaalisten lukujen sarjan avulla " [3] .

Vuonna 1668 Lontoossa asunut saksalainen matemaatikko Nicholas Mercator (Kaufmann) käsitteli tutkielmassa " Logarithmotechnia " ensimmäistä kertaa laajentamista sarjaksi, jossa ei ole numeroita, vaan funktioita [4] :

{\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+\pisteet

Sitten hän löysi alueet tämän jaottelun vasemman ja oikean osan alta ( integroi ne nykyaikaisin termein) ja sai "Mercator-sarjan", jonka hän kirjoitti arvoille ja . Mercator ei tutkinut sarjan lähentymistä, mutta heti Mercatorin työn julkaisun jälkeen John Wallis huomautti, että sarja sopii (negatiiviset luvut jätettiin silloin huomiotta). $x=0{,}1$ $x=0{,}21$ $0\leqslant x<1$

Kuten tieteen historioitsijat ovat havainneet, Newton johti saman sarjan vuonna 1665, mutta kuten tavallista, hän ei vaivautunut julkaisemaan [5] . Newtonin syvälliset tutkimukset äärettömien sarjojen alalla julkaistiin vasta vuonna 1711 tutkielmassa " Analyysi avulla yhtälöt äärettömällä määrällä termejä " [1] .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Mercator-sarja ei sovellu todellisiin laskelmiin, koska se konvergoi hyvin hitaasti ja rajoitetulla aikavälillä. Mutta jo Mercatorin julkaisuvuonna (1668) James Gregory ehdotti siitä muokattua versiota:

\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{ 5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\pisteet \oikea)

Tämä sarja konvergoi paljon nopeammin ja logaritminen lauseke voi jo edustaa mitä tahansa positiivista lukua , koska silloin itseisarvo on pienempi kuin yksi [5] . Esimerkiksi Mercator-sarjan 10 ensimmäisen ehdon summa on tässä yhtä suuri , vain ensimmäinen desimaali on oikein, kun taas Gregory-sarja antaa arvon , jossa 10 numerosta 13 on oikein [6] . $z={\frac {1+x}{1-x}}$ $x={\frac {z-1}{z+1))$ $\ln 2$ $0{,}646,$ $0{,}6931471805498,$

Monimutkaisella tasolla Mercator-sarja saa yleisen muodon:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}=z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots

Tämä on Taylor-sarja monimutkaiselle funktiolle, jossa symboli ln tarkoittaa kompleksisen luonnollisen logaritmin päähaaraa (pääarvoa) . Tämä sarja suppenee ympyrässä . $f(z)=-\ln(1-z),$ $|z|\leqslant 1,z\neq 1$

Muistiinpanot

↑ 1 2 Newton I. Matemaattiset teokset . - M. - L. : ONTI, 1937. - S. 3 -24, 25. - 452 s.
↑ Lukija matematiikan historiasta. Matemaattinen analyysi. Todennäköisyysteoria / Toim. A. P. Juskevitš . - M . : Koulutus, 1977. - S. 121. - 224 s.
↑ 1 2 Matematiikan historia, II osa, 1970 , s. 158.
↑ Matematiikan historia, osa II, 1970 , s. 158-161.
↑ 1 2 Matematiikan historia, II osa, 1970 , s. 162.
↑ Hairer E., Wanner G. Calculus historiansa valossa . - M . : Tieteellinen maailma, 2008. - S. 27 . — 396 s. - ISBN 978-5-89176-485-9 .

Kirjallisuus

1600-luvun matematiikka // Matematiikan historia / Toimittanut A. P. Yushkevich , kolmessa osassa. - M . : Nauka, 1970. - T. II.

Linkit

Abelson I. B. Mercator löytää avaimen // Logaritmien synty. - M. - L .: Gostekhizdat, 1948. - 231 s.
Weisstein, Eric W. Mercator Series (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Jaksot ja rivit
Jaksot	Numerosarja Perusjärjestys Lineaarinen toistuva sekvenssi Fibonaccin numerot kiharat numerot Factorial Barker-sekvenssi de bruijn sekvenssi
Rivit, perus	Rivin summa Loput rivistä Ehdollinen konvergenssi Vaihteleva sarja Rivien moniosa
Numerosarja ( operaatiot numerosarjoilla )	harmoninen sarja Leibniz-sarja Sarja käänteisiä neliöitä Käänteisten alkulukujen sarja Dirichlet rivi Mercator-sarja Rivi Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
toiminnallisia rivejä	Taylor-sarja Laurent-sarja Fourier-sarja Trigonometrinen Fourier-sarja trigonometrinen sarja Wiener-sarja
Muut rivityypit	Neumann-sarja Puiseux'n rivi