Epämääräinen integraali

Epämääräinen integraali funktiolle on joukko tietyn funktion kaikista antiderivaataista [1] . $f(x)$

Jos funktio on määritelty ja jatkuva välissä ja on sen antiderivaatti, eli for , niin $f(x)$ $(a, b)$ $F(x)$ $F'(x)=f(x)$ $a<x<b$

\int f(x)dx=F(x)+C,

a<x<b

jossa C on mielivaltainen vakio .

Epämääräisen integraalin pääominaisuudet on esitetty alla.

d\left(\int f(x)dx\right)=f(x)dx

\int d(F(x))=F(x)+C

\int a\cdot f(x)dx=a\cdot \int f(x)dx,a\neq 0

\int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx

Jos , Sitten ja , Missä on mielivaltainen funktio, jolla on jatkuva derivaatta

\int f(x)dx=F(x)+C

\int f(u)du=F(u)+C

u=\varphi (x)

Yhteenveto eromerkin alle

Kun lasketaan erotusmerkin alle, käytetään seuraavia ominaisuuksia:

du=d(u+C)

du={1 \over a}d(au)

f'(u)\cdot du=d(f(u))

Integroinnin perusmenetelmät

1. Menetelmä uuden argumentin esittämiseksi. Jos

\int g(x)dx=G(x)+C,

sitten

\int g(u)du=G(u)+C,

missä on jatkuvasti differentioituva funktio. $u=\varphi (x)$

2. Hajotusmenetelmä. Jos

g(x)=g_{1}(x)+g_{2}(x),

sitten

\int g(x)dx=\int g_{1}(x)dx+\int g_{2}(x)dx.

3. Korvausmenetelmä. Jos on jatkuva, niin asetus $g(x)$

x=\varphi (t),

jossa on jatkuva yhdessä sen derivaatan kanssa , saamme $\varphi (t)$ $\varphi '(t)$

\int g(x)dx=\int g(\varphi (t))\varphi '(t)dt.

4. Integrointimenetelmä osien mukaan . Jos ja ovat jotkin erotettavissa olevat toiminnot , Sitten $u$ $v$ $x$

\int udv=uv-\int vdu.

Taulukko epämääräisistä perusintegraaleista

\int 0\cdot dx=C;

\int 1\cdot dx=x+C;

\int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C

(n\neq -1);

\int {\frac {1}{x}}dx=\ln \mid x\mid +C;

\int e^{x}dx=e^{x}+C;

\int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,

(a>0,a\neq 1);

\int \cos x\,dx=\sin x+C;

\int \sin x\,dx=-\cos x+C;

\int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\mathrm {tg} \,x+C;

\int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=-\mathrm {ctg} \,x+C;

\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2))))=\arcsin x+C_{1}=-\arccos x+C_{2}\quad (C_{2) }={\frac {\pi }{2}}+C_{1});

\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\mathrm {arctg} \,x+C;

\int \mathrm {ch} \,xdx=\mathrm {sh} \,x+C;

\int \mathrm {sh} \,xdx=\mathrm {ch} \,x+C;

Vasemmalla kussakin yhtälössä on mielivaltainen (mutta määrätty) antiderivatiivinen funktio vastaavalle integrandille, oikealla - yksi spesifinen antiderivaata, johon lisätään vakio siten, että näiden funktioiden välinen yhtäläisyys täyttyy. $C$

Näiden kaavojen primitiivifunktiot ovat määriteltyjä ja jatkuvia niillä aikaväleillä, joilla vastaavat integrandit on määritelty ja jatkuvat. Tämä kuvio ei ole sattumanvarainen: kuten edellä todettiin, jokaisella intervallin jatkuvalla funktiolla on jatkuva antiderivaata.

Katso myös

antijohdannainen
Varma integraali
Analyysin päälause
Integroitu merkki
Integraalilaskenta
Numeerinen integrointi
Integrointimenetelmät
Luettelo alkeisfunktioiden integraaleista
Integraalien taulukko

Muistiinpanot

↑ Suuri venäläinen tietosanakirja : [35 nidettä] / ch. toim. Yu. S. Osipov . - M . : Suuri venäläinen tietosanakirja, 2004-2017.

Kirjallisuus

Nikolsky SM Luku 9. Riemannin määrätty integraali // Matemaattisen analyysin kurssi. - 1990. - T. 1.
Ilyin V. A., Poznyak, E. G. Luku 6. Indefinite integraali // Matemaattisen analyysin perusteet. - 1998. - V. 1. - (Korkeamman matematiikan ja matemaattisen fysiikan kurssi).

Demidovich B.P. Osasto 3. Indefinite integraali // Matemaattisen analyysin tehtävien ja harjoitusten kokoelma. - 1990. - (Korkeamman matematiikan ja matemaattisen fysiikan kurssi).

Linkit

Weisstein, Eric W. Integral (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Wolfram Integrator - integraalien laskeminen verkossa Mathematican avulla
Online Integrals Calculator Arkistoitu 6. tammikuuta 2010 Wayback Machinessa
Integroitu online-laskin, jossa on yksityiskohtainen vaiheittainen ratkaisu venäjäksi Arkistoitu 29. huhtikuuta 2014 Wayback Machinessa
Integral - artikkeli Suuresta Neuvostoliitosta Encyclopediasta .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	NKC : ph123268

Integraalilaskenta

Main

Riemannin integraalin yleistykset

Integraalit
muunnokset

Numeerinen
integrointi

mittateoria

liittyvät aiheet

Listat integraaleista