Toiminta (fyysinen määrä)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 16. lokakuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 9 muokkausta .

Toiminta
$S=\int L(q,\;{\piste {q)],\;t)~\mathrm {d} t$
Ulottuvuus	L 2 MT -1
Yksiköt
SI	J s_ _
GHS	erg s_ _
Huomautuksia
skalaari

Fysiikassa toiminta on skalaarinen fysikaalinen suure , joka on fyysisen järjestelmän liikkeen mitta . Toiminto on matemaattinen funktio , joka ottaa argumentiksi fyysisen järjestelmän liikeradan ja palauttaa tuloksena reaaliluvun .

Toiminta on yksi fysikaalisista perustavanlaatuisista suureista, joka sisältyy useimpien fysiikan perusteorioiden nykyaikaiseen muotoiluun kaikilla fysiikan perusosioilla, mutta sillä on suuri merkitys myös teoreettisessa fysiikassa . Sillä voi olla vähemmän merkitystä suhteellisesti sovelletuilla alueilla, vaikka sitä käytetään usein myös siellä. Sitä käytetään yhtä lailla kvanttifysiikassa, klassisessa ja relativistisessa fysiikassa .

Klassisessa mekaniikassa pienimmän toiminnan periaate olettaa, että fyysinen järjestelmä seuraa aina liikerataa vähiten toimin.

Kvanttimekaniikassa teoriaa muotoiltaessa polkuintegraaleina fyysinen järjestelmä seuraa samanaikaisesti kaikkia mahdollisia lentoratoja, ja tietyn liikeradan seuraamisen todennäköisyyden amplitudi määräytyy tämän liikeradan vaikutuksesta. Jos ominaisvaikutus on paljon suurempi kuin Planckin vakio , niin klassisen liikeradan amplitudi, jolla on vähiten vaikutus, on hallitseva - näin kvanttimekaniikasta tulee klassista.

Toiminnalla on fyysinen ulottuvuus energia · aika = liikemäärä · etäisyys , joka on sama kuin liikemäärän mitta . Fyysisen merkityksen mukaan toiminta on kvantti " todennäköisyysaallon " vaihe, tarkemmin sanottuna, se on verrannollinen tähän vaiheeseen (perinteisten fyysisten yksikköjärjestelmien (mukaan lukien SI ) erilaisen ulottuvuuden vuoksi): - vakio mittakerroin - Planckin vakio . $S = \hbar\varphi$

Jos toiminto kirjoitetaan jollekin järjestelmälle , niin tämä periaatteessa määrää sekä sen klassisen käyttäytymisen (eli järjestelmän käyttäytymisen klassisessa approksimaatiossa) että sen kvanttikäyttäytymisen. Ensimmäinen on kiinteän (vähiten) toiminnan periaatteen kautta, toinen Feynmanin polun integraalin kautta. Samaan aikaan itse toiminta on kirjoitettu samalla tavalla, samassa muodossa sekä klassisille että kvanttitapauksille, mikä tekee siitä erittäin kätevän työkalun (Feynman-integraalin kautta tapahtuvaan kvantisointiin periaatteessa tarvitset vain tietää tavallisille klassisille liikeradalle määritellyn toiminnon, eli kirjoitettu samalla tavalla kuin klassiselle sovellukselle).

Terminologia

Historiallisesti terminologia on vaihdellut melko paljon, mutta nykyään on tapana kutsua määrää toimintaa

S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,\;{\piste {q)),\;t)\,dt

tai

S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}- H(q,\;p,\;t){\bigg )}\,dt,

missä:

$t$ - aika,
${\displaystyle q=\{q_{1},\;q_{2},\;\ldots ,\;q_{N}\))$ on täydellinen koordinaattijoukko, joka kuvaa dynaamista järjestelmää (sen konfiguraatioavaruutta ),
${\piste {q}}=\{{\piste {q}}_{1},\;{\piste {q}}_{2},\;\ldots ,\;{\piste { q}}_{N}\}$ on joukko nopeuksia ( aikaderivaatat), $q$
$L$ - Lagrange-funktio , joka riippuu koordinaateista, nopeuksista ja joskus jopa nimenomaisesti ajasta klassisessa mekaniikassa, joka on sama kuin kineettisten ja potentiaalisten energioiden välinen ero; $N$ $N$
$H$ on Hamilton-funktio , joka on järjestelmän kokonaisenergia, joka ilmaistaan koordinaatteina, niiden konjugaattimomentteina ja joskus jopa eksplisiittisesti ajassa. $N$ $N$

Molemmat suureet ovat periaatteessa samat, mutta ilmaistaan eri tavalla - ensimmäinen Lagrangin formalismin mukaisesti, toinen Hamiltonin mukaisesti . $S$

Lyhennettyä toimintoa kutsutaan

S_{0}=\int \limits _{A}^{B}\sum _{i}p_{i}\,dq_{i}=\int \limits _{t_{1}}^{ t_{2}}\summa _{i}p_{i}{\piste {q}}_{i}\,dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\ vec {p}}\cdot {\vec {v}}\,dt,

jossa merkintätapa on sama kuin edellä käytetty ja lauseke viimeisen integraalissa on liikemäärä- ja nopeusvektorien skalaaritulo , jota yksittäisen hiukkasen tapauksessa voidaan pitää tavallisessa newtonilaisessa mielessä.

Yleisesti ottaen tässä osiossa tarkoitamme yleistettyjä koordinaatteja (jotka eivät välttämättä täsmää karteesisten koordinaattien kanssa), näitä koordinaatteja vastaavia yleistettyjä nopeuksia ja momentteja, jotka konjugoidaan kanonisesti näihin koordinaatteihin. Tietyssä tapauksessa ne voidaan valita karteesisten koordinaattien muodossa, jolloin vastaavat impulssit ovat (mekaniikassa) järjestelmän aineellisten pisteiden vektoriimpulssien tavallisia komponentteja . $q_{i},\ {\piste {q}}_{i}$ $p_{i}$

Hajautetuissa järjestelmissä ( esimerkiksi kentille tai elastisille jatkumoille ) toiminto voidaan yleensä kirjoittaa seuraavasti:

S=\int {\mathcal {L}}(q,\;{\piste {q)),\;x,\;t)\,dVdt

tai

S=\int {\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\piste {q}}_{i}-{\mathcal {H}}(q,\;p,\; x,\;t){\bigg )}\,dVdt,

missä

${\mathcal {L)],\ {\mathcal {H))$ ovat Lagrangen ja Hamiltonin funktioiden tiheydet, vastaavasti,
$x$ - avaruuden piste, jossa on väliaine tai kenttä (usein tavallinen kolmiulotteinen avaruus ),
$dV$ on tämän tilan tilavuuselementti,
$q_{i},\ p_{i}$ ovat yleistettyjen koordinaattien arvoja (esimerkiksi elastisen väliaineen siirtymät tai kentällä kenttämuuttujat, kuten esimerkiksi sähkömagneettinen potentiaali) ja yleistetyt impulssit hajautetun järjestelmän tietylle pisteelle (väliaine tai ala). $x$

Integrointi tapahtuu sekä tilassa että ajassa. Järjestelmää kuvaavien koordinaattien ja impulssien kokonaismäärä, kuten näemme, on tässä tapauksessa ääretön, koska niiden lukumäärä on äärellinen vain yhdelle , ja joukko itse on ääretön. $q_{i},\ p_{i}$ $x$ $x$

Yleiskatsaus

Nykyajan näkökulmasta toiminnalla on aaltofunktion vaiheen merkitys (se kuitenkin perinteisesti ilmaistaan - suorempaa yhteyttä varten klassiseen mekaniikkaan - muissa yksiköissä, ja erityisesti , missä - toiminta, - vaihe sisään radiaanit ja - Planckin yleisvakio ) . $S = \hbar\varphi$ $S$ $\varphi$ $\hbar$

Klassinen fysiikka (mekaniikka ja kenttäteoria) on kvanttifysiikan korkeataajuinen ja lyhytaaltoinen approksimaatio, kun aallon vaiheet ovat hyvin suuria ( ), mikä tarkoittaa, että annetuissa ("klassisissa") koeolosuhteissa (ominaismitat, ominaisuus tarkasteltavan ongelman momentti ja ominaisenergiat), kvanttikorjaukset klassiseen teoriaan ovat melko pieniä (käytännössä ne ovat useimmiten niin pieniä, että ne eivät ole kokeellisesti havaittavissa). Tässä tapauksessa kvanttiongelma kokonaisuutena yksinkertaistuu suuresti, siirtyen klassiseen ongelmaan, ja voidaan käyttää pienimmän toiminnan periaatetta ja/tai Hamilton-Jacobi-yhtälöä , jossa toiminnalla on edelleen keskeinen rooli. $S/\hbar \gg 1$

Kvanttifysiikassa sitä vastoin, kun sama ongelma ratkaistaan ilman ehtoa , toiminnolla on erityisen suuri rooli Feynmanin polkuintegraalin formalismissa. Lisäksi jotkin klassisen kenttäteorian tuloksista siirtyvät tietyssä mielessä melko suoraan kvanttitapaukseen, ja koska toiminta on yksi yksinkertaisimmista objekteista, manipulaatiot sen kanssa (ja ennen kaikkea itse ohjelman kirjoittaminen) tietylle dynaamiselle järjestelmälle - kenttä, hiukkanen, vuorovaikutuksessa olevat kentät tai hiukkaset tai muut objektit) ovat usein yksi tehokkaimmista työkaluista eri kenttien kvanttiteorian muotoilussa, vaikka siihen ei tarvitsisikaan kirjoittaa ja työskennellä polun integraali eksplisiittisesti. $S/\hbar \gg 1$

Historia

Maupertuis teoksissa 1740 (?) , 1741 - 1746 muotoili ensin mekaniikan pienimmän toiminnan periaatteen ja ehdotti, että tämä on universaali luonnonlaki, joka tulkitsee optiikkaa ( Fermatin periaate ) toiminnan kannalta (hän käytti sitä, mitä nykyään yleisesti kutsutaan lyhennetyksi toiminnaksi ). Maupertuis oli taipuvainen teologiseen tulkintaan tästä periaatteesta, joka hänen mielestään osoitti Jumalan luoman maailman tietystä täydellisyydestä.

Jo Maupertuisin elinaikana näitä hänen teoksiaan tuki ja kehitti Euler , joka kehitti myös variaatiolaskelman , joka mahdollisti periaatteen edut tehokkaimmin.

Sitten Lagrange kehitti vuonna 1788 julkaistussa Mécanique analytiquessa pienimmän toiminnan periaatteen soveltamisen mekaniikassa käyttämällä variaatiolaskentaa ja ottamalla käyttöön yleistettyjä koordinaatteja. Hän esitteli myös vuonna 1795 indefinite - kertoimien menetelmän , jonka avulla on mahdollista parantaa merkittävästi pienimmän toiminnan periaatteen käyttöä rajoitusongelmissa .

Nopeasti liikkuvan ("relativistisen") hiukkasen toimintaa korjattiin (verrattuna vanhaan newtonilaiseen-lagrangiseen versioon, jonka laajuus on valonnopeuteen verrattuna hitaita liikkeitä ) 1900-luvun alussa, jotta Ensimmäistä kertaa tämä tehtiin eksplisiittisesti, ilmeisesti Planckin toimesta vuonna 1907 [1] , myös tässä yhteydessä voidaan mainita Minkowskin ( 1907 ) ja Bornin ( 1909 ) teokset [2] . Vapaan pistehiukkasen kohdalla se muodosti intervallin (pituus - oikea aika - Minkowskin aika- avaruudessa) päinvastaisen merkin omaavan hiukkasen maailmanlinjaa (avaruus-aika-rata) pitkin korvaten tavallisen newtonilaisen ilmaisun nopeasti. hiukkasmekaniikka. Siksi relativististen hiukkasten pienimmän vaikutuksen periaate johtaa mahdollisimman suureen oikeaan aikaan lentoradalla.

Vuonna 1915 Hilbert , käyttäen variaatiomenetelmää suhteessa Einstein-Hilbertin toimintaan, sai oikeat painovoimakentän yhtälöt yleisessä suhteellisuusteoriassa . Tässä tapauksessa ehkä ensimmäistä kertaa lähestymistavan yksinkertaisuuden etua käytettiin näin täydellisyydessä, johtaen skalaarisen (invariantin) toiminnan kirjoittamisesta yleisistä näkökohdista (jonka eksplisiittistä muotoa ei tiedetä etukäteen), ja sitten hankitaan kentän liikeyhtälöt (kenttäyhtälöt) muuttamalla tätä funktiota .

1900-luvun alussa Planck , Bohr , Sommerfeld , Schwarzschild ja muut käyttivät toimintaa (yleensä lyhennettyä toimintaa) muotoillakseen varhain kvanttiteorian, joka nykyajan näkökulmasta on eräänlainen puoliklassinen approksimaatio , joka osoittautui soveltuvat varsin hyvin kuvaamaan sellaisia keskeisiä ongelmia kuin harmoninen oskillaattori ja atomi, jolla on ympyrämäiset ja elliptiset elektroniradat (ainakin yksinkertaisimmassa tapauksessa vetyatomi). Kvantointisääntö, jota käytettiin laajasti kvanttiteorian kehityksen tässä vaiheessa, pelkistettiin lyhennetyn toiminnan kvantisointiin suljetuilla kiertoradoilla ehdon mukaisesti.

\oint \sum p_{i}\,dq_{i}=n\hbar

tai (yhden hiukkasen suorakulmaisina koordinaatteina): .

\oint {\vec p}\cdot {\vec {dr}}=n\hbar

Louis de Broglie ( 1923-1924 ) käytti tätä formalismia muotoillakseen lausuntonsa elektronin ja materiaalihiukkasten aaltoluonteesta yleensä.

Merkittävä rooli kvanttimekaniikan modernin muodon perustelemisessa (sen suhteen selventämisessä klassiseen) oli Hamilton-Jacobi-yhtälöllä , joka käsittelee toimintaa koordinaattien ja ajan funktiona , jolla on jo muoto. lähellä kvanttimekaniikan perusyhtälön - Schrödingerin yhtälön - muotoa ja mikä on tässä, on olennaisesti sen klassinen raja.

Feynman kehitti kvanttimekaniikassa polun integrointimenetelmän ( 1938 ), joka muotoili kvanttimekaniikan uudelleen siten, että se käytti orgaanisesti klassista toimintafunktiota, ja ero täydellisen kvanttikuvauksen ja klassisen kuvauksen välillä väheni tarpeeseen summata kvanttimekaniikka. määrä yli kaikkien ajateltavissa olevien lentoratojen (eikä vain yhden klassisen lentoradan tai sen lähellä). Tämä formalismi on yksi suosituimmista nykyaikaisessa teoreettisessa korkeaenergisessä fysiikassa, ja se löytää sovelluksia (yhdessä Feynman-kaavioiden tekniikan kanssa) muilla fysiikan aloilla sekä puhtaassa matematiikassa. Myöhemmin ( 1949 ) Feynman kehitti Feynman-kaavioiden menetelmän, joka liittyy läheisesti polkuintegraatioon, vaikka se voidaan muotoilla uudelleen käyttämättä nimenomaisesti tätä lähestymistapaa, josta tuli yksi tärkeimmistä kvanttikenttäteoriassa ja tarjosi yhden tavoista voittaa kvanttielektrodynamiikan vaikeudet , jotka vuonna Tämän seurauksena siitä on tullut yksi tarkimmista fysikaalisista teorioista ja standardimalli muiden kvanttikenttäteorioiden rakentamiseen. $e^{{iS}}$

1900-luvun toisesta puoliskosta lähtien pistehiukkasen toiminnasta on keksitty useita yleistyksiä, esimerkiksi merkkijonoteorian alalla - Nambu-Goto-toiminto.(toiminta-alue) ja Poljakovin toiminta.

Yhteenvetona on todettava, että teoreettisen fysiikan nykyaikaisilla abstrakteilla alueilla toiminta on yksi tärkeimmistä työkaluista konkreettisen teorian muotoilussa jo alkuvaiheessa. Esimerkiksi yksi hyvin yleisimmistä tavoista muotoilla uusi teoria on se, että tutkittavalle systeemille yritetään ennen kaikkea kirjoittaa toiminta, rajoittaen mahdollisia vaihtoehtoja asettamalla symmetriaehtoja ja usein myös yksinkertaisuusnäkökohtia.

Toiminta klassisessa mekaniikassa

Klassisessa mekaniikassa toiminta on kirjoitettu kahdessa muodossa, lopulta vastaavasti:

Lagrangian:

S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,\;{\piste {q)),\;t)\,dt

tai Hamiltonin:

S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}- H(q,\;p,\;t){\bigg )}\,dt.

(katso lyhennetty toiminto yllä olevasta kappaleesta "Terminologia" ).

Loppujen lopuksi vastaavuudesta huolimatta toiminnan lagrangilaisella ja hamiltonilaisella merkintämuodolla on erilaisia teknisiä ja ideologisia etuja. Jokaista niistä voidaan pitää perustana ( vähimmän tai stationaarisen toiminnan periaatteen perusteella ), vastaavasti , Lagrangin ja Hamiltonin mekaniikan muodot. Nimittäin muuntelemalla suoraan kunkin toiminnon ensimmäistä toimintoa muista riippumatta, tai vastaavasti kirjoittamalla Euler-Lagrange-yhtälöt tälle funktiolle , toiselle muodolle - joka vaihtelee itsenäisesti ja (kirjoittamalla Hamiltonin yhtälöt muistiin ), se on helppo saada liikeyhtälöt vastaavasti Lagrangin ja Hamiltonin muodossa. Tietyssä tapauksessa, jossa käytetään karteesisia koordinaatteja, nämä ovat Newtonin liikeyhtälöitä. $\delta q_{i}$ $\delta q_{i}$ $\delta p_{i}$

Johtamalla liikeyhtälöt sopivalla koordinaattivalinnalla (yleensä, ei karteesisilla) ja käyttämällä epämääräisten Lagrange-kertoimien menetelmää , on helppo saada sopivassa muodossa liikeyhtälöt järjestelmille, joissa on rajoituksia , joskus ilman rajoitusta. reaktiot niistä (mikä voi yksinkertaistaa yhtälöitä merkittävästi).

On huomattava, että kaikesta perustavanlaatuisesta merkityksestään huolimatta toiminnan käsite ei kata tiettyjä makroskooppisen mekaniikan tapauksia; esimerkiksi se ei salli toiminnan kirjoittamista mielivaltaisten hajoavien voimien läsnäollessa , eikä näin ollen salli käyttää pienimmän toiminnan periaatetta niiden kuvaamiseen.

Klassinen toiminta nykyajan näkökulmasta on suure, joka on verrannollinen vastaavan hiukkasen tai järjestelmän kvanttiaaltofunktion vaiheeseen (itse asiassa tämä on vaihe, mitattuna vain muissa yksiköissä; suhteellisuuskerroin kuitenkin klassisen sisällä mekaniikka on tuntematon - tämä on pohjimmiltaan kvanttisuure; klassisen mekaniikan kannalta on tärkeää vain, että se on hyvin pieni). Sama klassinen mekaniikka on kvantin lyhytaaltoraja, ja se voidaan saada siitä siirtymällä . $\hbar /S\rightarrow 0$

Toimenpide hajautetuille järjestelmille

Mekaanisille hajautetuille järjestelmille (esimerkiksi elastisille jatkumoille) toiminta voidaan yleensä kirjoittaa seuraavasti:

S=\int {\mathcal {L}}(q,\;{\piste {q)),\;x,\;t)\,dVdt

tai

S=\int {\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\piste {q}}_{i}-{\mathcal {H}}(q,\;p,\; x,\;t){\bigg )}\,dVdt,

missä on tilavuuselementti, kolmiulotteinen, kun kuvataan kenttiä kolmiulotteisessa avaruudessa, ovat Lagrange-funktion ja Hamilton-funktion tiheydet ja ovat kenttämuuttujat (esimerkiksi potentiaalit), vastaavat nopeudet ja kanonisesti konjugoitu momenta. Jokainen tällainen kenttämuuttuja, nopeus ja liikemäärä, on "spatiaalisten" muuttujien ja ajan funktio, edustaen siten ääretöntä ulottuvuutta (ottaen huomioon hajautetun järjestelmän mahdollisen atomidiskretisoinnin fyysisen idean - vain hyvin moniulotteisen) vektori. Erillisen koordinaatin valinta laskee jossain perusteessa laajennukseen (tämä voi olla esimerkiksi deltafunktioiden kanta, joka oleellisesti pelkistää kaiken diskreetin ongelman rajalle, mutta ehkä Fourier-muunnosta käytetään vielä enemmän usein sen mukavuuden vuoksi ). $dV$ ${\mathcal {L)],\ {\mathcal {H))$ $q,\ {\piste {q))$ $s$ ${\piste q}=\osittainen q/\osittainen t$ $q=q(x,\;y,\;z,\;t),\ {\piste {q))={\piste {q))(x,\;y,\;z,\ ;t),\ p=p(x,\;y,\;z,\;t)$ $q_{i}\in \mathbb{R}$ $q$

Ei-mekaanisissa hajautetuissa järjestelmissä tällainen merkintä on mahdollista analogian perusteella mekaanisten järjestelmien kanssa. Erityisesti samanlainen menetelmä toimii perusaloilla, jotka muodollisesti sopivat myös hajautettujen järjestelmien määritelmään (vaikka tätäkin voidaan pitää vain analogiana, kysymys valinnasta tai toisesta on tässä olennaisesti terminologinen). Perusfysikaalisia kenttiä tarkastellaan yksityiskohtaisesti erillisessä osiossa, vaikka tavalliset hajautetut järjestelmät, erityisesti mekaaniset, tarjoavat yleensä tarpeeksi hyviä malleja, jotka auttavat ymmärtämään näiden kenttien dynamiikan rakennetta ja erityisesti toimintaan liittyviä kysymyksiä.

Esimerkkejä :

Homogeeniselle isotrooppiselle jatkuvalle lineaariselle (Hooken lakia noudattava; todellisuudessa tämä merkitsee lähes aina mallin sovellettavuuden rajoitusta pienten muodonmuutosten tapauksiin) elastiselle väliaineelle, joka täyttää kolmiulotteisen avaruuden tai sen alueen, yksinkertaisimmassa tapauksessa, toiminta voidaan kirjoittaa nimellä

S=\int \left({\rho \over 2}({\piste {u)))^{2}-{E \over 2}(\nabla u)^{2}\oikea)\ ,dxdydzdt,

missä on väliaineen tiheys, on kimmomoduuli, on elastisen väliaineen poikkeama tietyssä pisteessä tietyllä ajanhetkellä ehdollisen tasapainon asennosta, on hajautunut yleinen koordinaatti (tässä tehtävässä se on kolme -ulotteinen vektori, mutta sen jokaista komponenttia voidaan tarkastella erikseen muotoilluissa olosuhteissa) , on muutosnopeus ajan myötä - jaettu nopeus on tietysti myös funktio . tässä on gradienttioperaattori, jota voidaan tässä katsoa sovellettavaksi erikseen jokaiseen komponenttiin , kun sitten lisätään kolmen komponentin neliöt.

\rho =\mathrm {const}

E=\mathrm {const}

u=u(x,\;y,\;z,\;t)

{\piste u}

u

{\näyttötyyli x,\y,\z,\t}

\nabla

u

Tämän funktion variaatio antaa liikeyhtälön tavallisen aaltoyhtälön muodossa jokaiselle komponentille itsenäisesti eli .

u

u

{\displaystyle u_{x},\ u_{y},\ u_{z))

Kirjoitettua toimintaa voidaan helposti käyttää epähomogeeniselle medialle, eli epävakiolle ja , ja se voidaan myös yleistää suoraan anisotrooppiseen mediaan tensorilla . Kaikissa näissä tapauksissa väliaineen liikeyhtälö eroaa jo huomattavasti tavanomaisesta aaltoyhtälöstä, mutta se voidaan saada lähes yhtä helposti tätä toimintaa muuttamalla.

\rho

E

E

Toiminta klassisessa kenttäteoriassa

Klassisen kenttäteorian toimintaa käytetään kenttäyhtälöiden (sekä vapaiden että lähteiden kanssa) johtamiseen stationaarisen (pienimmän) toiminnan periaatteesta (kenttämuuttujia vaihtelemalla). Sitä käytetään myös hiukkasten liikeyhtälöiden saamiseksi vuorovaikutuksessa tietyn kentän kanssa, myös stationaarisen (pienimmän) toiminnan periaatteella, mutta muuttamalla hiukkasten koordinaatteja (ja Hamiltonin versiossa myös momentteja).

Kentän toiminnan tyyppi (soveltuu sekä klassisessa että kvanttisessa mielessä) on yleensä hyvin samanlainen kuin hajautettujen järjestelmien toimintotyyppi (erityisesti mekaanisissa hajautetuissa järjestelmissä, kuten merkkijono, kalvo jne.). ). Tämä mahdollistaa joskus suoran, joskus ehdollisen analogian yhden ja toisen tapauksen välillä, vaikka yksityiskohdissa molemmat voivat poiketa toisistaan huomattavasti (joten suora mekaaninen analogia ei aina ole mahdollista, ja joskus se ei yksinkertaisesti ole liian helppoa rakentaa ja käyttää).

Useimmiten (jos kyseessä ovat lineaariset kentät tai tutkitaan niitä lineaarisessa approksimaatiossa) toiminnolla on melko yksinkertainen muoto ja se jakautuu kolmeen termiin:

{\displaystyle S=S_{f}+S_{\mathrm {int} }+S_{s))

missä on "vapaan kentän toiminta" - joka on välttämätön kentän käyttäytymisen tutkimiseksi ilman sen vuorovaikutusta "aineen" kanssa (muut kentät), on vuorovaikutustermi, josta "aineen" (muut kentät) toiminta alkaa ) annetulla kentällä johdetaan, on vapaiden "aineiden" (muiden kenttien) toiminta, joka määrittää niiden käyttäytymisen tämän kentän puuttuessa, erityisesti "aineen" sellaiset ominaisuudet kuin sen inertisyys. Toisen termin muoto määrittelee kenttäyhtälöissä sen lähdettä (lähteitä) edustavat termit ja määrittää tietyn kentän vaikutuksen "aineeseen" (muut kentät), esimerkiksi varautuneen hiukkasen liikeyhtälöt annettu kenttä (tarkemmin sanottuna siihen vaikuttavat voimat) johdetaan arvosta ja . $S_{f}$ $S_{\mathrm {int} }$ $S_{s}$ $S_{\mathrm {int} }$ $S_{s}$

Pohjimmiltaan epälineaarisilla kentillä tällainen jakaminen kolmeen eri termiin yleisesti ottaen kuitenkin epäonnistuu (ja jopa lineaarista approksimaatiota eristäessä jää usein tietynlaisia ongelmia, vaikka se onkin usein mielekästä ja mahdollista). Esimerkiksi yleisessä suhteellisuusteoriassa (ja muissa painovoiman metrisissä teorioissa ) gravitaatiokenttä kuuluu termiin, joka liittyy "aineeseen" (ja ei-gravitaatiokenttiin) tilavuuselementtiin sisältyvän metriikan muodossa ja kovarianttijohdannaiset. Tämä tosiasia varmistaa painovoiman vuorovaikutuksen "aineen" kanssa ilman erillistä termiä (ns. minimaalisen yhteyden tapaus ), ja se tekee myös gravitaatiokentän yhtälöstä olennaisesti epälineaarisen. Toinen esimerkki (joskin liittyy kvanttikenttäteoriaan, mutta jolla on myös analogioita klassiseen): kvanttielektrodynamiikka - sen lineaarinen approksimaatio laskettuna häiriöteorian mukaisesti silmukkakaavioissa johtaa loputtomiin merkityksettömiin tuloksiin, jotka liittyvät todelliseen mahdottomuuteen erottaa paljas (paljas, vuorovaikuttamattomat) varatun hiukkasen kentät ja sähkömagneettinen kenttä. Tapa ratkaista tämä ongelma oli renormalisointiohjelma, joka palauttaa todellisten (vuorovaikutteisten) kenttien Lagrangin. $S_{\mathrm {int} }$

Skalaarikenttä

Perusfysikaalisista kentistä, skalaarikentistä , vaikka ne ovat teoriassa olemassa, niiden olemassaolo on toistaiseksi luonteeltaan suurelta osin hypoteettinen, ja ominaisuudet vastaavasti ovat melko huonosti tunnettuja. Tämä on kuitenkin yksinkertaisin tapaus; Lisäksi peruskenttien lisäksi kiinnostavat sellaiset makroskooppiset kentät, kuten esimerkiksi akustiikan kaasunpainekenttä, joka pienten (ja tasaisten) tasapainopoikkeamien tapauksessa voi tietyssä mielessä olla suoraan verrataan abstraktiin skalaarikenttään.

Yksinkertaisin lineaarikentän yhtälöön johtavan skalaarikentän toiminto on muoto: $\varphi$

S=S_{f}+S_{\mathrm {int} }+S_{s}=\int {\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {1}{c^{ 2}}}(\partial _{t}\varphi )^{2}-(\nabla \varphi )^{2}-m^{2}\varphi ^{2}\right)\,dVdt+S_{ \mathrm {int} }+S_{s},

(kirjoitettu muodossa, joka vastaa kolmiulotteisen avaruuden kenttää; tässä - "voimavakio", - kenttäaaltojen etenemisnopeus , joka peruskentillä yleensä oletetaan - jotta se ei loukkaa suhteellisuusperiaatetta yhtä suuri kuin valon nopeus, - kolmiulotteinen gradientti, - kentän massa ( massattomille kentille), on kolmiulotteisen tilavuuden elementti). Kuten näette, se on Lorentzin invariantti, ja se on erittäin helppo kirjoittaa uudelleen neliulotteisella merkinnällä, jossa tämä on vielä ilmeisempi. $\alpha$ $c$ $\varphi$ $\nabla$ $m$ $\varphi$ $m = 0$ $dV$ $S_{f}$

Muutettuna (vapaalle kenttään, eli ), tämä toiminto antaa Klein-Gordon-yhtälön ja kun - aaltoyhtälön . Tapaus antaa muunnelman Klein-Gordon-yhtälöstä takyonin skalaarikentälle, jota voidaan käyttää myös teoriassa (tämä on kenttä, jonka tasapaino on epävakaa äärettömässä avaruudessa tai ilman stabiilisuuteen johtavia reunaehtoja). $\varphi$ $S_{\mathrm {int} }=S_{s}=0$ $m = 0$ $m^{2}<0$ $\varphi=0$

Emme määrittele tässä vuorovaikutustermiä , koska emme tarkastele tässä mitään tiettyä skalaarikenttää ja sen vuorovaikutusta jonkin muun kanssa. Huomaa kuitenkin, että jos emme halua loukata suhteellisuusperiaatetta, tämän termin on oltava myös Lorentzin invariantti (samoin kuin ). Jos esimerkiksi haluat olla vuorovaikutuksessa toisen skalaarikentän kanssa , tämä termi voi olla joko tai tai niiden summa jne.). $S_{\mathrm {int} }$ $S_{f},\ S_{s}$ $u$ $\mathrm {const} \cdot \int \varphi u\,dVdt$ $\mathrm {const} '\cdot \int (\partial _{i}\varphi )(\partial ^{i}u)\,d^{4}x$

Sähkömagneettinen kenttä

Sähkömagneettisen kentän standarditoiminto on kirjoitettu seuraavasti

S=S_{f}+S_{\mathrm {int} }+S_{s},

missä

S_{f}=-{\frac {1}{2\alpha }}\int F_{ij}F^{ij}\,dxdydzdt={\frac {1}{\alpha }}\int ( E^{2}-H^{2})\,dxdydzdt

— vapaan kentän toiminta ( tässä — sähkömagneettisen kentän tensori, — vakio, joka riippuu käytetystä yksikköjärjestelmästä, tarkoitetaan Einsteinin säännön mukaista summausta ),

F_{{ij}}

\alpha

{\näyttötyyli i,\j}

Vuorovaikutustermi voidaan kirjoittaa eri tavoin:

S_{\mathrm {int} }=-\int A_{i}j^{i}\,dxdydzdt

tai

S_{int}=-\int qA_{i}u^{i}\,d\tau =-{\frac {1}{c))\int qA_{i}\,dx^{i} =\int (-q\varphi +q{\vec {A}}\cdot {\vec {v}}/c)\,dt,

(ensimmäinen muoto on kätevä johtamaan kenttäyhtälö(t) (lähteiden kanssa), ja toinen johtamaan varautuneen hiukkasen liikeyhtälön; tässä on sähkömagneettinen potentiaali , on hiukkasvaraus, on 4-nopeus , on oikea aikadifferentiaali (väli jaettuna ) ja - sähköinen ja kolmiulotteinen vektoripotentiaali, - kolmiulotteinen nopeus, - valon nopeus ja - neliulotteiset aika-avaruuskoordinaatit; useille hiukkasille tämän useita termejä lomake tulee ottaa - yksi kullekin), $A_{i}$ $q$ $u^{i}$ $d\tau$ $c$ $\varphi$ ${\vec A}$ ${\vec {v}}$ $c$ $dx^{i}=(dx^{0},\;dx^{1},\;dx^{2},\;dx^{3})=(c\,dt,\;dx ,\;dy,\;dz)$

S_{s}

- toiminto "aineelle" (vapaille hiukkasille), jota käytetään yhdessä varattujen hiukkasten liikeyhtälöiden johtamiseen. Nopeille ("relativistisille") hiukkasille (katso alla) on ryhdyttävä (pyöritystä huomioimatta) toimiin

S_{\mathrm {int} }

S_{s}=-\int mc^{2}\,d\tau =-\int mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\ ,dt,

missä on hiukkasen massa (lepomassa), on valon nopeus, on oikea aikaero (useita hiukkasia varten on otettava useiden tämän tyyppisten termien summa). $m$ $c$ $d\tau$

Jos hiukkasten liike on hidasta valonnopeuteen verrattuna ja Newtonin approksimaatio on riittävä, voimme tehdä vastaavan likimääräisen toimenpiteen, joka on tavallista klassisessa mekaniikassa:

S_{s}=\int {\frac {mv^{2}}{2}}\,dt.

Helpoin tapa saada Maxwellin yhtälöt on muodossa

\partial _{i}F^{{ik}}=\alpha j^{k},

muuttamalla yllä olevaa toimintoa ja käyttämällä määritelmää . $A_{i}$ $F_{{ij}}=\osittainen _{i}A_{j}-\osittainen _{j}A_{i}$

Vaihtelemalla arvolla , saadaan liikeyhtälöt, jotka näyttävät yksinkertaisimmin neliulotteiselta: $x^i$

dp^{i}/d\tau =m\,du^{i}/d\tau =qF_{j}^{i}u^{j},

jossa oikea puoli osuu yhteen tavallisen Lorentzin voiman kanssa, joka voidaan myös kirjoittaa (ja haluttaessa saada eksplisiittisesti) kolmiulotteiseen muotoon; eli kolmiulotteisessa muodossa liikeyhtälö on:

{\frac {d\mathbf {p} }{dt))=q\mathbf {E} +q\ \mathbf {v} \times \mathbf {B} .

Relativistinen toiminta

Sähkömagneettisen kentän toiminta (sekä sen termi vapaalle kentälle että termi, joka kuvaa vuorovaikutusta virtojen kanssa) on Lorentzin invariantti alusta alkaen (tarkemmin sanottuna se on 4- skalaari ). Samaa voidaan sanoa toiminnasta kaikilla perusaloilla, jotka tunnetaan nykyaikaisissa teorioissa (puhuen hieman tarkemmin, yleisesti hyväksytyissä teorioissa, jotka ovat läpäisseet kokeellisen tarkastuksen).

Klassisen (newtonilaisen) mekaniikan toiminnalla, riippumatta siitä, missä muodossa se kirjoitetaan, Hamiltonin tai Lagrangen, ei kuitenkaan ole Lorentzin invarianssin ominaisuutta. Historiallisesti tietyllä hetkellä (1800- ja 1900-luvun partaalla) tuli tarpeelliseksi saattaa mekaniikka suhteellisuusperiaatteen mukaiseksi ja siksi tehdä siitä Lorentz-kovariantti. Yksinkertaisin tapa tehdä tämä on kirjoittaa hiukkaselle (”materiaalipisteelle”) sellainen toiminto, joka olisi Lorentz-invariantti, ja sitten tavanomaista variaatiomenettelyä käyttäen saada siitä liikeyhtälö, joka on jo Lorentz- kovariantti (suunnilleen hidasta liikettä varten tällaisen mekaniikan on oltava sama kuin Newtonin, koska se on testattu hyvin pienillä nopeuksilla).

Yksinkertaisin ehdotettava toimenpide vapaalle hiukkaselle Minkowskin geometriaan perustuen on suure, joka vakiokertoimeen asti osuu yhteen tietyn hiukkasen maailmanviivan pituuden kanssa (ja mitoitusnäkökohdat määräävät kertoimen ):

S=-\int mc^{2}\,d\tau =-\int mc\,ds=-mc^{2}\int u^{i}u_{i}\,d\tau = -mc^{2}\int {\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}\,dt,

missä on massa (lepomassa), on oikea aika mitattuna hiukkasen maailmanviivaa pitkin, onko sitä pitkin olevan intervallin elementti, on 4-nopeus, on kolmiulotteinen nopeus, on aika ("koordinaatti" aika”, laboratorion viitekehyksen aika). $m$ $\tau$ $ds$ $u^{i}$ $v$ $t$

Laajentumalla pienuusluokissa (jos se on tarpeeksi pieni, paljon pienempi kuin yksikkö), saamme helposti klassisen mekaniikan ei-relativistisen toiminnan: ${\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ $v^{2}/c^{2}$

S=-mc^{2}\int {\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}\,dt\approx \int \left(-mc^{2}+{ \frac {mv^{2}}{2}}\right)\,dt=\mathrm {const} \cdot (t_{2}-t_{1})+\int {\frac {mv^{2} }{2}}\,dt=\mathrm {const} \cdot (t_{2}-t_{1})+S_{\mathrm {newtonian} },

jossa ensimmäinen termi voidaan hylätä, koska sillä ei ole vaikutusta liikeyhtälöihin (lukuun ottamatta panosta gravitaatiokentän yhtälöihin, joissa sen vaikutus ei katoa edes tässä approksimaatiossa; tässä ollaan puhutaan itse hiukkasen liikeyhtälöistä, joille toiminta on kirjoitettu, eikä painovoimaa einsteinilaisessa mielessä oteta huomioon). Voit halutessasi säilyttää laajennuksessa myös seuraavien kertalukujen ehdot , jotka antavat relativistisia korjauksia pienille nopeuksille (sen sijaan, että käytettäisiin tarkkaa relativistista toimintaa ja tarkkoja liikeyhtälöitä, jos tämä jotenkin sopii) . $v^{2}/c^{2}$

Toiminta painovoimateoriassa

Newtonilaisen painovoimateorian mukaan toiminta voitaisiin kirjoittaa siten, että missä on "aineen" toiminta, kuten painovoimateorioissa sanotaan - eli kaikkea paitsi painovoimaa, ja - gravitaatiopotentiaalin kolmiulotteiseksi gradienttiksi (joka tarkoittaa gravitaatiovuorovaikutuksen ääretöntä etenemisnopeutta). Tämä arvo ei selvästikään ole Lorentzin invariantti , joten, kuten kaikki klassinen mekaniikka, se voidaan laajentaa - suunnilleen - koskemaan hitaan (valonnopeuteen verrattuna) liikettä ja ei kovin voimakkaita gravitaatiokenttiä (jos vain siksi, että voimakkaat kentät, yleensä kiihdyttää kehot suuriin nopeuksiin). On monia teorioita, jotka ovat tavalla tai toisella muuttaneet tätä toimintaa tehdäkseen siitä Lorentzin muuttumattoman (katso vaihtoehtoiset painovoimateoriat ), mutta useimmat niistä ovat nyt vain historiallisia, tai päinvastoin, eivät ole vielä osoittaneet etujaan tiedeyhteisölle. Myös jotkin painovoiman kuvaamiseen lupaavat teoriat (tosin myös melko kaukana lopullisesta lausumasta), kuten esimerkiksi merkkijonoteoria ja sen yleistykset, ovat myös melko monimutkaisia ja kattavat paitsi painovoiman, ansaitsevat siksi erillisen tarkastelun. $S={1 \over 16\pi G}\int (\nabla \varphi )^{2}\,dxdydzdt+S_{m},$ $S_{m}$ $\nabla \varphi$

Siksi rajoitamme tässä antamaan toiminnan, joka vastaa modernin fysiikan pääasiallista (ei-kvantti) painovoimateoriaa - yleistä suhteellisuusteoriaa . Tämä on Einstein-Hilbertin toiminta :

S={1 \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x+S_{m},

missä on Newtonin gravitaatiovakio , on aika-avaruuden skalaarikaarevuus (Riccin skalaari), on metristen tensorikomponenttien matriisin determinantti ja on vaikutus ei-gravitaatiokenttiin (massiiviset hiukkaset, sähkömagneettinen kenttä ja niin edelleen) . $G$ ${\displaystyle R=R_{\mu }^{\mu ))$ $g=|g_{\mu \nu }|$ $S_{m}$

Vaihtelemalla tätä toimintaa aika-avaruusmetriikassa (jolla on gravitaatiopotentiaalin rooli, eli tässä teoriassa kenttämuuttujat) saadaan Einstein-yhtälöt (jota joskus kutsutaan myös Einstein-Hilbert-yhtälöiksi) muodossa: $g_{ij}$

R_{{\mu \nu }}-{R \over 2}g_{{\mu \nu }}={8\pi G \over c^{4}}T_{{\mu \nu }}

(näin Gilbert sai ne ensimmäisen kerran vuonna 1915 , Einstein meni toiseen suuntaan).

Gravitaatiokentän lähdettä kuvaavan yhtälön termi (oikea puoli) saadaan tässä tapauksessa, koska metriikka , jota pitkin vaihtelu tapahtuu, sisältyy myös ainakin lausekkeeseen sisältyvän tekijän kautta. (neliulotteisen) tilavuuden elementille (tässä on Lagrange-funktion tiheys "aineelle" - eli kaikille ei-gravitaatiokentille ja - niiden energia-momenttitensorille ). $g_{\mu \nu }$ $S_{m}=\int {\mathcal {L}}{\sqrt {-g}}\,d^{4}x$ ${\sqrt {-g))$ ${\mathcal L}$ $T_{\mu \nu }$

Yleisen suhteellisuusteorian gravitaatiokentän toiminta voidaan kirjoittaa uudelleen myös toiseen, tätä vastaavaan muotoon, paitsi reunaehtoja (ja jos reunaehdot on jostain syystä asetettu nollaan, niin täysin vastaavassa muodossa) ja joka sisältää integraalin alla kaarevuustensorin sijaan konstruktion kohteesta , joka voidaan tulkita kentänvoimakkuuden gravitaatiokentän neliöksi - eli samassa muodossa kuin toiminto yleensä kirjoitetaan yksinkertaisemmalla - skalaarilla ja vektorilla - kentät, esimerkiksi sähkömagneettiset. $\Gamma _{{\mu \nu }}^{\lambda }$

Täydentämällä yllä kirjoitettua toimintoa termillä , saamme Einsteinin yhtälöt termillä -termi : $\int \Lambda {\sqrt {-g}}\,d^{4}x$ $\lambda$

R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{ \mu \nu }.

Täysin tyydyttävää painovoiman kvanttiteoriaa, sikäli kuin tiedetään, tällä hetkellä ( 2009 ) ei ole olemassa. Kuitenkin monet teoriat, jotka voivat enemmän tai vähemmän vaatia tätä roolia, antavat tavallisesti tehokkaan Einstein-Hilbert-toiminnan matalan energian rajalla.

Toiminta ja kvanttimekaniikka

Fermionisten kenttien toiminta

Fermionisille (erityisesti spinor- ) kentille ei voi vain kirjoittaa toimintoa, vaan myös saada muodollisesti klassisia yhtälöitä näille kentille muuttamalla tällaista toimintaa. Toisin kuin bosonikentät , fermioniset kentät havaitaan kuitenkin klassisessa muodossaan huonommin, koska Paulin periaate kieltää useamman kuin yhden fermionin olemasta samassa tilassa, mikä on sallittua bosoneille ja sallii niiden olla samassa kvanttitilassa suuria määriä. , havaitaan tavallisena klassisena kenttänä, kuten sähkömagneettisena kenttänä. Mutta samaan aikaan on olemassa lause, joka väittää (ainakin häiriöteorian sovellettavuuden puitteissa), että toisen kvantisoinnin tulos tällaisille fermionikentille osuu yhteen tällaisten "klassisten" kenttien tulkinnan kanssa fermionien aaltofunktioina. ensimmäisen kvantisoinnin merkityksessä .

Siten esimerkiksi Dirac-yhtälö , joka on saatu käyttämällä stationaarisen toiminnan periaatetta yhdestä tai toisesta toiminnan kirjoittamisesta hiukkaselle, jonka spin on 1/2, liittyy suoraan tällaisen fermionin (esimerkiksi elektronin) kvanttikuvaukseen . .

Dirac-yhtälöllä on ominaisuus, joka aiheuttaa tiettyjä vaikeuksia saada se toiminnosta, jossa on neliöllinen Lagrange (ja mikä tahansa muu, jos käytät tavanomaisia variaatiosääntöjä ja pidät spinorikomponentteja tavallisina lukuina). Tämä ominaisuus on Diracin yhtälön derivaattojen ensimmäinen kertaluokka.

Joskus tilanteesta selvitään yksinkertaisesti tekemällä keinotekoisia muodollisia muutoksia variaatiosääntöjen rajoituksiin tai johdannaisoperaattoreiden toimintaan.

Ilmeisesti järjestelmällisempi lähestymistapa on se, että fermioniset kentät (spinorit ja niiden komponentit) katsotaan Grassmann -kentäksi., eli anticommuting-luvut, jotka muuttavat ensimmäisen ja toisen kertaluvun johdannaisilla termien etumerkkiä tavanomaisiin verrattuna, minkä vuoksi toisen kertaluvun termit tuhoutuvat muuttuessa, kun taas ensimmäiset jäävät.

Feynmanin polun integraali

Feynmanin polun integraali soveltuu sekä pistehiukkasten kvanttikuvaukseen tavallisessa avaruudessa että kenttien (hajautetuina järjestelminä) konfiguraatioavaruudessa (ja tämä soveltuvuus molempiin tapauksiin ei ole periaatteessa yllättävää, koska pistehiukkasen ja pistehiukkasen välinen muotoero on moniulotteinen, jopa ääretön, dynaaminen järjestelmä - vain konfiguraatioavaruuden ulottuvuudessa, joka yleensä ymmärretään hyvin jo klassisen mekaniikan puitteissa).

Jos toiminta (joka on olennaisesti yhteneväinen tavanomaisen klassisen toiminnan kanssa, ainakin järjestelmissä, joiden kuvaus ei ole niin eksoottista, että se tekisi sanan käytöstä vaikeaa) tunnetaan, eli se voidaan kirjoittaa tavalliselle klassiselle liikeradalle " tavallinen" tai konfiguraatioavaruus ( ehkä aika tai vain muuttuja parametrisesti määriteltynä neliulotteisessa merkinnässä), niin sellaisen järjestelmän kvanttiaaltofunktio , jossa on pistelähde aika-avaruuspisteessä [3] , voidaan kirjoittaa funktionaaliseksi kiinteä $S[x]$ $x(\tau )$ $\tau$ $x_{1}$

\Psi (x_{2},\;x_{1})=\int Dxe^{iS[x]/\hbar },

missä on liikerata, joka alkaa ja päättyy pisteeseen , integraali tarkoittaa kaikkien ajateltavissa olevien tällaisten lentoratojen summausta, joille kullekin toiminnolla on oma merkityksensä. Lisäksi relativistisessa tapauksessa lentoratojen joukossa on liikeradat, joissa on käänteisen liikkeen osuuksia ajassa, jotka voidaan tulkita virtuaalisen antihiukkasen liikeradiksi eteenpäin ajassa ja käännepisteitä - hiukkas-antihiukkas-parien virtuaalisena syntymisenä ja tuhoutumisena. . $x$ $x_{1}$ $x_{2}$ $S[x]$

Kvanttikenttäteoriassa integrointia sovelletaan sekä hiukkasratojen yli tavallisessa avaruudessa (tarkemmin aika-avaruudessa), jota yleensä kutsutaan tässä tapauksessa primaariseksi kvantisoinniksi , että kenttämuuttujien avaruudessa olevien trajektorioiden yli, jota kutsutaan toissijaiseksi kvantisoinniksi . . Molemmat menetelmät antavat, sikäli kuin tiedetään, vastaavat tulokset häiriöteorian puitteissa.

Feynmanin polun integraali on yksi suosituimmista kvantisointimenetelmistä (kvanttiteorian rakentaminen) nykyaikaisten teoreettisten fyysikkojen keskuudessa. Samalla tämä on yksi suorimmista tavoista verrata kvanttikuvaa klassiseen, mikä on yksi sen vakavista psykologisista eduista, koska jokainen siinä oleva liikerata nähdään periaatteessa klassisena ja toiminta on Laskettu täsmälleen klassisen reseptin mukaan, mikä tekee teoriasta useissa tapauksissa ja näkökulmista huomattavasti näkyvämpää ja helpommin ymmärrettävää kuin muut lähestymistavat. Tämä ominaisuus on muun muassa kätevä siirtyä klassikoiden rajalle (katso alla), ja polkuintegraaliin perustuva siirtyminen siihen on tässä mielessä yksi nykyajan fysiikan tavallisimmista tavoista. Sama koskee riittävää mukavuutta saada puoliklassinen approksimaatio tällä tavalla (katso myös alla).

Useissa tapauksissa (erittäin rajoitettu - kun toiminta on neliulotteinen koordinaateissa tai kenttämuuttujissa ja niiden derivaatoissa ja integraali pelkistetään moniulotteiseksi Gaussiksi , jossa on kulku äärettömän ulottuvuuden tapaukseen), Feynmanin polun integraali voidaan laskea eksplisiittisesti ja tarkasti. Sen laskentaa harjoitetaan numeerisin menetelmin. Monissa tapauksissa tämä integraali on hyödyllinen erilaisissa muunnoksissa ja muissa teoreettisissa laskelmissa.

Polun integrointilähestymistavan vastaavuus Schrödingerin yhtälöön on helppo määrittää ainakin triviaalissa topologisessa tilanteessa.

Tyhjän tasaisen tilan vapaille (ei-vuorovaikutteisille) kentille polun integrointi mahdollistaa usein eksplisiittisen levittäjän hankinnan, joka osoittautuu samaksi kuin vastaavan kentän differentiaaliyhtälöstä saatu levitin (esim . massattoman skalaarikentän aaltoyhtälö). Osoittautuu, että vuorovaikutuksessa oleville kentille polkuintegraali on ehkä luonnollisin (ja nykyaikaisten teoreetikkojen keskuudessa suosituin) tapa perustella Feynman-kaavioiden tekniikkaa . Tosiasia on, että vuorovaikutteisten hiukkasten (kenttien) järjestelmän polkuintegraali jaetaan helposti osiin, joissa ei ole vuorovaikutusta (ja tulos, kuten sanoimme hieman korkeammalla, tunnetaan tässä tapauksessa - tämä on levittäjä, joka vastaa vapaan kentän käyttäytyminen, joka voidaan melko helposti laskea millä tahansa tavalla), täydennettynä pistevuorovaikutuksella, joka pelkistyy jo tavanomaiseen äärellisulotteiseen integraatioon - Feynmanin sääntöjen mukaisesti .

Polkuintegraalikvantisointi ei kuitenkaan rajoitu häiriöteoriaan (Feynman-kaaviot). Tämä menetelmä löytää myös enemmän ei-triviaalisia sovelluksia sekä teoreettisessa fysiikassa että joillakin puhtaan matematiikan aloilla. [4] [5] [6]

Toimintaa ja lopullinen siirtyminen klassikoihin

Kvanttimekaniikassa sitä tosiasiaa, että kvanttimekaanisen järjestelmän käyttäytyminen suuntautuu klassiseen fysiikkaan suurten toimien (suurten kvanttilukujen ) rajalla, kutsutaan vastaavuusperiaatteeksi . Tämän periaatteen esitteli Niels Bohr vuonna 1923 .

Kvanttimekaniikan sääntöjä sovelletaan erittäin menestyksekkäästi kuvattaessa mikroskooppisia esineitä, kuten atomeja ja alkuainehiukkasia . Toisaalta kokeet osoittavat, että erilaisia makroskooppisia järjestelmiä ( jousi , kondensaattori jne.) voidaan kuvata melko tarkasti klassisten teorioiden mukaisesti käyttäen klassista mekaniikkaa ja klassista sähködynamiikkaa (vaikka on olemassa makroskooppisia järjestelmiä, jotka osoittavat kvanttikäyttäytymistä, kuten esim. supernestemäinen nestemäinen helium tai suprajohteet ). On kuitenkin melko kohtuullista uskoa, että fysiikan perimmäisten lakien tulisi olla riippumattomia kuvattavien fyysisten objektien koosta. Tämä on lähtökohta Bohrin vastaavuusperiaatteelle, jonka mukaan klassisen fysiikan tulisi nousta kvanttifysiikan approksimaatioksi järjestelmien kasvaessa .

Olosuhteita, joissa kvanttimekaniikka ja klassinen mekaniikka osuvat yhteen, kutsutaan klassiseksi rajaksi . Bohr ehdotti karkeaa kriteeriä klassiselle rajalle: siirtymä tapahtuu, kun järjestelmää kuvaavat kvanttiluvut ovat suuria , mikä tarkoittaa, että järjestelmä on viritetty suuriin kvanttilukuihin tai että järjestelmää kuvaa suuri joukko kvanttilukuja tai molemmat . Nykyaikaisempi muotoilu sanoo, että klassinen approksimaatio pätee suurille toiminnan arvoille . "Koulun" fysiikan kannalta tämä tarkoittaa, että eriarvoisuudet on otettava huomioon: $S\gg\hbar$

P\kertaa l\gg \hbar

E\kertaa t\gg\hbar

(prosessin ominaisliikkeen ja sen ominaiskoon tulo sekä prosessin ominaisenergian ja sen ominaisajan tulo ovat paljon suurempia ) $\hbar$

Vastaavuusperiaate on yksi fyysikkojen käytettävissä olevista työkaluista valitakseen todellisuutta vastaavan kvanttiteorian . Kvanttimekaniikan periaatteet ovat melko laajat - ne esimerkiksi väittävät, että fyysisen järjestelmän tilat vievät Hilbert-avaruuden , mutta eivät kerro, mikä niistä. Vastaavuusperiaate rajoittaa valinnan niihin tiloihin, jotka toistavat klassista mekaniikkaa klassisella rajalla.

Diracin sanamuoto

Diracin muotoilu, jota kutsutaan myös "Dirac's Correspondence Principle" :ksi: "Kvantti- ja klassisten teorioiden välinen vastaavuus ei perustu niinkään rajoittavaan yksimielisyyteen kohdassa , vaan siitä, että näiden kahden teorian matemaattiset toiminnot noudattavat samoja lakeja monissa tapauksissa." [7] [8] $\hbar \to 0$

Polkuintegraalit

Kvanttimekaniikan muotoilussa polkuintegraaleina, polut, jotka antavat toiminnan arvon ja jotka eroavat huomattavasti stationaarisesta arvosta (määritetään pienimmän toiminnan periaatteesta ), antavat pienen panoksen lopulliseen siirtymän amplitudiin (äärittömän pieni ). osoitteessa ). Siten puoliklassisessa approksimaatiossa siirtymäamplitudin määräävät vain hiukkasten klassiset liikeradat (yksinkertaisimmassa liikkeen tapauksessa avaruudessa tällainen liikerata on ainutlaatuinen), joka määräytyy pienimmän toiminnan periaatteesta , ja Schrödingerin yhtälö menee Hamilton-Jacobin yhtälö . $S_{\mathrm {min} }\to \infty$ $S_{\mathrm {min} }\to \infty$

Katso myös

Linkit

"Toiminta"-artikkeli Encyclopedia of Physicsissa

Muistiinpanot

↑ Raportti Saksan fyysisen seuran kokouksessa 23. maaliskuuta 1906 Verh. d. Deutsch. Fys., s. 4, s. 136. - käännös saksasta - katso "Suhteellisuusperiaate. Kokoelma teoksia erityisestä suhteellisuusteoriasta”. - M.: Atomizdat , 1973. - S. 163.
↑ W. Pauli. § 31. Muuttumaton toimintaperiaate sähködynamiikassa // Suhteellisuusteoria / Toim. V. L. Ginzburg ja V. P. Frolov .. - 3., korjattu .. - M. : Nauka, 1991. - S. 125-127. — 328 s. - ISBN 5-02-014346-4 .
↑ Pohjimmiltaan tässä formulaatiossa puhumme propagaattorista ( Greenin funktiot ).
↑ Witten E. Kvanttikenttäteoria ja Jones-polynomi. - yhteisö. Matematiikka. Phys., 1989. - Vol. 121 , no. 3 . - S. 351-399 . - doi : 10.1007/BF01217730 .
↑ Alvarez-Gaume L. Supersymmetria ja Atiyah-Singerin indeksilause. - yhteisö. Matematiikka. Phys., 1983. - V. 90 , no. 2 . - S. 161-173 . - doi : 10.1007/BF01205500 .
↑ Kontsevich, M. Poisson- monitorien muodonmuutoskvantisointi . - matematiikan kirjaimet. Phys., 2003. - V. 66 , no. 3 . - S. 157-216 . - doi : 10.1023/B:MATH.0000027508.00421.bf .
↑ Dirac P. A. M. Tieteellisten julkaisujen kokoelma. - M .: Fizmatlit, 2003. - T. II Kvanttiteoria (tieteellisiä artikkeleita 1924-1947). - S. 67.
↑ Dirac P. A. M. Kvanttikenttäteorian luomiseen. Pääartikkelit 1925-1958. - M .: Nauka, 1990. - S. 34. - 368 s.