Antijohdannainen

Funktion antiderivaata (kutsutaan joskus antiderivaatiiviseksi tai primitiiviseksi funktioksi ) on funktio, jonka derivaatta on . Tämä on yksi tärkeimmistä todellisen muuttujan matemaattisen analyysin käsitteistä (tämä käsite on myös yleistetty monimutkaisille funktioille [1] ). $f(x)$ $f(x)$

Määritelmä

Tietyn funktion antiderivaataksi kutsutaan [2] sellaista funktiota, jonka derivaatta on (koko määritelmäalueen yli ), eli . Antiderivaatan löytäminen on käänteinen operaatio differentiaatiolle - jälkimmäinen löytää derivaatan tietyn funktion suhteen, ja kun antiderivaata on löydetty, me päinvastoin määritimme alkuperäisen funktion tietyllä derivaatalla. $f(x)$ $F(x)$ $f$ $f$ $F'(x)=f(x)$

Antijohdannaiset ovat tärkeitä, koska niiden avulla voit laskea tiettyjä integraaleja . Jos on integroitavan jatkuvan funktion antiderivaata , niin: $F$ $f$

\int\limits_a^bf(x)\, dx = F(b) - F(a).

Tätä suhdetta kutsutaan Newton-Leibnizin kaavaksi .

Teknisesti antiderivaatan löytäminen tarkoittaa määrittelemättömän integraalin laskemista , ja itse prosessia kutsutaan integraatioksi . Tämän teorian soveltamisesta geometriaan, katso integraalilaskenta . $f(x)$

Esimerkki: funktio on antiderivatiivinen koska $F(x)={\frac {x^{3}}{3}}$ $f(x)=x^{2},$ $F'(x)=f(x).$

Epäselvyys

If on antiderivaata arvolle , niin mikä tahansa funktio, joka saadaan lisäämällä vakio : on myös antiderivaata arvolle . Siten, jos funktiolla on antiderivaata, niin se sisältyy koko antiderivaattien perheeseen [2] , jota kutsutaan määrittelemättömäksi integraaliksi ja kirjoitetaan integraaliksi ilman rajoja: $F$ $f$ $F$ $G(x) = F(x) + C$ $f$ $F(x)+C,$ $f(x)$

\int f(x)\, dx

Päinvastoin on myös totta: jos on antiderivaata , ja funktio on määritelty jollain välillä , niin jokainen antiderivaata eroaa vakiosta: aina on olemassa luku , joka on sellainen, että kaikille . Tällaisten antiderivaatojen graafit ovat pystysuunnassa siirtyneet toisiinsa nähden ja niiden sijainti riippuu arvosta , jota kutsutaan integraatiovakioksi . $F$ $f$ $f$ $G$ $F$ $C$ $G(x) = F(x) + C$ $x$ $C.$ $C$

Esimerkiksi funktion antiderivaattien perheellä on muoto: , jossa on mikä tahansa luku. $x^{2}$ $F(x)={\frac {x^{3}}{3}}+C$ $C$

Jos funktion alue ei ole jatkuva väli, niin sen antiderivaatojen ei tarvitse erota vakiolla [3] . Joten esimerkiksi funktiota ei ole olemassa nollassa, joten sen määritelmäalue koostuu kahdesta intervallista: ja Näin ollen näille intervalleille saadaan kaksi riippumatonta antiderivaattien perhettä: , jossa on vakio kohdassa ja yleisesti ottaen toinen vakio osoitteessa : $f$ ${\displaystyle {\frac {1}{x^{2))))$ $x>0$ $x<0.$ $-{\frac {1}{x}}+{\hat {C}}$ ${\näyttötyyli {\hattu {C))}$ $x>0$ $x<0$

{\hat {C}}(x)=\left\{{\begin{aligned}C_{1},{\text{ if }}x<0\\C_{2},{\text{ if }}x>0\end{aligned}}\right.

Olemassaolo

Jokaisella jatkuvalla funktiolla on antiderivaata , joista yksi on esitetty integraalina muuttuvalla ylärajalla: $f$ $F$ $f$

F(x) = \int\limits_a^xf(t)\,dt.

On myös epäjatkuvia (epäjatkuvia) toimintoja, joilla on antiderivaatti. Esimerkiksi c ei ole jatkuva kohdassa , mutta sillä on antiderivaata . Epäjatkuville rajoitetuille funktioille on kätevää käyttää yleisempää Lebesgue -integraalia Riemannin integraalin sijaan . Välttämättömiä ehtoja antiderivaatan olemassaololle ovat, että funktio kuuluu ensimmäiseen Baire-luokkaan ja että Darboux-ominaisuus täyttyy sille [2] . $f(x) = 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$ $f(0) = 0$ $x=0$ $F(x) = x^2 sin\frac{1}{x}$ $F(0) = 0$ $f$

Monia antiderivaataita, vaikka ne ovat olemassa, ei voida ilmaista alkeisfunktioilla (eli polynomeilla , eksponentiaalisilla funktioilla , logaritmeilla , trigonometrisilla funktioilla , käänteistrigonometrisillä funktioilla ja näiden yhdistelmillä). Esimerkiksi:

\int e^{-x^2}\,dx,\qquad \int \frac{\sin(x)}{x}\,dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\, dx

Tällaisille funktioille niiden integraali, jos sellainen on, voidaan laskea likimääräisesti numeerisen integroinnin avulla .

Antijohdannaiset ominaisuudet

Funktioiden summan antiderivaata on yhtä suuri kuin termien antiderivaatojen summa.
Vakion ja funktion tulon antiderivaata on yhtä suuri kuin vakion ja funktion antiderivaata.
Kaikilla intervalleilla jatkuvilla funktioilla on sekä antiderivaatti että Riemannin integraali . Yleisessä tapauksessa antiderivaatin olemassaolo ja funktion integroitavuus eivät kuitenkaan liity toisiinsa [4] :
- Etumerkkifunktio (sgn) on Riemannin integroitavissa, mutta sillä ei ole antiderivaattia (nollan epäjatkuvuuden takia).
- Funktiolla (oletetaan myös ) on äärellinen derivaatta segmentissä , joten funktiolla on antiderivaata (nimittäin, ), mutta se ei ole rajoittunut eikä siksi ole Riemannin integroitavissa. ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2))))$ $f(0) = 0$ $[-1,1]$ $g(x);$ $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ $[-1,1]$

Integrointitekniikka

Antijohdannaisten löytäminen on paljon vaikeampaa kuin johdannaisten löytäminen. Tätä varten on useita menetelmiä:

integroinnin lineaarisuus mahdollistaa monimutkaisten integraalien jakamisen osiin,
substituutiointegrointi , jota käytetään usein yhdessä trigonometristen identiteettien tai luonnollisen logaritmin kanssa ,
osien integrointi toimintojen tuotteiden kanssa tapahtuvaa toimintaa varten,
käänteisen ketjun menetelmä , osien integroinnin erikoistapaus,
rationaalisten murtolukujen integrointimenetelmän avulla voit integroida kaikki rationaaliset funktiot (murtoluvut, joissa on polynomeja osoittajassa ja nimittäjässä),
Risch -algoritmi - algoritmi minkä tahansa perusfunktion integroimiseksi,
jotkin integraalit löytyvät taulukoista, katso Kategoria:Integraaliluettelot .
useita kertoja integroitaessa voidaan käyttää lisätekniikkaa, katso esimerkiksi kaksoisintegraali ja polaarikoordinaatit , Jacobian ja Stokesin lause .
Tietokonealgebrajärjestelmät auttavat automatisoimaan joitain yllä olevista symbolisista operaatioista (erityisesti Risch-algoritmista), mikä on erittäin kätevää, kun algebralliset laskelmat ovat liian hankalia.

Muistiinpanot

↑ Monimutkaisten muuttujien funktioiden antiderivaata . Haettu 7. toukokuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 7. toukokuuta 2019. (määrätön)
↑ 1 2 3 Antiderivative //Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1984. - T. 4. - S. 237.
↑ Shibinsky, 2007 , s. 139-140.
↑ Gelbaum, B., Olmsted, J. Counterexamples in Analysis = Counterexamples in Analysis. - M. : LKI, 2007. - S. 57, 51. - 258 s. — ISBN 978-5-382-00046-6 .

Kirjallisuus

Vygodsky M. Ya. Korkeamman matematiikan käsikirja. - 12. painos - M. : Nauka, 1977. - 872 s.
Fikhtengol'ts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi kolmessa osassa. - Toim. 6. - M. : Nauka, 1966. - T. 2. - 800 s.
Shibinsky VM Esimerkkejä ja vastaesimerkkejä matemaattisen analyysin aikana. Opastus. - M . : Higher School, 2007. - 543 s. - ISBN 978-5-06-005774-4 .

Linkit

Wolfram Integrator - integraalien laskeminen verkossa Mathematican avulla
Matemaattinen apulainen verkossa - Symbolic Computing Online Arkistoitu 1. joulukuuta 2008 Wayback Machinessa
Online Integrals Calculator Arkistoitu 6. tammikuuta 2010 Wayback Machinessa