Toiminnan vaihtelu

Matemaattisessa analyysissä funktion variaatio on yhden reaalimuuttujan funktion numeerinen ominaisuus, joka liittyy sen differentiaalisiin ominaisuuksiin. Reaaliviivan segmentin funktiolle in on yleistys tässä funktiossa esitetystä käyrän pituuden käsitteestä . $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Määritelmä

Anna . Tällöin segmentin funktion variaatio (myös kokonaismuutos tai kokonaismuutos ) on seuraava arvo: $f:[a,\;b]\to \mathbb{R} ^{n}$ $f$ $[a,\;b]$

V_{a}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\sup \limits _{P}\sum \limits _{{k=0}}^{m }\|f(x_{{k+1}})-f(x_{k})\|,

eli pienin yläraja katkoviivojen pituussegmentin kaikissa osioissa , joiden päät vastaavat osiopisteiden arvoja . $P$ $[a,\;b]$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Funktioita, joiden vaihtelu on rajoitettu segmentissä, kutsutaan rajoitetun vaihtelun funktioiksi , ja tällaisten funktioiden luokka merkitään tai yksinkertaisesti . $V[a,\;b]$ $V$
- Tässä tapauksessa määritellään funktio, jota kutsutaan kokonaisvariaatiofunktioksi . $v(x)=V_{a}^{x}f$ $f$
Reaaliarvoisen funktion positiivista vaihtelua segmentissä kutsutaan seuraavaksi suureksi: $f$ $[a,\;b]$ $P_{a}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\sup \limits _{{P}}\sum \limits _{{k=0}}^ {m}\max\{0,\;f(x_{{k+1}})-f(x_{k})\}.$
Funktion negatiivinen muunnelma määritellään samalla tavalla : $N_{a}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}-\inf \limits _{{P}}\sum \limits _{{k=0}} ^{m}\min\{0,\;f(x_{{k+1}})-f(x_{{k}})\}.$
Siten funktion kokonaismuutos voidaan esittää summana $V_{a}^{b}f=P_{a}^{b}f+N_{a}^{b}f.$

Rajoitettujen funktioiden ominaisuudet

Rajallisen vaihtelun funktioiden summalla ja tulolla on myös rajoitettu vaihtelu. Kahden funktion osamäärällä kohteesta on rajoitettu vaihtelu (eli kuuluu luokkaan ), jos nimittäjän itseisarvo on suurempi kuin positiivinen vakio välillä . $V$ $V$ $[a,\;b]$
Jos , a , niin . $a<x\leqslant y<b$ $f\in V[a,\;b]$ $V_{a}^{x}f+V_{x}^{y}f=V_{a}^{y}f$
Jos funktio on jatkuva oikealla olevassa pisteessä ja kuuluu ryhmään , niin . $f$ $a$ $V[a,\;b]$ $\lim \limits _{{x\to a{+}}}v(x)=0$
Intervalle annettu funktio on rajoitetun vaihtelun funktio silloin ja vain, jos se voidaan esittää kasvavien ja pienenevien funktioiden summana ( Jordanin laajennus ). $f(x)$ $[a,\;b]$ $[a,\;b]$
Mikä tahansa rajoitetun vaihtelun funktio on rajoitettu ja sillä ei voi olla enempää kuin laskettava joukko epäjatkuvuuspisteitä , ja ne kaikki ovat ensimmäisen tyyppisiä.
Rajallisen vaihtelun funktio voidaan esittää absoluuttisen jatkuvan funktion , singulaarifunktion ja hyppyfunktion ( Lebesguen laajennus ) summana.

Kaikki nämä kiinteistöt perustivat Jordan [1] [2] .

Variaatiolaskenta

Jatkuvasti differentioituvan funktion muunnelma

Jos funktio kuuluu luokkaan , eli sillä on jatkuva ensimmäisen kertaluvun derivaatta segmentissä , niin se on tämän segmentin rajoitetun vaihtelun funktio ja variaatio lasketaan kaavalla: $f:[a,\;b]\to \mathbb{R} ^{n}$ $C^1$ $[a,\;b]$ $f$

\int \limits _{a}^{b}\|f^{\prime }(x)\|\,dx,

eli yhtä suuri kuin derivaatan normin integraali .

Historia

Rajatun vaihtelun funktioita tutki C. Jordan [1] .

Aluksi rajoitetun vaihtelun omaavien funktioiden luokan esitteli K. Jordan Dirichlet-kriteerin yleistyksen yhteydessä paloittain monotonisten funktioiden Fourier-sarjan konvergenssille . Jordan osoitti, että luokan Fourier-jaksolliset funktiot konvergoivat reaaliakselin jokaisessa pisteessä. Tulevaisuudessa rajoitetun vaihtelun funktioita kuitenkin sovellettiin laajasti matematiikan eri alueilla, erityisesti Stieltjesin integraalin teoriassa . $2\pi$ $V[0,\;2\pi ]$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Käyrän pituus määritellään luonnollisena yleistyksenä vaihtelusta tapaukseen, jossa kuvaukset tehdään metriseen avaruuteen.

Useiden muuttujien tapauksessa funktion vaihtelulle on useita erilaisia määritelmiä:
- Fréchet muunnelma ,
- tasainen muunnelma Tonellista .

funktion Φ-muunnelma

Otetaan myös huomioon luokka , joka määritellään seuraavasti: $V_{\Phi [a,\;b]$

V_{{\Phi \,a}}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\sup \limits _{{a\leqslant x\leqslant b}}\ summa \limits _{{k=1}}^{n}\Phi (|f(x_{k})-f(x_{{k-1}})|),

missä ( ) on jatkuva funktio, joka on positiivinen monotonisesti kasvavana; $\Phi (x)$ $x\geqslant 0,\;\Phi (0)=0$ $x>0$

$a=x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n}=b$ on segmentin mielivaltainen osio . $[a,\;b]$

Suuruutta kutsutaan segmentin funktion -variaatioksi . $V_{{\Phi \,a}}^{b}f$ $\Phi$ $f(x)$ $[a,\;b]$

Jos , niin funktiolla on rajoittunut -variaatio välillä . Kaikkien tällaisten funktioiden luokka on merkitty tai yksinkertaisesti [3] . Luokan määritelmän ehdotti L. Young[4] ( L. C. Young ). $V_{{\Phi \,a}}^{b}f<\infty$ $f(x)$ $\Phi$ $[a,\;b]$ $V_{\Phi [a,\;b]$ $V_{\Phi }$ $V_{\Phi [a,\;b]$

Jordan-luokat ovat Yang-luokkien erikoistapaus ja . Jos , niin N. Wiener luokat [5] ( N. Wiener ) saadaan. $\Phi (x)=x$ $\Phi (x)=x^{p}$ $1<p<\infty$ $V_{p}$

Ominaisuudet

Jos tarkastellaan kahta funktiota ja sellaista $\Phi _{1}(x)$ $\Phi _{2}(x)$

\varlimsup _{{x\to 0^{+))}{\frac {\Phi _{1}(x)}{\Phi _{2}(x)))<\infty ,

niin niiden -variaatioille pätee seuraava relaatio: $\Phi$

V_{{\Phi _{2}}}[a,\;b]\subset V_{{\Phi _{1}}}[a,\;b].

Erityisesti,

V_{{x^{p))}\subset V_{{x^{q))}\subset V_{{\exp(-x^{{-\alpha )))))\subset V_{{\exp (-x^{{-\beta }})}}

osoitteessa . $1\leqslant p<q<\infty ,\;0<\alpha <\beta <\infty$

Katso myös

Kirjallisuus

Lebesgue, A. Integrointi ja primitiivisten funktioiden haku / Per. ranskasta - M. - L. : ONTI, 1934. - 324 s.
Natanson, I. P. Reaalimuuttujan funktioiden teoria. - M .: Nauka, 1974. - 484 s.
Bari, N. K. Trigonometrinen sarja. - M. : Valtion fyysisen ja matemaattisen kirjallisuuden kustantamo, 1961. - 936 s.

Muistiinpanot

↑ 1 2 Jordan C. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. - 1881. - t. 92. - nro 5. - s. 228-230.
↑ Natanson, I.P. Reaalimuuttujan funktioiden teoria. - M .: Nauka, 1974. - S. 234-238. — 484 s.
↑ Bari, N.K. Trigonometriset sarjat. - M. : Valtion fysiikan ja matemaattisen kirjallisuuden kustantamo, 1961. - S. 287. - 936 s.
↑ Young L. C. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. - 1937. - t. 204. - nro 7. - s. 470-472.
↑ Wiener N. Massachusetts Journal of Mathematics and Physics. - 1924. - v. 3. - s. 72-94.