Puoliklassinen approksimaatio

Puoliklassinen approksimaatio , joka tunnetaan myös nimellä WKB ( Wentzel - Kramers - Brillouin ) -menetelmä, on tunnetuin esimerkki kvanttimekaniikan puoliklassisesta laskennasta , jossa aaltofunktio esitetään eksponentiaalifunktiona, puoliklassisesti laajennettuna, ja sitten joko amplitudi tai vaihe muuttuu hitaasti. Tämä menetelmä on nimetty fyysikkojen G. Wentzelin , H.A. Kramers ja L. Brillouin , jotka kehittivät tämän menetelmän vuonna 1926 toisistaan riippumatta. Vuonna 1923 matemaatikko Harold Jeffreykehitti yleisen menetelmän toisen asteen lineaaristen differentiaaliyhtälöiden likimääräiseen ratkaisuun, joka sisältää myös Schrödingerin yhtälön ratkaisun . Mutta koska Schrödingerin yhtälö ilmestyi kaksi vuotta myöhemmin, Wentzel ja Kramers ja Brillouin eivät ilmeisesti tienneet tätä aikaisempaa työtä.

Tietyssä mielessä historiallisesti puoliklassinen approksimaatio edelsi WKB-menetelmää ja aaltofunktion käsitettä yleensä: ns. " Vanha kvanttiteoria " tutki samaa rajoittavaa tapausta empiirisesti vuosina 1900-1925.

Johtopäätös

Alkaen yksiulotteisesta stationaarisesta Schrödingerin yhtälöstä:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)= E/Psi(x)

joka voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\oikea )\Psi(x)

edustamme aaltofunktiota toisen tuntemattoman funktion Φ eksponenttifunktiona

\Psi (x)=e^{{\Phi (x)))

Φ:n on täytettävä yhtälö

\Phi ''(x)+\left[\Phi '(x)\oikea]^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\ oikea)

jossa tarkoittaa johdannaista suhteessa x . Jaamme todellisiin ja kuvitteellisiin osiin ottamalla käyttöön todelliset funktiot A ja B : $\Phi '$ $\Phi$ $\Phi '(x)$

\Phi '(x)=A(x)+iB(x)

Silloin aaltofunktion amplitudi on , ja vaihe on . Schrödingerin yhtälöstä seuraa kaksi yhtälöä, jotka näiden funktioiden on täytettävä: ${\displaystyle e^{\int ^{x}A(x')dx'))$ ${\displaystyle {\int ^{x}B(x')dx'))$

A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\vasen(V(x)-E\oikea )\;

B'(x)+2A(x)B(x)=0,\;

Haluamme tarkastella puoliklassista approksimaatiota näiden yhtälöiden ratkaisemiseksi. Tämä tarkoittaa, että laajennamme jokaista funktiota potenssisarjana . Yhtälöistä nähdään, että potenssisarjan täytyy alkaa termillä , jotta yhtälön reaaliosa täyttyy. Mutta koska tarvitsemme hyvän klassisen rajan, haluamme myös aloittaa laajentamisen mahdollisimman suurella Planckin vakion teholla. $\hbar$ $\hbar ^{{-1}}$

A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{{i=0}}^{\infty }\hbar ^{i}A_{i}(x)

B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{{i=0}}^{\infty }\hbar ^{i}B_{i}(x)

Ensimmäiseen laajennuskertaan asti yhtälöt voidaan kirjoittaa muotoon

A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\vasen(V(x)-E\oikea)

A_{0}(x)B_{0}(x)=0

Jos amplitudi muuttuu heikommin kuin vaihe, voimme laittaa ja saada $A_{0}(x)=0$

B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(EV(x)\right)}}

Tämä on totta vain, jos kokonaisenergia on suurempi kuin potentiaalienergia. Samanlaisten laskelmien jälkeen seuraavaa pienuusluokkaa varten saamme

\Psi (x)\noin C{\frac {e^{{i\int dx{\sqrt ({\frac {2m}{\hbar ^{2))}\left(EV(x)\oikea)} }+\theta ))}{{\sqrt[ {4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2))}\left(EV(x)\oikea)))))

Toisaalta, jos vaihe muuttuu hitaasti amplitudiin verrattuna, asetetaan ja saadaan $B_{0}(x)=0$

A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\oikea)))

Tämä on totta, jos potentiaalienergia on suurempi kuin kokonaisenergia. Seuraavaa pienuusluokkaa varten saamme

\Psi (x)\noin {\frac {C_{{+}}e^{{+\int dx{\sqrt ({\frac {2m}{\hbar ^{2))}\left(V(x) )-E\oikea)))))+C_{{-}}e^{{-\int dx{\sqrt ({\frac {2m}{\hbar ^{2))}\left(V(x) )-E\oikea)}}}}}{{\sqrt[ {4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\oikea))) ) }}

On selvää, että nimittäjästä johtuen nämä molemmat likimääräiset ratkaisut eroavat lähellä klassista käännekohtaa, jossa u ei voi olla oikein. Meillä on likimääräisiä ratkaisuja kaukana mahdollisesta esteestä ja potentiaalisen mäen alapuolella. Kaukana potentiaaliesteestä, hiukkaset käyttäytyvät kuin vapaa aalto - vaihe värähtelee. Potentiaaliesteen alapuolella hiukkasen amplitudi muuttuu eksponentiaalisesti. $E=V(x)$

Ongelman ratkaisemiseksi täydellisesti meidän on löydettävä likimääräisiä ratkaisuja kaikkialla ja yhdistettävä kertoimet globaalin likimääräisen ratkaisun saamiseksi. Meidän on silti lähennettävä ratkaisu klassisten käännekohtien ympärille.

Merkitään klassista käännekohtaa . Lähellä , voidaan laajentaa peräkkäin. $x_{1}$ $E=V(x_{1})$ ${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\vasen(V(x)-E\oikea)$

{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\vasen(V(x)-E\oikea)=U_{1}(x-x_{1})+U_{2}(x-x_{ 1})^{2}+\cdots

Ensimmäisestä tilauksesta saamme

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}(x-x_{1})\Psi (x)

Sen ratkaisu lähellä käännekohtia on seuraava:

\Psi (x)={\sqrt {x-x_{1}}}\left(C_{{+{\frac {1}{3}}}}J_{{+{\frac {1}{3} ))}\left({\frac {2}{3}}{\sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{{{\frac {1}{3}}}}\ oikea)+C_{{-{\frac {1}{3)))J_{{-{\frac {1}{3))))\left({\frac {2}{3)){\ sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{{{\frac {1}{3}}}}\right)\right)

Käyttämällä tämän ratkaisun asymptotiikkaa voimme löytää suhteen ja välillä : $C,\theta$ $C_{{+}},C_{{-}}$

C_{{+}}={\frac {1}{2}}C\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}

C_{{-}}=-C\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}

Mikä päättää globaalin ratkaisun rakentamisen.

Kirjallisuus

Pokrovsky VL Kvasiklassinen approksimaatio. Arkistoitu 16. kesäkuuta 2011 Wayback Machinessa // Physical Encyclopedia. - T. 2. - M .: SE, 1990. - S. 252-255.
WKB-menetelmä. Arkistoitu 15. maaliskuuta 2012 Wayback Machinessa // Physical Encyclopedia. - T. 1. - M .: SE, 1988. - S. 285.
Freman H., Freman P. W. WKB-approximation. - M . : Mir, 1967. - 166 s.
Maslov VP, Fedoryuk MV Puoliklassinen approksimaatio kvanttimekaniikan yhtälöille. - M .: Nauka, 1976. - 296 s.