Abel-integraalimuunnos

Abel - integraalimuunnos on muunnos, jota käytetään usein pallomaisesti tai sylinterimäisesti symmetristen funktioiden analysoinnissa . Nimetty norjalaisen matemaatikon N. H. Abelin mukaan . Funktiolle, Abel-muunnos annetaan yhtälöllä $f(r)$

F(y)=2\int \limits _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2} }}}.

Jos funktio putoaa nopeammin kuin , voit laskea käänteisen Abel-muunnoksen: $f(r)$ $r$ $1/r$

f(r)=-{\frac {1}{\pi }}\int \limits _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}\,{\frac {dy }{\sqrt {y^{2}-r^{2)))).

Kuvankäsittelyssä Abel-muunnoksia käytetään symmetrisen, optisesti ohuen emissiofunktion projisoimiseen tasolle. Käänteismuunnolla palautetaan funktio sen projektiosta (esim. valokuvat).

Geometrinen tulkinta

Abel-muunnosta kaksiulotteisessa tapauksessa voidaan pitää akselisymmetrisen funktion projektiota pitkin yhdensuuntaisia viivoja, jotka kulkevat etäisyyden päässä akselista. Oikealla olevan kuvan mukaan tarkkailija (I) näkee arvon $F(y)$ $f(r)$ $y$

F(y)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(r)\,dx,

missä on akselisymmetrinen funktio, joka näkyy kuvassa harmaalla värillä. Oletetaan, että havainnoija on paikassa ja siten integroinnin rajat ovat yhtä suuria kuin . Kaikki havaintolinjat ovat yhdensuuntaisia akselin kanssa . $f(r)$ $x=\infty ,$ $\pm\infty$ $x$

Huomaa, että säde liittyy ja kuten , saamme sen $r$ $x$ $y$ ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2))$

dx={\frac {r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2)))).

Koska muuttuja ei muuta etumerkkiä integroinnin aikana , integrandi (sekä lauseke ) on parillinen funktio . Siksi voi kirjoittaa $r$ $f(r)$ $dx$

\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(r)\,dx=2\int \limits _{0}^{\infty }f(r)\,dx.

Muuttujan korvaaminen muuttujalla antaa Abelin muunnoskaavan: $x$ $r$

F(y)=2\int \limits _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2} }}}.

Abel-muunnos voidaan yleistää useampaan ulottuvuuteen. Kolmen ulottuvuuden tapaus on erityisen mielenkiintoinen. Kun kyseessä on akselisymmetrinen funktio , jossa on säde sylinterimäisinä koordinaatteina , funktio voidaan projisoida akselin suuntaiselle tasolle . Yleisyyttä menettämättä voidaan ottaa taso, joka on yhdensuuntainen tason kanssa . Jossa $f(\rho ,z)$ $\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}$ $z$ $yz$

F(y,z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\rho ,z)\,dx=\int \limits _{y}^{\infty }{ \frac {f(\rho ,z)\rho \,d\rho }{\sqrt {\rho ^{2}-y^{2)))),

joka on Abel-muunnos muuttujille ja . $f(\rho ,z)$ $\rho$ $y$

Aksiaalisymmetrian erikoistapaus on pallosymmetria . Tässä tapauksessa on funktio , jossa . $f(r)$ ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2))$

Projektio tasolle on pyöreä symmetria, joka voidaan kirjoittaa muodossa , jossa . Integroimalla saamme $yz$ $F(s)$ $s^{2}=y^{2}+z^{2}$

F(s)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(r)\,dx=\int \limits _{s}^{\infty }{\frac {f( r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-s^{2))))),

joka on jälleen Abel-muunnos muuttujille ja . $f(r)$ $r$ $s$

Suhde muihin muunnoksiin

Abel-muunnos on ns. Fourier-Hankel-Abel-syklin jäsen. Esimerkiksi kahden ulottuvuuden tapauksessa, jos sitä merkitään Abel-muunnolla, Fourier - muunnolla ja nollakertaisen Hankel-muunnoksena , niin funktioille, joilla on ympyräsymmetria, yhtälö $A$ $F$ $H$

FA=H,

eli jos käytät ensin Abel-muunnosta yksiulotteiseen funktioon ja sitten Fourier-muunnos, niin tulos on sama kuin Hankel-muunnoksen soveltamisen jälkeen funktioon.

Integraalit muunnokset
Abel muunnos Bessel muuntuu Bushmanin muunnos Gegenbauerin muunnos Hilbertin muunnos Kontorovich-Lebedev muunnos Laplace-muunnos Meyerin muunnos Mehler-Fockin muunnos Mellinin muunnos Nerain muunnos Radonin muutos Stieltjes muunnos Fourier-muunnos Hankelin muunnos Hartley muunnos