Stokastinen integraali

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 13. tammikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 8 muokkausta .

Stokastinen integraali on muodon integraali , jossa on satunnainen prosessi riippumattomilla normaaliinkrementeillä. Stokastisia integraaleja käytetään laajalti stokastisissa differentiaaliyhtälöissä . Stokastista integraalia ei voida laskea kuten tavallista Stieltjesin integraalia [1] . $\int f(t)dy(t)$ ${y(t),t\in T}$

Deterministisen funktion stokastinen integraali

Otetaan käyttöön satunnaismuuttujien Hilbert-avaruus , skalaaritulolla ja neliönormilla . Tässä - tarkoittaa odotettua arvoa. Hilbert-avaruuden puitteissa voidaan kuvata satunnaismuuttujien tärkeimmät ominaisuudet, kuten ehdolliset matemaattiset odotukset, ehdolliset todennäköisyydet jne. [2] $H$ $\xi$ $\mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty$ ${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2})=\mathbb {E} \xi _{1}{\bar {\xi _{2))))$ ${\displaystyle \left\|\xi _{1}\right\|=\left(\mathbb {E} \left|\xi \right|^{2}\oikea)^{1/2))$ ${\mathbb {E}}$

Olkoon todellisen suoran äärellinen tai ääretön segmentti ja sen muodon puolivälissä annetaan stokastinen additiivinen funktio , jolla on ortogonaaliset arvot satunnaismuuttujien Hilbert-avaruudesta , jolla on ominaisuudet: $T$ $\Delta =\left(s,t\right]\subseteq T$ $\eta (\Delta )$ $H$ $\xi$ $\mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty$

Jokaiselle disjointille , suureet , ovat ortogonaalisia, eli niiden skalaaritulo Hilbert-avaruudessa on yhtä suuri kuin nolla: $\Delta _{1}$ $\Delta _{2}$ $\eta (\Delta _{1})$ $\eta (\Delta _{2})$ $\left(\eta (\Delta _{1}),\eta (\Delta _{2})\right)=0$
Jos , Ovat ei-leikkaavat puolivälit ja muodostavat puolivälin, sitten $\eta (\Delta _{1})$ $\eta (\Delta _{2})$ $\eta (\Delta _{1})\cup \eta (\Delta _{2})$ $\eta (\Delta _{1})\cup \eta (\Delta _{2})=\eta (\Delta _{1})+\eta (\Delta _{2})$
$\left\|\eta (\Delta )\right\|^{2}=\left|\Delta \right|$ . Tässä on normi Hilbert-avaruudessa , . $\left\|\right\|$ $\left|\Delta \right|=ts$ $\Delta =\left(s,t\right]$

Olkoon deterministinen funktio, joka täyttää ehdon . Tarkastellaan sarjaa paloittain vakiofunktioita , jotka approksimoivat funktiota siten, että , $\varphi (t)$ $\int _{T}\left|\varphi (t)\right|^{2}dt<\infty$ $\varphi _{n}(t)$ $\varphi (t)$ $\lim _{n\to \infty }\int _{T}\left|\varphi (t)-\varphi _{n}(t)\right|^{2}dt\to 0$

Deterministisen funktion stokastinen integraali on raja [3] $\int _{T}\varphi (t)\eta (dt)$ $\varphi (t)$ $\int _{T}\varphi (t)\eta (dt)=\lim _{n\to \infty }\int _{T}\varphi _{n}(t)\eta (dt)$

Stokastisen prosessin stokastinen integraali

Harkitse integraalia

\int _{0}^{T}\omega (t)d\omega (t),

missä on Wiener-prosessi yksikködispersioparametrilla. Jaamme intervallin pisteillä osaintervalleiksi . Käyttämällä edellistä deterministisen funktion integraalin määritelmää, stokastinen integraali voidaan määritellä jommallakummalla kahdesta lausekkeesta [4] : ${\omega (t),t\in T}$ $[0; T]$ $0=t_{1},t_{2},...,t_{N},t_{{N+1}}=T$ $N$

I_{0}=\lim \sum _{{i=1}}^{{N}}\omega (t_{i})[\omega (t_{{i+1}})-\omega (t_{ i})]

tai

I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}\omega (t_{i+1})[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i })].

Nämä integraalit eivät ole yhtä suuret, koska Wiener-prosessin määritelmän mukaan [5]

I_{1}-I_{0}=\lim \sum _{i=1}^{N}[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})]^{ 2}=t.

Yleistetty stokastinen integraali voidaan määritellä parametreilla painotettuna integraalien summana ja seuraavalla kaavalla [5] : $\lambda$ $I_0$ $I_1$

I_{\lambda }=(1-\lambda )I_{0}+\lambda I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}[(1-\lambda )\omega (t_{i})+\lambda \omega (t_{i+1})][\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})],

osoitteessa . Integraali vastaa Itô-integraalia ja on sama kuin Stratonovich-integraali. $0\leqslant \lambda \leqslant 1$ $I_0$ $minä_{{0,5}}$

Stratonovich-integraali

Stratonovich-integraalilla on muoto [6]

I=\lim _{N\to \infty }{\dfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}[f(t_{i})+f(t_{ i+1})][y(t_{i+1})-y(t_{i})].

Itô integraali

Itô-integraalilla on muoto [5]

\int f(t)dy(t)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}f(t_{i})[y(t_{i+ 1 })-y(t_{i})].

Sen tärkeimmät ominaisuudet [5] :

$E\int f(t)dy(t)=\int {Ef(t)}dm(t).$
$cov\left[\int f(t)dy(t),\int g(t)dy(t)\right]=\int [Ef(t)g(t)]dr(t).$

Tässä on keskiarvon funktio ja kovarianssifunktio . $m(t)$ $r(t)$

Wiener-integraali

Annetaan kullekin yksiulotteisen Wiener-prosessin liikeradalle tietty luku . Sitten tämä liikerata voidaan kuvata stokastisen funktion avulla . Lomakkeen integraali $\alpha$ $x(t,\alpha )$

\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )

kutsutaan Wienerin stokastiseksi integraaliksi. Tämä integraali lasketaan integroimalla osien mukaan ottaen huomioon yhtäläisyys [7] : $x(0,\alpha )=0$

\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=f(1)x(1,\alpha )-\int \limits _{0}^{1 }f'(t)x(t,\alpha )dt.

Sen tärkeimmät ominaisuudet:

\int \limits _{0}^{1}d\alpha \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=0

[8] .

\int \limits _{0}^{1}d\alpha \left[\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )\right]^{2 }=\int \limits _{0}^{1}f^{2}(t)dt

[9] .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Ostrom, 1973 , s. 68.
↑ Rozanov, 1982 , s. 57.
↑ Rozanov, 1982 , s. 64.
↑ Ostrom, 1973 , s. 70.
↑ 1 2 3 4 Ostrom, 1973 , s. 71.
↑ Ostrom, 1973 , s. 72.
↑ Wiener, 1961 , s. kaksikymmentä.
↑ Wiener, 1961 , s. 21.
↑ Wiener, 1961 , s. 24.

Kirjallisuus

Ostrom, K. Yu. Johdatus stokastiseen ohjausteoriaan / käännös. englannista. S. A. Anisismov, N. E. Arutyunova, A. L. Bunich; toim. N. S. Raibman. - M .: Mir , 1973.
Wiener, N. Epälineaariset ongelmat satunnaisprosessien teoriassa. -M .:Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo, 1961.
Yu.A. Rozanov . Johdatus satunnaisprosessien teoriaan. - M .: Nauka, 1982. - 128 s.

Integraalilaskenta

Main

Riemannin integraalin yleistykset

Integraalit
muunnokset

Numeerinen
integrointi

mittateoria

liittyvät aiheet

Listat integraaleista