Paulin periaate

Paulin poissulkemisperiaate ( Paulin poissulkemisperiaate tai yksinkertaisesti poissulkemisperiaate ) on kvanttimekaaninen periaate, joka sanoo, että kaksi tai useampia identtisiä fermionia (hiukkasia, joiden spinin puoliin kokonaisluku ) ei voi olla samanaikaisesti samassa kvanttitilassa kvanttijärjestelmässä . Tämän periaatteen muotoili itävaltalainen fyysikko Wolfgang Pauli vuonna 1925 elektroneille , ja se laajennettiin sitten kaikkiin fermioneihin spin-tilastolauseessaan vuonna 1940 [1] .

Kun kyseessä ovat elektronit atomeissa, se voidaan muotoilla seuraavasti: on mahdotonta, että monielektronisen atomin kahdella elektronilla on samat neljän kvanttiluvun n , ( pääkvanttiluku ), l (kiertorata ) arvot. kvanttiluku) , m (magneettinen kvanttiluku) ja ms ( spin-projektion kvanttiluku ) . Esimerkiksi, jos kaksi elektronia ovat samalla kiertoradalla , niin niiden arvot kvanttilukujen kolminkertaiselle n, l, m  ovat samat, joten m s :n arvojen on oltava erilaisia, ja siten elektronien on oltava vastakkaisia spin-projektiot 1/2 ja −1/2 (h-yksiköissä).

Kokonaislukupartikkeleihin tai bosoneihin ei sovelleta Paulin poissulkemisperiaatetta: mikä tahansa määrä identtisiä bosoneja voi olla samassa kvanttitilassa, kuten esimerkiksi lasersäteilyn fotonit tai atomit Bose-Einstein-kondensaatissa .

Tiukempi lausunto koskee kahden identtisen hiukkasen vaihtoa: kokonaisaaltofunktio (monen hiukkasen) on antisymmetrinen fermioneille ja symmetrinen bosoneille. Tämä tarkoittaa, että jos kahden identtisen (identtisen) hiukkasen spatiaaliset ja spin-koordinaatit vaihdetaan keskenään , kokonaisaaltofunktio muuttaa etumerkkiä fermioneille eikä bosoneille.

Jos kaksi fermionia olisivat samassa tilassa (esimerkiksi atomin samalla kiertoradalla, jolla on sama spin), niiden uudelleenjärjestely ei muuttaisi mitään, eikä kokonaisaaltofunktio muuttuisi. Ainoa mahdollisuus, että kokonaisaaltofunktio muuttaa etumerkkiä, kuten fermioneille vaaditaan, ja pysyy muuttumattomana, on, jos se on yhtä suuri kuin nolla koko määritelmäalueella, mikä tarkoittaa, että sellaista tilaa ei ole. Tämä päättely ei päde bosoneihin, koska kokonaisaaltofunktion etumerkki ei muutu.

Paulin periaate voidaan muotoilla seuraavasti: yhdessä kvanttijärjestelmässä vain yksi fermion voi olla tietyssä kvanttitilassa, ja toisen tilan täytyy poiketa vähintään yhdellä kvanttiluvulla . Tilastollisessa fysiikassa Paulin periaate muotoillaan joskus miehityslukuina : identtisten hiukkasten järjestelmässä, jota kuvataan antisymmetrisellä aaltofunktiolla, miehitysluvuilla voi olla vain kaksi arvoa . Paulin periaatteelle ei ole olemassa klassista analogia [2] .

Yleiskatsaus

Paulin poissulkemisperiaate kuvaa kaikkien fermionien (hiukkaset, joilla on "puolikokoinen spin ") käyttäytymistä, kun taas bosonit (hiukkaset, joilla on "kokonaislukuspin") noudattavat erilaisia ​​periaatteita. Fermioneihin kuuluvat alkuainehiukkaset , kuten kvarkit , elektronit ja neutriinot . Lisäksi baryonit, subatomiset hiukkaset , jotka koostuvat kolmesta kvarkista, kuten protoneista ja neutroneista , ja joistakin atomeista (esim . helium-3 ) ovat fermioneja ja siksi myös niihin sovelletaan poissulkemisperiaatetta. Atomilla voi olla erilaisia ​​kokonaispyörteitä, jotka määrittävät, ovatko ne fermioneja vai bosoneja – esimerkiksi helium-3 :n spin on 1/2, joten se on fermion, toisin kuin helium-4, jonka spin on 0 ja joka on bosoni. [3] :123–125 Näin ollen Paulin poissulkemisperiaate on monien arkipäiväisen aineen ominaisuuksien taustalla sen laajamittaisesta stabiilisuudesta atomien kemialliseen käyttäytymiseen .

"Puolikokonaisluvun spin" tarkoittaa, että fermionien sisäisen kulmamomentin arvo kerrotaan (alennettu Planckin vakio) puolikokonaisluvulla (1/2, 3/2, 5/2 jne.). Kvanttimekaniikassa fermioneja kuvataan antisymmetrisillä tiloilla . Sitä vastoin kokonaisluku-spin-hiukkasilla on symmetrisiä aaltofunktioita; toisin kuin fermioneilla, niillä voi olla samat kvanttiluvut. Bosonit sisältävät fotonit , suprajohtavuudesta vastaavat Cooper-parit sekä W- ja Z-bosonit. (Fermionit saavat nimensä tilastollisesta Fermi-Dirac-jakaumasta , jota he noudattavat, kun taas bosonit ovat saaneet nimensä Bose-Einstein-jakaumasta .)

Historia

1900-luvun alussa kävi ilmi, että atomit ja molekyylit, joissa on parillinen määrä elektroneja, olivat kemiallisesti stabiilimpia kuin ne, joissa on pariton määrä elektroneja. Esimerkiksi Gilbert N. Lewisin vuoden 1916 artikkelissa "The Attom and the Molecule" kolmas hänen kuudesta kemiallista käyttäytymistä koskevasta postulaatistaan ​​väittää, että atomilla on taipumus pitää parillisen määrän elektroneja missä tahansa kuoressa ja erityisesti pitää sisällään kahdeksan elektronia, joiden uskotaan yleensä sijoittuneen symmetrisesti kuution kahdeksaan kulmaan. [4] Vuonna 1919 kemisti Irving Langmuir ehdotti, että jaksollinen laki voitaisiin selittää, jos atomin elektronit olisivat liittyneet tai klusteroituneet jollain tavalla. Elektroniryhmien uskottiin miehittävän joukon elektronikuoria ytimen ympärillä. [5] Vuonna 1922 Niels Bohr kehitti atomimallinsa olettaen, että tietty määrä elektroneja (esim. 2, 8 ja 18) vastasi stabiileja "suljettuja kuoria". [6] :203

Pauli etsi selitystä näille numeroille, jotka olivat aluksi puhtaasti empiirisiä . Samalla hän yritti selittää Zeeman-ilmiön kokeellisia tuloksia atomispektroskopiassa ja ferromagnetismissa . Hän löysi tärkeän vihjeen Edmund Stonerin vuonna 1924 julkaisemasta paperista, joka osoitti, että pääkvanttiluvun ( n ) tietyllä arvolla yksittäisen elektronin energiatasojen lukumäärä alkalimetallin spektrissä ulkoisessa magneettikentässä. , jossa kaikki rappeutuneet energiatasot on erotettu toisistaan, on sama kuin elektronien lukumäärä jalokaasujen suljetussa kuoressa samalla n: n arvolla . Tämä sai Paulin ymmärtämään, että elektronien kompleksiluku suljetuissa kuorissa voidaan vähentää yksinkertaiseen sääntöön yhdelle elektronille tilaa kohti, jos elektroniset tilat määritellään käyttämällä neljää kvanttilukua. Tätä tarkoitusta varten hän esitteli uuden kaksinumeroisen kvanttiluvun, jonka Samuel Goudsmit ja George Uhlenbeck tunnistivat elektronin spiniksi . [7] [8]

Suhde kvanttitilan symmetriaan

Paulin poissulkemisperiaate yksiarvoisella monen hiukkasen aaltofunktiolla vastaa vaatimusta, että aaltofunktio on antisymmetrinen hiukkasten vaihdon suhteen . Jos ja kulkevat yksipartikkelijärjestelmää kuvaavien Hilbert-avaruuden kantavektorien läpi , niin niiden tensoritulo antaa kahden tällaisen hiukkasen järjestelmää kuvaavan Hilbert-avaruuden kantavektorit. Mikä tahansa kahden hiukkasen tila voidaan esittää näiden kantavektoreiden superpositiona (eli summana):

jossa jokainen kompleksitekijä A ( x , y )  on skalaarikerroin. Antisymmetria hiukkasten vaihdossa tarkoittaa, että A ( x , y ) = − A ( y , x ) . Tästä seuraa, että A ( x , y ) = 0 , kun x = y , mikä tarkoittaa Paulin poissulkemisperiaatteen matemaattista muotoilua. Tämä pätee mille tahansa perustalle, koska paikalliset muutokset kantaan pitävät antisymmetriset matriisit antisymmetrisinä.

Päinvastoin, jos diagonaalisuureet A ( x , x ) ovat nollia jokaisessa kannassa , niin aaltofunktiokomponentti

on välttämättä antisymmetrinen. Tämän todistamiseksi harkitse matriisielementtiä

Toisaalta tämä lauseke on yhtä suuri kuin nolla, koska kahdella hiukkasella on nolla todennäköisyys olla superpositiotilassa. . Mutta se on myös sama

Ensimmäinen ja viimeinen termi ovat diagonaalisia elementtejä ja ovat yhtä kuin nolla, ja koko summa on yhtä suuri kuin nolla. Siten aaltofunktioiden matriisin elementit noudattavat:

tai

Järjestelmässä, jossa on n > 2 hiukkasta, monen hiukkasen perustilat muuttuvat yhden hiukkasen perustilojen n -kertaisiksi tensorituloiksi, ja aaltofunktiokertoimet saadaan n yhden hiukkasen tilassa. Antisymmetriaehto sanoo, että kertoimien on vaihdettava etumerkkiään aina, kun kaksi tilaa muuttuvat: mille tahansa parille . Poissulkemisperiaate on seurausta siitä tosiasiasta, että jos jollekin niin Tarkoittaa, että mikään n :stä hiukkasesta ei voi olla samassa kvanttitilassa.

Kehittynyt kvanttiteoria

Spin-statistiikan teoreeman mukaan kokonaislukuspin omaavien hiukkasten kvanttitilat kuvataan symmetrisillä aaltofunktioilla ja puolikokonaislukuspin omaavien hiukkasten kvanttitilat antisymmetrisillä aaltofunktioilla. Lisäksi kvanttimekaniikan periaatteet sallivat vain spinin kokonaisluku- ja puolikokonaislukuarvojen olemassaolon (kolmiulotteisessa avaruudessa). Relativistisessa kvanttikenttäteoriassa Paulin periaate seuraa rotaatiooperaattorin soveltamisesta kuvitteellisessa ajassa hiukkasiin, joilla on puolikokonaisluvun spin.

Yhdessä ulottuvuudessa bosonit, kuten fermionit, noudattavat myös poissulkemisperiaatetta. Yksiulotteinen Bose-kaasu, jolla on äärettömät hylkivät deltafunktiot, vastaa vapaiden fermionien kaasua. Syynä tähän on se, että yhdessä ulottuvuudessa hiukkasten vaihto edellyttää niiden kulkemista toistensa läpi; äärettömän voimakkaalla vastenmielisyydellä tämä ei voi tapahtua. Tällaista mallia kuvaa kvanttiepälineaarinen Schrödingerin yhtälö . Momenttiavaruudessa Paulin poissulkemisperiaate pätee myös rajalliseen hylkimiseen Bose-kaasussa, jossa on deltafunktionaalisia vuorovaikutuksia [9] , samoin kuin vuorovaikutuksessa oleville spineille , yksiulotteiselle Hubbard-mallille ja myös muille malleille, jotka voidaan ratkaista. käyttämällä Bethe ansatzia . Bethe ansatzilla ratkaistavissa malleissa perustilaa edustaa Fermi-pallo .

Sovellukset

Atomit

Paulin poissulkemisperiaate auttaa selittämään monenlaisia ​​fysikaalisia ilmiöitä. Yksi tämän periaatteen tärkeimmistä seurauksista on atomien elektronikuoren monimutkainen rakenne ja elektronien vaihtotapa atomien välillä, mikä selittää kemiallisten alkuaineiden ja niiden kemiallisten yhdisteiden monimuotoisuuden. Sähköisesti neutraalissa atomissa sitoutuneiden elektronien lukumäärä on yhtä suuri kuin protonien lukumäärä ytimessä . Elektronit, koska ne ovat fermioneja, eivät voi olla samassa kvanttitilassa kuin muut elektronit, joten elektronien on oltava eri spinejä samalla elektroniradalla, kuten alla on kuvattu.

Esimerkki on neutraali heliumatomi , jossa on kaksi sitoutunutta elektronia, joista kukin voi miehittää pienimmän energian tilat ( 1s ) ja saa siten vastakkaisia ​​spinejä. Koska spin on osa elektronin kvanttitilaa, nämä kaksi elektronia ovat eri kvanttitiloissa eivätkä riko Paulin periaatetta. Spin voi kuitenkin saada vain kaksi eri arvoa ( ominaisarvoja ). Litiumatomissa , jossa on kolme sitoutunutta elektronia, kolmas elektroni ei voi olla 1s - tilassa, vaan sen on sen sijaan oltava jokin korkeamman energian 2s-tiloista. Samoin peräkkäin raskaammilla elementeillä tulisi olla korkeampi energiakuori. Alkuaineen kemialliset ominaisuudet riippuvat suurelta osin ulkokuoressa olevien elektronien lukumäärästä. Atomilla, joissa on eri määrä elektronikuoria, mutta ulkokuoressa on sama määrä elektroneja, on samanlaiset ominaisuudet, mikä on kemiallisten alkuaineiden ominaisuuksien taustalla [10] :214–218 .

Testatakseen Paulin poissulkemisperiaatetta He-atomille Gordon Drake [11] laski erittäin tarkasti sitä rikkovien He-atomin hypoteettisten tilojen energiat, niin sanotut paron- tilat (parafermion-tilat) . Myöhemmin K. Deilamian et ai. [12] käytti atomisädespektrometriä etsiessään Draken laskemaa 1s2s 1 S 0 -höyryn tilaa . Haku osoittautui epäonnistuneeksi ja osoitti, että tämän paron-tilan tilastollisen painon yläraja on 5x10 −6 . (Poissulkemisperiaate tarkoittaa nollapainoa.)

Jäykän kappaleen ominaisuudet

Johtimissa ja puolijohteissa on erittäin suuri määrä molekyyliratoja , jotka muodostavat tehokkaasti jatkuvan energiatasojen kaistarakenteen . Johtimissa ( metalleissa ) elektronikaasu on niin rappeutunut , ettei se voi edes vaikuttaa paljoakaan metallin lämpökapasiteettiin korkeissa lämpötiloissa. [13] :133–147 Monet kiinteiden aineiden mekaaniset, sähköiset, magneettiset, optiset ja kemialliset ominaisuudet ovat suora seuraus Paulin poissulkemisesta.

Aineen stabiilisuus

Jokaisen atomin elektronitilan stabiilisuutta kuvaa atomin kvanttiteoria, joka osoittaa, että elektronin lähestyminen ytimeen lisää välttämättä elektronin kineettistä energiaa Heisenbergin epävarmuusperiaatteen mukaisesti. [14] Kuitenkin suurten, monia elektroneja ja nukleoneja sisältävien järjestelmien stabiilius  on toinen asia, joka vaatii Paulin poissulkemisperiaatteen soveltamista.

On osoitettu, että Paulin poissulkemisperiaate on vastuussa myös siitä, että tavallinen aine on stabiilia ja vie tilaa. Tämän oletuksen teki ensimmäisen kerran vuonna 1931 Paul Ehrenfest , joka huomautti, että atomin elektronit eivät voi kaikki pudota kiertoradalle, jolla on pienin energia, ja niiden on sijaittava ytimestä yhä kauempana olevissa kuorissa (kiertoradat, joilla on suuret pääkvanttiluvut). Siksi atomit vievät tilavuuden eikä niitä voi puristaa liikaa normaaleissa olosuhteissa. [viisitoista]

Tarkemman todisteen esittivät vuonna 1967 Freeman Dyson ja Andrew Lenard ( de ), jotka tarkastelivat houkuttelevien (elektroni-ydin) ja hylkivien (elektroni-elektroni ja ydin-ydin) voimien tasapainoa ja osoittivat, että tavallinen aine romahtaa ja miehittää . paljon pienempi tilavuus ilman Pauli-periaatetta. [16] [17]

Paulin periaatteesta seuraa, että elektronit, joilla on sama spin , erotetaan avaruudellisesti hylkivällä vaihtovuorovaikutuksella , joka on lyhyen kantaman vaikutus, joka toimii yhdessä pitkän kantaman sähköstaattisen tai Coulombin voiman kanssa . Tämä vaikutus on osittain vastuussa makroskooppisen maailman jokapäiväisestä havainnosta, kun kaksi kiinteää esinettä ei voi olla samassa paikassa samaan aikaan.

Astrofysiikka

Dyson ja Lenard eivät huomioineet äärimmäisiä magneettisia tai gravitaatiovoimia, joita esiintyy joissakin tähtitieteellisissä kohteissa. Vuonna 1995 Elliot Lieb ja kollegat osoittivat, että Paulin periaate johtaa edelleen aineen stabiilisuuteen voimakkaissa magneettikentissä, kuten neutronitähdissä , vaikkakin paljon suuremmalla tiheydellä kuin tavallisessa aineessa. [18] Yleisestä suhteellisuusteoriasta seuraa, että riittävän voimakkaiden gravitaatiokenttien alla aine romahtaa muodostaen mustan aukon .

Tähtitiede tarjoaa vaikuttavia esimerkkejä Paulin periaatteen vaikutuksesta aineeseen valkoisten kääpiöiden ja neutronitähtien muodossa . Molemmissa kappaleissa atomirakenne rikkoutuu äärimmäisen paineen vaikutuksesta, mutta tähdet pitää hydrostaattisessa tasapainossa rappeutumispaineen avulla , joka tunnetaan myös nimellä Fermi-paine. Tämä eksoottinen aineen muoto tunnetaan rappeutuneena aineena . Tähden massan valtava gravitaatiovoima pysyy yleensä tasapainossa tähden ytimessä fuusiossa vapautuvan lämmön aiheuttaman lämpöpaineen avulla. Valkoisissa kääpiöissä, joissa ydinfuusioreaktioita ei tapahdu, painovoimaa vastustava voima saadaan elektronien rappeutumispaineesta . Neutronitähdissä , joille kohdistuu vieläkin voimakkaampia gravitaatiovoimia, elektronit sulautuivat protonien kanssa muodostaen neutroneja . Neutronit pystyvät tuottamaan vielä korkeamman rappeutumispaineen, neutronien rappeutumispaineen , vaikkakin kapeamman alueen. Tämä stabiloi neutronitähdet luhistumiselta, mutta pienemmällä koossa ja tiheydellä kuin valkoisissa kääpiöissä. Neutronitähdet ovat "vaikeimpia" tunnettuja esineitä; heidän Youngin moduuli (tarkemmin sanottuna bulkkimoduuli ) on 20 suuruusluokkaa suurempi kuin timantin . Kuitenkin jopa tämä valtava jäykkyys voidaan voittaa neutronitähden gravitaatiokentällä , jonka massa ylittää Tolman-Oppenheimer-Volkov-rajan , mikä johtaa mustan aukon muodostumiseen . [19] :286–287

Muistiinpanot

  1. ↑ V. Pauli Kiellon periaate, Lorentzin ryhmä, tilan, ajan ja varauksen heijastus // Niels Bohr ja fysiikan kehitys. - M., IL, 1958. - s. 46-74
  2. ↑ Mikrokosmoksen fysiikka. - M., Neuvostoliiton tietosanakirja, 1980. - s. 304
  3. ↑ Kenneth S. Krane. Johdatus ydinfysiikkaan. - Wiley, 5. marraskuuta 1987. - ISBN 978-0-471-80553-3 .
  4. ↑ Linus Pauling ja The Nature of the Chemical Bond: A Documentary History . Erikoiskokoelmat ja arkistojen tutkimuskeskus - Oregon State University. Haettu 19. maaliskuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 3. marraskuuta 2013.
  5. ↑ Langmuir, Irving (1919). "Elektronien järjestys atomeissa ja molekyyleissä" (PDF) . American Chemical Societyn lehti . 41 (6): 868-934. DOI : 10.1021/ja02227a002 . Arkistoitu alkuperäisestä (PDF) 2012-03-30 . Haettu 2008-09-01 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
  6. ↑ Shaviv, Glora. Tähtien elämä: Tähtien rakenneteorian kiistanalainen alku ja synty. - Springer, 2010. - ISBN 978-3642020872 .
  7. ↑ Straumann, Norbert (2004). "Atomien poissulkemisperiaatteen rooli tähtiin: historiallinen kertomus." Kutsupuhe 12. ydinastrofysiikan työpajassa . arXiv : quant-ph/0403199 . Bibcode : 2004quant.ph..3199S . Tuntematon parametri |ссылка=( ohje )
  8. ↑ Pauli, W. (1925). "Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Complexstruktur der Spektren". Zeitschrift fur Physik . 31 (1): 765-783. Bibcode : 1925ZPhy...31..765P . DOI : 10.1007/BF02980631 .
  9. ↑ A. G. Izergin (heinäkuu 1982). "Pauli-periaate yksiulotteisille bosoneille ja algebrallinen bethe ansatz" (PDF) . Matemaattisen fysiikan kirjaimet . 6 (4): 283-288. Bibcode : 1982LMaPh...6..283I . DOI : 10.1007/BF00400323 . Arkistoitu (PDF) alkuperäisestä 25.11.2018 . Haettu 19.03.2021 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
  10. ↑ Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2. painos) , Prentice Hall, ISBN 0-13-111892-7 
  11. ↑ Drake, GWF (1989). "Ennustetut energiasiirtymät "paroniselle" heliumille" . Phys. Rev. A. _ 39 (2): 897-899. Bibcode : 1989PhRvA..39..897D . DOI : 10.1103/PhysRevA.39.897 . PMID  9901315 . Arkistoitu alkuperäisestä 2021-03-03 . Haettu 19.03.2021 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
  12. ↑ Deilamian, K. (1995). "Etsi pieniä poikkeamia symmetrisaatiopostulaatista heliumin virittyneessä tilassa". Phys. Rev. Lett . 74 (24): 4787-4790. Bibcode : 1995PhRvL..74.4787D . DOI : 10.1103/PhysRevLett.74.4787 . PMID  10058599 .
  13. ↑ Kittel, Charles (2005), Introduction to Solid State Physics (8. painos), USA: John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-41526-8 
  14. ↑ Lieb, Elliott H. (2002). "Aineen stabiilius ja kvanttielektrodynamiikka". arXiv : math-ph/0209034 . Bibcode : 2002math.ph...9034L . Tuntematon parametri |ссылка=( ohje )
  15. ↑ Kuten F.J. Dyson (J.Math.Phys. 8 , 1538-1545 (1967)) kuvaili, Ehrenfest esitti tämän ehdotuksen puheessaan Lorentz-mitalin myöntämisen yhteydessä Paulille.
  16. ↑ FJ Dyson ja A. Lenard : Aineen vakaus , osat I ja II
  17. ↑ Dyson, Freeman (1967). "Varattujen hiukkasten äärellisen järjestelmän perustilaenergia" . J Math. Phys . 8 (8): 1538-1545. Bibcode : 1967JMP.....8.1538D . DOI : 10.1063/1.1705389 .
  18. ↑ Lieb, EH (1995). "Materian stabiilisuus magneettikentissä". Physical Review Letters . 75 (6): 985-9. arXiv : cond-mat/9506047 . Bibcode : 1995PhRvL..75..985L . DOI : 10.1103/PhysRevLett.75.985 . PMID  10060179 .
  19. ↑ Martin Bojowald. Universumi: näkymä klassisesta ja kvanttigravitaatiosta. - ISBN 978-3-527-66769-7 .

Kirjallisuus