Toiminnallinen vaihtelu

Funktionaalin variaatio eli funktionaalin ensimmäinen variaatio on yleistys käsitteestä yhden muuttujan funktion differentiaali , funktionaalin lisäyksen päälineaarinen osa tietyssä suunnassa. Käsitettä käytetään ääriongelmien teoriassa välttämättömien ja riittävien ehtojen saamiseksi ääripäälle. J. Lagrangen vuonna 1762 kirjoittamasta teoksesta lähtien [1] tämä termi on otettu käyttöön . J. Lagrange tarkasteli pääasiassa muodon klassisen variaatiolaskelman ( action ) funktionaalisia:

J(x)=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}L(t,\;x(t),\;{\piste {x}}(t)) \,dt.\qquad (*)

Muodollinen määritelmä

Tarkastellaan funktionaalisen (*) muuttumista funktionaalisen tilan pisteestä toiseen (funktiosta toiseen). Tätä varten teemme korvauksen ja korvaamme lausekkeen (*). Jatkuvan differentiaalisen oletuksen alla on yhtäläisyys, joka on samanlainen kuin funktion differentiaalin lauseke: $x(t)\mapsto x_{1}(t)-x(t)$ $L$

J(x_{1})=J(x)+J_{1}(\delta x)+\varepsilon r(x,\;x_{1}),

jossa loput on etäisyys funktioiden ja , ja . Tässä tapauksessa lineaarifunktiota kutsutaan funktionaalin ( ensimmäiseksi ) muunnelmaksi ja sitä merkitään . $|r(x,\;x_{1})|\to 0$ $\varepsilon\-0$ ${\näyttötyyli \delta x(t)=x_{1}(t)-x(t)}$ $J_{1}(\delta x)$ $J(x)$ $\delta J$

Mitä tulee funktioon (*), ensimmäisen muunnelman kohdalla yhtäläisyys tapahtuu korkeampaan arvoon kuin : $|r(\delta x)|$

\delta J(x)=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}(L_{x}(t,\;x(t),\;{\piste {x) }}(t))\,\delta x+p(t)\,\delta {\piste {x}})\,dt=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}} (L_{x}(t,\;x(t),\;{\piste {x}}(t))-{\piste {p}}(t))\,\delta x\,dt+p (t)\,\delta x)|_{t_{0}}^{t_{1}},

missä

p(t)=L_{\piste {x}}(t,\;x(t),\;{\piste {x}}(t))

- yleinen vauhti.

Samaan aikaan , koska $p(t)\,\delta x|_{t_{0}}^{t_{1}}=0$ $\delta x(t_{0})=\delta x(t_{1})=0.$

Ensimmäisen muunnelman yhtäläisyys nollaan kaikille on välttämätön ehto funktionaalin ääripäälle . Funktionaaliselle (*) tämä välttämätön ehto ja variaatiolaskennan päälemma edellyttävät Eulerin yhtälöä: $\delta x$ $J(x)$

{\piste {p}}(t)=L_{x}(t,\;x(t),\;{\piste {x}}(t)).

Korkeampien tilausten muunnelmat määritellään samalla tavalla.

Ranskalainen matemaatikko René Gateau antoi yleisen määritelmän äärettömän ulottuvuuden analyysin ensimmäiselle variaatiolle.vuonna 1913. Pohjimmiltaan Gateaun määritelmä on identtinen Lagrangen määritelmän kanssa [2] .

Funktionin ensimmäinen muunnelma on homogeeninen, mutta ei välttämättä lineaarinen funktionaali, funktionaalin variaatiota lausekkeen lineaarisuuden ja jatkuvuuden (in ) lisäoletuksen alaisena kutsutaan yleensä Gateaux-derivaattaksi . Modernissa matematiikassa termejä " Gato-variaatio ", " Gato-derivaata ", " Gato-differentiaali " käytetään yleisemmin kuin funktionaalinen variaatio [3] . Samanaikaisesti termi "funktionaalinen variaatio" säilyy vain klassisen variaatiolaskelman funktionaaleille. $\delta x$ $\delta J(x,\;\delta x)$

Kirjallisuus

Lavrentiev, M. A., Lyusternik, L. A. Variaatiolaskennan kurssi. - 2 osassa. - 2. painos - M. - L .: ONTI, 1953.

Muistiinpanot

↑ Lagrange J. Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formulas intégrales indéfinies. – Torino, 1762.
↑ Gateaux R. Bulletin de la Société Mathematique de France. - 1919. - t. 47.-s. 70-96.
↑ Mathematical Encyclopedia / Toim. I. M. Vinogradova. - M . : Mir, 1977. - T. 1. - 1140 s.