Toimiva

Funktionaali on mielivaltaiseen joukkoon määritetty funktio , jolla on numeerinen arvoalue : yleensä joukko reaalilukuja tai kompleksilukuja . Laajemmassa merkityksessä funktionaalinen on mikä tahansa kuvaus mielivaltaisesta joukosta mielivaltaiseen (ei välttämättä numeeriseen) renkaaseen . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Funktionaaleja tutkitaan yhtenä funktionaalisen analyysin keskeisistä käsitteistä ja variaatiolaskennan pääaiheena on funktionaalisten variaatioiden tutkimus.

Määritelmät

Toiminnallinen alue voi olla mikä tahansa joukko. Jos määritelmäalue on topologinen avaruus , niin jatkuva funktionaali voidaan määritellä ; jos alue on lineaarinen tila yli tai yli , voidaan määritellä lineaarinen funktionaali ; jos toimialue on järjestetty joukko , voidaan määrittää monotoninen funktio. $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Topologiseen avaruuteen määriteltyä funktiota kutsutaan jatkuvaksi, jos se on jatkuva kuvauksena topologiseen avaruuteen tai . $X$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Topologiseen avaruuteen määriteltyä funktiota kutsutaan jatkuvaksi pisteessä, jos se on jatkuva tässä pisteessä kuvauksena topologiseen avaruuteen tai . $X$ $x\in X$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Lineaariseen avaruuteen määriteltyä funktiota, joka säilyttää yhteen- ja kertolaskunsa vakiolla, kutsutaan lineaarifunktioksi . (Lineaarisen avaruuden kuvaamista lineaariseen avaruuteen kutsutaan operaattoriksi ).

Yksi yksinkertaisimmista funktionaalisista funktioista on projektio (jonkin sen komponentin tai koordinaatin osoitus vektorille).

Melko usein tämä tai tuo funktioavaruus on lineaarisen avaruuden roolissa (jatkuvat funktiot intervallilla, integroitavat funktiot tasossa jne.). Siksi sovelletuilla alueilla funktionaali ymmärretään usein funktioiden funktiona , kuvauksena, joka muuntaa funktion luvuksi (reaaliksi tai kompleksiseksi).

Lineaarisen avaruuden funktion sanotaan olevan positiivinen määrätty, jos sen arvo on ei-negatiivinen ja on nolla vain nollassa.

Mappaus, joka muuttaa vektorin normikseen , on konveksi positiivinen-definitifunktio, tämä on yksi yleisimmistä funktionaaleista. Fysiikassa käytetään usein toimintaa - myös toiminnallista.

Optimointiongelmat muotoillaan funktionaalisten funktioiden kielellä : etsi ratkaisu (yhtälöt, yhtälöjärjestelmät, rajoitusjärjestelmät, epäyhtälöjärjestelmät, inkluusiojärjestelmät jne.), joka tuottaa ääripään (minimi tai maksimi) tietylle funktiolle. Variaatioiden analysoinnissa huomioidaan myös funktionaalisuus .

Toiminnallinen lineaarisessa avaruudessa

Myöhemmin käsite funktionaali lineaarisessa avaruudessa erotettiin perinteisen funktionaalin käsitteestä funktiona , joka kartoittaa lineaarisen avaruuden elementit sen skalaariavaruuteen . Usein (esimerkiksi kun funktioiden tila on lineaarinen avaruus) nämä kaksi "funktionaalisuuden" käsitteen lajiketta ovat samat, samaan aikaan ne eivät ole identtisiä eivätkä absorboi toisiaan.

Erityisen tärkeä funktionaalityyppi ovat lineaarifunktiot .

Esimerkkejä

toimintanormi _
funktion arvo kiinteässä pisteessä
segmentin funktion maksimi tai minimi
funktion integraalin arvo
reaalimuuttujan reaalifunktion käyrän pituus
käyrän pituus, jonka parametrisesti määrittää todellisen argumentin vektorifunktio (polun pituus)
pinta-ala, joka määritellään parametrisesti kahden todellisen argumentin vektorifunktiolla
skalaaritulo kiinteällä vektorilla
toimintaa mekaniikassa
energiatoiminen

Kirjallisuus

V. I. Sobolev . Funktionaalinen // Mathematical Encyclopedia : [5 osassa] / Kappale. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - 1248 jne. : sairas. - 150 000 kappaletta.
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Funktioteorian elementit ja funktionaalinen analyysi. - toim. neljäs, tarkistettu. - M .: Nauka , 1976 . — 544 s. - 35 000 kappaletta.
Rudin W. Funktionaalinen analyysi. — M .: Mir , 1975. — 443 s.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4155667-7 J9U : 987007553161005171 LCCN : sh85052326 NKC : ph114596