Gaussin menetelmä (numeerinen integrointi)

Gauss- menetelmä on numeerinen integrointimenetelmä , jonka avulla voidaan lisätä interpolointikaavoihin perustuvien menetelmien tarkkuuden algebrallista järjestystä erityisellä integrointisolmuvalikoimalla lisäämättä käytetyn integrandin arvojen määrää. Gaussin menetelmä mahdollistaa maksimaalisen algebrallisen tarkkuuden saavuttamisen tietylle määrälle integrointisolmuja.

Esimerkiksi kahdelle solmulle voit saada 3. asteen tarkkuusmenetelmän

I\approx {\frac {ba}{2}}\left(f\left({\frac {a+b}{2}}-{\frac {ba}{2{\sqrt {3} ))}\right)+f\left({\frac {a+b}{2}}+{\frac {ba}{2{\sqrt {3}}}}\right)\right)\,

kun taas 2. asteen yläpuolella olevan menetelmän yhtä kaukana olevista solmuista on mahdotonta saada. Yleensä pisteitä käyttämällä voit saada menetelmän, jonka tarkkuus on järjestyksessä . Gaussin menetelmän solmuarvot pisteiden mukaan ovat Legendren astepolynomin juuret . Painoarvot lasketaan kaavalla , jossa on Legendren polynomin ensimmäinen derivaatta . $n$ $2n-1$ $n$ $n$ ${\displaystyle a_{i}={\frac {2}{(1-x_{i}^{2})\,[P_{n}'(x_{i})]^{2))))$ $P_{n}'$

Solmujen ja painojen arvot ovat seuraavat: , painot : . $n = 3$ $x_{1,3}=\pm {\sqrt {0.6)),x_{2}=0$ $a_{1,3}={\frac {5}{9)),a_{2}={\frac {8}{9}}$

(Polynomi on määritelty segmentissä ). $[-1,1]$

Tunnetuin on Gaussin viiden pisteen menetelmä.

Gauss-Kronrodin menetelmä

Gaussin menetelmän haittana on, että sillä ei ole helppoa (laskennallisesti) tapaa arvioida integraalin saadun arvon virhettä. Runge-säännön käyttö integrointisegmentin jakamisessa edellyttää integrandin laskemista suunnilleen samassa määrässä pisteitä, mutta ei anna lähes mitään tarkkuutta, toisin kuin yksinkertaisissa menetelmissä, joissa tarkkuus kasvaa useita kertoja jokaisen uuden jaon yhteydessä. Kronrod ehdotti seuraavaa menetelmää integraalin arvon arvioimiseksi

I\noin \sum _{{i=1}}^{{n}}a_{i}\,f(x_{i})+\sum _{{i=1}}^{{n+1} }b_{i}\,f(y_{i})

missä ovat Gaussin menetelmän solmut pisteittäin ja parametrit , , valitaan siten, että menetelmän tarkkuus on yhtä suuri kuin . Sitten voit arvioida virheen käyttämällä empiiristä kaavaa : $x_{i}$ $n$ $3n+2$ $a_{i}$ $b_{i}$ $y_{i}$ $3n+1$

\Delta =\left(200|I-I_{G}|\right)^{{1.5}}

missä on Gaussin menetelmällä saadun integraalin likimääräinen arvo pisteiden yli. Gsl- ja SLATEC-kirjastot määrällisten integraalien laskemiseen sisältävät rutiineja Gauss-Kronrodin menetelmällä 15, 21, 31, 41, 51 ja 61 pisteelle. $minä_{G}$ $n$

Katso myös

Kirjallisuus

Boltachev G.Sh. Numeeriset menetelmät lämpöfysiikassa. Luentokurssi Luento 3: Numeerinen integrointi

Integraalilaskenta

Main

Riemannin integraalin yleistykset

Integraalit
muunnokset

Numeerinen
integrointi

mittateoria

liittyvät aiheet

Listat integraaleista