Ito stokastinen laskenta

Itôn laskenta on matemaattinen teoria, joka yleistää matemaattisen analyysin menetelmiä, joita voidaan soveltaa satunnaisiin prosesseihin , kuten Brownin liikkeeseen (katso myös Wiener-prosessi ). Nimetty luojan, japanilaisen matemaatikon Kiyoshi Iton mukaan . Käytetään usein talousmatematiikassa ja stokastisten differentiaaliyhtälöiden teoriassa . Tämän teorian keskeinen käsite on Itô-integraali :

Y_{t}=\int \limits _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},

missä on paikallisesti neliöintegroitava prosessi ${\displaystyle H_{s))$ ja mukautettuprosessin tuottaman suodatuksen alaisena , mikä puolestaan on Brownin liikettä tai yleisemmin sanottuna puolimartingaali ${\näyttötyyli X_{s))$ [1] . Voidaan osoittaa, että integraalilaskennan standardimenetelmät eivät sovellu Brownin liikkeen liikeradalle. Erityisesti Brownin liike ei ole differentioituva funktio missään liikeradan pisteessä ja sillä on ääretön vaihtelu minkä tahansa aikavälin aikana. Siten Itô-integraalia ei voida määritellä Riemann-Stieltjes-integraalin merkityksessä . Itô-integraali voidaan kuitenkin määritellä oikein, jos integrandi onmukautettu prosessi, eli sen arvo ajankohtanariippuu vain siihen hetkeen mennessä saatavilla olevista tiedoista. ${\displaystyle H_{s))$ $t$

Osakkeiden ja muiden rahoitusvarojen arvon käyttäytymistä voidaan mallintaa stokastisilla prosesseilla, kuten Brownin liikkeellä tai yleisemmin käytetyllä geometrisella Brownin liikkeellä (katso myös Black-Scholes malli ). Tässä tapauksessa Ito-stokastinen integraali edustaa voittoa aikajatkuvasta markkinastrategiasta, jossa markkinaosapuolella on tällä hetkellä arvopapereita. Tällaisessa tilanteessa prosessin sopeutuvuuden ehto vastaa mallin tarpeellista rajoitusta, joka koostuu siitä, että markkinastrategia kulloinkin voi perustua vain sillä hetkellä saatavilla olevaan tietoon. Tämä ehto estää rajattoman voiton ansaitsemisen erittäin usein käymällä kaupankäynnillä, ostamalla osakkeita ennen jokaista arvonnousua ja myymästä niitä ennen jokaista laskua. Lisäksi integrandin sopeutumisehto varmistaa stokastisen integraalin määrittelyn oikeellisuuden Riemannin summien rajana [1] . $t$ $H_t$ $H$

Esimerkkejä Itôn teorian tärkeistä tuloksista ovat osa-integrointikaava ja Itôn kaava (muuttujakaavan muutos integraalissa). Nämä kaavat eroavat klassisista analyysikaavoista siinä, että niissä on kvadraattista vaihtelua vastaavia termejä.

Merkintä

Yllä määritelty prosessiintegraali suhteessa prosessiin , yhtä suuri kuin $Y$ $H$ $X$

Y_{t}=\int \limits _{0}^{t}H\,dX\equiv \int \limits _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},

on myös ajasta riippuva stokastinen prosessi, joka joskus kirjoitetaan [2] . $t$ $H\cdot X$

Vaihtoehtoinen tapa kirjoittaa integraali on differentiaalimuoto ja sen vastine . $Y$ $dY=HdX$ $Y-Y_{0}=H\cdot X$

Koska Itôn laskenta tutkii jatkuvia stokastisia prosesseja, oletetaan, että suodatettu todennäköisyysavaruus on määritelty:

(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} )

σ-algebra symboloi ajanhetkeen asti saatavilla olevaa tietoa . Prosessi on sovitettu, jos se on mitattavissa tietyssä σ-algebrassa. Brownin liike ymmärretään tässä tapauksessa -Browniksi, eli standardi Brownin liikkeeksi, joka on mitattavissa ja joka ei riipu millään [3] . ${\mathcal {F}}_{t}$ $t$ $X$ $X_{t}$ $B$ ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\näyttötyyli B_{t+s}-B_{t))$ ${\mathcal {F}}_{t}$ $s,t\geqslant 0$

Integrointi Brownin liikkeen suhteen

Analogisesti Riemann-Stieltjesin integraalin kanssa Itô-integraali voidaan määritellä Riemannin summien todennäköisyyden rajaksi . Tällaista rajaa ei ole olemassa millekään liikeradalle.

Olkoon Wiener-prosessi ja olkoon vasemmalle jatkuva, mukautettu ja paikallisesti rajattu satunnainen prosessi. Jos on välin osioiden sarja , joka paksunee , niin Itô-integraali suhteellisesti aikaan on satunnaismuuttuja, joka on yhtä suuri kuin $B$ $H$ ${\displaystyle \left\lbrace \pi _{n}\right\rbrace _{n\in \mathbb {N} ))$ ${\näyttötyyli [0,t]}$ $n$ $H$ $B$ $t$

\int \limits _{{0}}^{{t}}H\,dB=\lim _{{n\rightarrow \infty }}\sum _{{t_{{i-1}},t_{i }\in \pi _{n}}}}H_{{t_{{i-1}}}}(B_{{t_{i}}}-B_{{t_{{i-1}}}}) ,

jossa raja otetaan todennäköisyydellä. Voidaan osoittaa, että tämä raja on olemassa, eli määritelmä on oikea.

Joissakin sovelluksissa (esimerkiksi martingaalin esityslauseessaja paikallisen ajan määrittäminen) on tarpeen laskea integraalit epäjatkuvista prosesseista. Monet ennustettavat prosessiton pienin prosessiperhe, joka on suljettu sekvenssin rajan ottamisen yhteydessä ja sisältää kaikki mukautetut prosessit, jotka jätetään jatkuviksi. Jos on ennustettavissa oleva prosessi, joka ei ole negatiivinen $H$ $t$

\int \limits _{0}^{t}H^{2}\,ds<\infty ,

silloin on mahdollista määritellä integraali suhteessa ja tässä tapauksessa sitä kutsutaan -integroitavaksi. Mikä tahansa tällainen prosessi voidaan approksimoida mukautettujen, vasemmalle jatkuvien ja paikallisesti rajattujen prosessien sekvenssillä siinä mielessä, että $H$ $B$ $H$ $B$ $H n$

\int \limits _{0}^{t}(H-H_{n})^{2}\,ds\rightarrow 0

todennäköisyydellä. Silloin Itô-integraali on yhtä suuri kuin

\int \limits _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\int \limits _{0}^{t}H_{n}\,dB

jossa raja otetaan todennäköisyydellä. Voidaan osoittaa, että tämä raja on olemassa, eli määritelmä on oikea.

Näin määritelty stokastinen integraali täyttää Itô-isometrianeli tasa-arvoa

\mathbb {E} \left[\left(\int _{0}^{t}H_{s}\,dB_{s}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\oikea]

mille tahansa rajoitetulle prosessille tai yleisemmin, kun yhtälön oikealla puolella oleva integraali on äärellinen. $H$

Ito process

Itô-prosessi on mukautettu stokastinen prosessi, joka voidaan esittää integraalin summana Brownin liikkeen suhteen ja integraalin summana ajan suhteen:

X_{t}=X_{0}+\int \limits _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int \limits _{0}^{t}\mu _ {s}\,ds.

Tässä on Brownin liike, on ennustettava -integroitava prosessi, ja se on ennustettava ja Lebesguen integroitava prosessi, ts . $B$ $\sigma$ $B$ $\mu$

\int \limits _{0}^{t}(\sigma _{s}^{2}+|\mu _{s}|)\,ds<\infty

mille tahansa . Voidaan määritellä Itô-prosessin stokastinen integraali: $t$

\int \limits _{0}^{t}H\,dX=\int \limits _{0}^{t}H_{s}\sigma _{s}\,dB_{s}+\ int \limits _{0}^{t}H_{s}\mu _{s}\,ds.

Tämä lauseke on määritelty kaikille paikallisesti rajatuille ja ennustettavissa oleville integrandeille. Yleisemmässä muotoilussa vaaditaan, että se on -integroitava ja -Lebesgue integroitava, eli $H\sigma$ $B$ $H\mu$

\int _{0}^{t}(H^{2}\sigma ^{2}+|H\mu |)ds<\infty .

Tämän ehdon täyttäviä ennustettavia prosesseja kutsutaan -integroitaviksi, kaikkien tällaisten prosessien joukkoa merkitään . $H$ $X$ $L(X)$

Tärkeä Itô-prosessien tutkimukseen liittyvä tulos on Itôn lemma. Sen muotoilun yksinkertaisin versio on seuraava: mille tahansa funktiolle ja Itô - prosessille prosessi on myös Itô-prosessi, ja yhtäläisyys $f\in C^{2}(\mathbb {R} )$ $X$ $f(X)$

df(X_{t})=f^{\prime }(X_{t})\,dX_{t}+{\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }(X_ {t})\sigma _{t}^{2}\,dt.

Tämä lauseke on stokastinen analogi integraalin muuttujan muuttamisen kaavalle ja kompleksisen funktion erottamissäännölle . Se eroaa klassisista kaavoista lisätermin läsnäololla, joka sisältää funktion toisen derivaatan ja johtuu siitä, että Brownin liikkeen neliöllinen vaihtelu ei ole yhtä suuri kuin nolla. $f$

Puolimartingaalit integraattoreina

Itô-integraali määritellään suhteessa puolimartingaaliin eli prosessiin, joka esitetään muodossa , missä on paikallinen martingaali $X$ $X=M+A$ $M$ , on prosessi, jolla on rajallinen vaihtelu. Tällaisia prosesseja ovat esimerkiksi Wiener-prosessi (joka on martingaali) sekä prosessit, joissa on itsenäisiä lisäyksiä . $A$

Vasemmalta jatkuvalle, paikallisesti rajatulle ja mukautetulle prosessille on integraali , joka voidaan laskea Riemannin summien rajana. Antaa olla sarja osioiden väli , joka paksuuntuu kuin . Sitten $H$ $H\cdot X$ ${\displaystyle \left\lbrace \pi _{n}\right\rbrace _{n\in \mathbb {N} ))$ ${\näyttötyyli [0,t]}$ $n$

\int \limits _{0}^{t}H\,dX=\lim _{{n\rightarrow \infty }}\sum _{{t_{{i-1}},t_{i}\in \ pi _{n}}}H_{{t_{{i-1}}}}(X_{{t_{i}}}-X_{{t_{{i-1}}}}),

jossa raja otetaan todennäköisyydellä.

Stokastisen integraalin määritelmä vasemmanpuoleisille jatkuville prosesseille on riittävän yleinen käytettäväksi useimmissa stokastisen laskennan ongelmissa, esimerkiksi Itôn lemman sovelluksissa, kun suuruutta muutetaan Girsanovin lauseen mukaan.ja stokastisten differentiaaliyhtälöiden tutkimuksessa . Tällainen määritelmä osoittautuu kuitenkin sopimattomaksi muihin tärkeisiin aiheisiin, kuten martingaalin esityslauseeseen ja paikallisen ajan tutkimiseen.

Integraalin käsite voidaan yleistää ainutlaatuisella tavalla kaikkiin ennustettaviin ja paikallisesti rajattuihin integrandeihin, jolloin vallitsevan konvergenssilauseen ehdot täyttyvät . Jos ja jollekin paikallisesti rajoitetulle prosessille , niin $H_{n}\to H$ $|H_{n}|\leqslant J$ $J$

\int _{0}^{t}H_{n}\,dX\to \int _{0}^{t}H\,dX

todennäköisyydellä. Yleistyksen ainutlaatuisuus on seurausta monotonisen luokan lauseesta.

Yleensä stokastinen integraali voidaan määritellä, vaikka ennustettava prosessi ei olisi paikallisesti rajoitettu. Prosessit ja ovat rajoitettuja. Stokastisen integraation assosiatiivisuus edellyttää -integroitavuutta silloin ja vain jos ja . $H\cdot X$ $H$ $K=1/(1+|H|)$ $KH$ $X$ $H$ $H\cdot X=Y$ $Y_{0}=0$ $K\cdot Y=(KH)\cdot X$

Ominaisuudet

Stokastisella integraalilla on seuraavat ominaisuudet [3] [2] .

Stokastinen integraali on satunnainen prosessi, joka on osa Skorokhod-avaruutta. Lisäksi stokastinen integraali on semimartingaali.

Stokastisen integraalin epäjatkuvuudet syntyvät, kun hyppyjä sisältävä integraattori ja integrandi kerrotaan. Prosessin hyppy, joka on osa Skorokhod-avaruutta, ajanhetkellä on yhtä suuri kuin ja sitä usein merkitään . Sitten $t$ ${\näyttötyyli X_{t}-X_{t-}}$ ${\displaystyle \Delta X_{t))$

\Delta (H\cdot X)=H\Delta X.

Tästä seuraa erityisesti, että myös jatkuvan prosessin integraali on jatkuva.

Assosiatiivisuus . Olkoon prosessien ennakoitavissa ja ole -integroitavissa . Sitten on -integroitava jos ja vain jos on -integroitavissa ja siinä tapauksessa $J$ $K$ $K$ $X$ $J$ $(K\cdot X)$ $JK$ $X$

J\cdot (K\cdot X)=(JK)\cdot X

Pääasiallinen lähentyminen . Anna ja anna jonkin integroitavan prosessin . Sitten , todennäköisesti, mille tahansa . Kompakteissa sarjoissa konvergenssi on tasaista . $H_{n}\to H$ $|H_{n}|\leqslant J$ $X$ $J$ $H_{n}\cdot X\to H\cdot X$ $t$

Stokastinen integraali kommutoidaan neliöllisen kovarianssioperaation kanssa. Jos ja ovat puolimartingaleja, niin mikä tahansa -integroitava prosessi on myös -integroitava ja . Tästä seuraa, että stokastisen integraalin neliöllisen vaihtelun prosessi on yhtä suuri kuin neliöllisen vaihtelun prosessin integraali: $X$ $Y$ $X$ ${\näyttötyyli [X,Y]}$ $[H\cdot X,Y]=H\cdot [X,Y]$

[H\cdot X]=H^{2}\cdot [X]

Integrointi osittain

Aivan kuten klassisessa analyysissä, stokastisessa laskennassa tärkeä tulos on osien integroinnin kaava . Itô-integraalin kaava eroaa Riemann-Stieltjes-integraalin kaavasta lisätermällä, joka on yhtä suuri kuin neliöllinen kovarianssi. Ilmeisesti se johtuu siitä, että Itô-laskennassa tutkitaan prosesseja, joilla on nollasta poikkeava neliöllinen vaihtelu, jotka ovat vain prosesseja, joilla on ääretön vaihtelu, kuten esimerkiksi Brownin liike. Jos ja ovat semimartingaleja, niin $X$ $Y$

X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int \limits _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int \limits _ {0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t},

missä on neliöllisen kovarianssin prosessi. ${\näyttötyyli [X,Y]}$

Iton lemma

Itôn lemma on kaavan analogi kompleksisen funktion tai muuttujakaavan muutoksen erottamiseksi integraalissa Itôn stokastiselle integraalille ja yksi tehokkaimmista ja yleisimmin käytetyistä stokastisen laskennan tuloksista.

Antaa olla -ulotteinen semimartingale ja antaa olla kahdesti sileä funktio välillä - . Sitten on myös semimartingale ja $X=(X^{1},\ldots ,X^{n})$ $n$ $f$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R}$ $f(X)$

df(X_{t})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1} {2}}\summa _{i,j=1}^{n}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t} .

Tämä kaava eroaa klassisesta ketjusäännöstä neliöllisen kovarianssin läsnäololla . Kaava voidaan yleistää epäjatkuvien semimartingaalien tapaukseen lisäämällä hyppyjä vastaava termi ja varmistamalla jatkuvuus. $[X^{i},X^{j}]$

martingaalien integrointi

Paikalliset martingaalit

Itô-integraalin tärkeä ominaisuus on martingaalien paikkakunnan ominaisuuden säilyminen. Jos on paikallinen martingaali ja on paikallisesti rajattu ennustettava prosessi, niin integraali on myös paikallinen martingaali. On mahdollista antaa esimerkkejä siitä, milloin ei ole paikallinen integrandeille, jotka eivät ole paikallisesti rajattuja, mutta tämä voi tapahtua vain, jos se on epäjatkuva. If on jatkuva paikallinen martingaali, niin ennustettava prosessi on -integroitavissa silloin ja vain jos $M$ $H$ $H\cdot M$ $H\cdot M$ $M$ $M$ $H$ $M$

\int \limits _{o}^{t}H^{2}\,d[M]<\infty

kaikille ja on aina paikallinen martingaali. $t$ $H\cdot M$

Yleisin väite epäjatkuvasta paikallismartingaalista on muotoiltu seuraavasti: jos prosessi on paikallisesti integroitavissa, niin integraali on olemassa ja se on paikallinen martingaali. $M$ ${\sqrt {H^{2}\cdot [M]}}$ $H\cdot M$

Neliön muotoiset integroitavat martingaalit

Rajoitetuille integrandeille Itôn stokastinen integraali säilyttää neliöintegroitavien martingaalien tilan eli Skorokhod-avaruuteen kuuluvien ja ominaisuutta tyydyttävien martingaalien tilan. $M$

\mathbb {E} \left(M_{t}^{2}\right)<\infty

mille tahansa . Jokaiselle tällaiselle martingaalille neliöllisen vaihtelun prosessi on integroitavissa ja Itô-isometria täyttyy: $t$ $M$ ${\näyttötyyli [M]}$

\mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2 }\,d[M]\oikea].

Tämä yhtäläisyys pätee myös yleisemmässä tapauksessa - mille tahansa martingaalille siten, että prosessi on integroitavissa. Itô-isometriaa käytetään usein tärkeänä vaiheena stokastisen integraalin rakentamisessa. Se voidaan määritellä ainoaksi Itô-isometrian jatkeeksi tietystä yksinkertaisten integrandien luokasta kaikkien rajoitettujen ja ennustettavien prosessien tapaukseen. $M$ ${\displaystyle H^{2}\cdot [M]_{t))$ $H\cdot M$

$s$ -integroitavat martingaalit

Kaikille rajoitetuille ennustettavissa oleville integrandiprosesseille stokastinen integraali säilyttää -integroitavien martingaalien, eli Skorokhod-avaruuteen kuuluvien martingaalien tilan, jolle $p>1$ $s$ $M$

\mathbb {E} \left(|M_{t}|^{p}\right)<\infty

mille tahansa . Tässä tapauksessa näin ei aina ole: voidaan antaa esimerkkejä rajoitettujen ennustettavien prosessien integraaleista suhteessa martingaaleihin, jotka eivät ole martingaaleja. $t$ $p = 1$

Prosessin maksimi Skorokhod-avaruudesta on merkitty . Kaikille rajoitetuille ennustettavalle integrandiprosessille stokastinen integraali säilyttää martingaalien tilan Skorokhod-avaruudesta siten, että $M$ $M_{t}^{*}=\sup _{s\leqslant t}|M_{s}|$ $p\geqslant 1$ $M$

\mathbb {E} \left(\left(M_{t}^{*}\right)^{p}\right)<\infty

mille tahansa . Doobin epäyhtälöstä seuraa, että tämä avaruus osuu yhteen -integroituvien martingaalien avaruuden kanssa. $t$ $p>1$ $s$

Burkholder-Davis-Gandhi-epäyhtälöiden mukaan kaikelle on olemassa positiivisia vakioita ja vain :sta riippuen sellaisia , että mille tahansa martingaalille , joka paikallisesti kuuluu Skorokhod-avaruuteen, $p\geqslant 1$ $c$ $C$ $s$ $M$

c\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]\leq \mathbb {E} \left[(M_{t}^{ *})^{p}\oikea]\leq C\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\oikea].

Näitä suhteita käyttämällä voimme osoittaa, että jos integroimme ja jos se on rajallinen ennustettava prosessi, niin ${\displaystyle \left(M_{t}^{*}\right)^{p))$ $H$

\mathbb {E} \left[((H\cdot M)_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[(H^{2) }\cdot [M]_{t})^{\frac {p}{2}}\oikea]<\infty

ja sen seurauksena se on -integroitava martingaali. Tämä väite pitää paikkansa yleisemmässä tapauksessa, kun prosessi on integroitavissa. $H\cdot M$ $s$ $\left(H^{2}\cdot [M]\right)^{p/2}$

Katso myös

Stratonovich integraali

Muistiinpanot

↑ 1 2 Revuz, Yor, 1999 , luku IV.
↑ 12 Rogers, Williams, 2000 .
↑ 12 Revuz , Yor, 1999 .

Kirjallisuus

Kleinert, H. Polkuintegraalit kvanttimekaniikassa, tilastotiedoissa, polymeerifysiikassa ja rahoitusmarkkinoilla. – 5. painos. - Singapore:World Scientific, 2009. - 1624 s. —ISBN 978-981-4365-26-0. -doi:10.1142/7305.
Hän, SW , Wang, JG , Yan, JA Semimartingale Theory and Stochastical Calculus . - Science Press, CRC Press Inc., 1992. - ISBN 7-03-003066-4 .
Karatzas, I. , Shreve, S. E. Brownian Motion and Stochastic Calculus (englanniksi) . - Springer, 1991. - ISBN 0-387-97655-8 .
Protter, P.E. Stokastinenintegraatio ja differentiaaliyhtälöt . - Springer, 2001. - ISBN 3-540-00313-4 .
Øksendal, BK Stokastiset differentiaaliyhtälöt: Johdatussovelluksiin . - Springer, 2003. - ISBN 3-540-04758-1 .
Revuz, D. , Yor, M. Jatkuvat martingaalit ja Brownin liike (englanniksi) . - Berliini: Springer, 1999. - ISBN 3-540-57622-3 .
Rogers, C. , Williams, D. Diffuusiot, Markov-prosessit ja martingaalit - Volume 2: Itô calculus (englanniksi) . - Cambridge: Cambridge University Press , 2000. - ISBN 0-521-77593-0 .
Stepanov, S. Stokastinen maailma . - Sähköinen versio. (Venäjän kieli)