Fermi-Dirac tilastot

Fermi-Dirac-tilastot - kvanttitilastot, joita sovelletaan identtisten fermionien järjestelmiin (hiukkaset, joilla on puolikokonaisluku , Paulin periaatetta noudattaen : yhtä kvanttitilaa ei voi miehittää useampi kuin yksi hiukkanen). Määrittää todennäköisyyden , jolla termodynaamisessa tasapainossa olevan järjestelmän tietyllä energiatasolla on fermion .

Fermi-Dirac-tilastoissa energiaa sisältävien hiukkasten keskimääräinen lukumäärä on $n_{i}$ $\varepsilon_i$

n_{i}={\frac {g_{i}}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon _{i}-\mu }{kT}}\right)+1}}

missä on rappeutumisen monikerta (energian omaavan hiukkasen tilojen lukumäärä ), on kemiallinen potentiaali (nollalämpötilassa on yhtä suuri kuin Fermin energia ), on Boltzmannin vakio , on absoluuttinen lämpötila . $g_i$ $\varepsilon_i$ $\mu$ $E_F$ $k$ $T$

Ihanteellisessa Fermi-kaasussa matalissa lämpötiloissa . Tässä tapauksessa, jos , hiukkasten tason miehityksen lukumäärän (osuuden) funktiota kutsutaan Fermi-funktioksi : $\mu=E_F$ $g_i=1$

F(\varepsilon ,T)={\frac {1}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon -E_{F}}{kT}}\right)+1)).

Tämän tilaston ehdottivat vuonna 1926 italialainen fyysikko Enrico Fermi ja samaan aikaan englantilainen fyysikko Paul Dirac , jotka saivat selville sen kvanttimekaanisen merkityksen. Vuonna 1927 Arnold Sommerfeld sovelsi tilastoja metallin elektroneihin .

Fermi-Dirac tilastojen ominaisuudet

Fermi-Dirac-toiminnolla on seuraavat ominaisuudet:

mittaamaton;
ottaa todelliset arvot välillä 0 - 1;
vähenee energian myötä, putoaa jyrkästi lähelle kemiallista potentiaalia vastaavaa energiaa;
absoluuttisessa nollassa se näyttää askeleelta, jossa on hyppy 1:stä 0: aan pisteessä , ja lämpötilan noustessa hyppy korvataan yhä tasaisemmalla laskulla; $\varepsilon =\mu$
aina lämpötilasta riippumatta. $\varepsilon =\mu$ $F=1/2$

Matemaattinen ja fyysinen merkitys

Fermi-Dirac-funktio asettaa kvanttitilojen miehitysluvut ( englanniksi occupancy factor ). Vaikka sitä kutsutaan usein "jakaumaksi", se ei todennäköisyysteorian kannalta ole jakauman funktio eikä jakauman tiheys . Sanotaan, että tämän funktion osalta normalisointikysymystä ei voida esittää . $F(\varepsilon ,T)$

Tietoa täytettyjen tilojen prosenteista funktio ei kerro mitään näiden tilojen olemassaolosta. Järjestelmille, joilla on diskreetit energiat, niiden mahdollisten arvojen joukko annetaan luettelosta jne ., ja järjestelmille, joissa on jatkuva energioiden spektri, tiloille on ominaista " tilojen tiheys " (J -1 tai J - 1 m -3 ). Toiminto $F(\varepsilon ,T)$ $\varepsilon_{1}$ $\varepsilon _{2}$ $\rho (\varepsilon )$

f(\varepsilon )=\left(\int \rho (\varepsilon )F(\varepsilon )d\varepsilon \right)^{-1}\rho (\varepsilon )F(\varepsilon )

on hiukkasten energian jakautumistiheys (J -1 ) ja on normalisoitu. Väite jätetään pois lyhyyden vuoksi . Perinteisimmissä tapauksissa $T$ $\rho (\varepsilon )\sim {\sqrt {\varepsilon }}$

Klassinen (maxwellilainen) raja

Korkeissa lämpötiloissa ja/tai alhaisissa hiukkaspitoisuuksissa Fermi-Dirac-tilastot (samoin kuin Bose-Einstein-tilastot ) muuttuvat Maxwell-Boltzmann-tilastoksi . Nimittäin näissä olosuhteissa

F(\varepsilon )=\exp \left({\frac {E_{F}-\varepsilon }{kT}}\right)

Kun tilatiheys on korvattu ja 0:sta integroitu , lauseke saa muodon $\rho (\varepsilon )$ $\varepsilon$ $+\infty$ $f$

f(\varepsilon )={\frac {2\pi {\sqrt {\varepsilon ))}{\sqrt {(\pi kT)^{3))))\exp \left(-{\frac {\varepsilon }{kT}}\right)

Tämä on Maxwell-jakauman tiheys (energioissa).

Maxwell-jakauma (joka toimii erityisen hyvin kaasuille) kuvaa klassisia "erotettavissa olevia" hiukkasia. Toisin sanoen konfiguraatioita "hiukkanen tilassa 1 ja hiukkanen tilassa 2" ja "hiukkanen tilassa 1 ja hiukkanen tilassa 2" pidetään erilaisina. $A$ $B$ $B$ $A$

Fermi-Dirac-tilastojen soveltaminen

Soveltamisalan ominaisuudet

Fermi-Dirac-tilastoja sekä Bose-Einstein-tilastoja käytetään tapauksissa, joissa on tarpeen ottaa huomioon kvanttivaikutukset ja hiukkasten "erottamattomuus". Erotettavuusparadigmassa kävi ilmi, että hiukkasten jakautuminen energiatiloihin johtaa ei-fysikaalisiin tuloksiin entropialle , joka tunnetaan Gibbsin paradoksina . Tämä ongelma katosi, kun kävi selväksi, että kaikki hiukkaset ovat erottamattomia.

Fermi-Dirac-tilasto koskee fermioneja (Pauli-periaatteen alaisia hiukkasia) ja Bose-Einstein- tilasto bosoneja . Kvanttiefektit ilmestyvät, kun hiukkasten pitoisuus (missä on hiukkasten lukumäärä, on tilavuus, on kvanttipitoisuus). Kvantti on pitoisuus, jossa hiukkasten välinen etäisyys on verrannollinen de Broglien aallonpituuteen , eli hiukkasten aaltofunktiot ovat kosketuksissa, mutta eivät mene päällekkäin. Kvanttipitoisuus riippuu lämpötilasta. $N/V\geqslant n_q$ $N$ $V$ $n_q$

Erityisiä esimerkkejä

Fermi-Dirac-tilastoa käytetään usein kuvaamaan elektronien joukon käyttäytymistä kiinteissä aineissa; Monet puolijohteiden ja elektroniikan teorian säännökset perustuvat siihen. Esimerkiksi elektronien ( aukkojen ) pitoisuus puolijohteen johtavuuskaistalla ( valenssikaistalla ) tasapainotilassa lasketaan

n=\int \limits _{E_{c}}^{+\infty }\rho (\varepsilon )F(\varepsilon )\,d\varepsilon ,\quad p=\int \limits _{- \infty }^{E_{v}}\rho (\varepsilon )(1-F(\varepsilon ))\,d\varepsilon

missä ( ) on johtavuuskaistan alaosan ( valenssikaistan yläosan ) energia . Tunnelointivirran kaava kahden kvanttipotentiaaliesteen erottaman alueen välillä on yleinen muoto $E_{c}$ $E_{v}$

j={\mbox{const}}\cdot \int \Theta (\varepsilon )\left[F_{L}(\varepsilon )-F_{R}(\varepsilon )\right]\,d\varepsilon

missä on esteen läpinäkyvyyskerroin ja , ovat Fermi-Dirac-funktiot esteen vasemmalla ja oikealla puolella olevilla alueilla. $\Theta$ $F_{L}$ $F_{R}$

Fermi-Dirac-jakauman johtaminen

Tarkastellaan hiukkasen tilaa monista hiukkasista koostuvassa järjestelmässä. Olkoon tällaisen hiukkasen energia . Esimerkiksi, jos järjestelmämme on eräänlainen kvanttikaasu "laatikossa", niin tällaista tilaa voidaan kuvata osittaisella aaltofunktiolla. Tiedetään, että suuren kanonisen yhtyeen jakelufunktiolla on muoto $\varepsilon$

Z=\sum_s e^{-(E(s)-\mu N(s))/kT},

missä on tilan energia , on tilassa olevien hiukkasten lukumäärä , on kemiallinen potentiaali , on järjestelmän kaikkien mahdollisten mikrotilojen läpi kulkeva indeksi. $E(t)$ $s$ $N(s)$ $s$ $\mu$ $s$

Tässä yhteydessä järjestelmällä on kiinteät tilat. Jos jokin tila on hiukkasten käytössä, niin järjestelmän energia on . Jos tila on vapaa, energian arvo on 0 . Käsittelemme yhden hiukkasen tasapainotiloja säiliönä . Kun järjestelmä ja säiliö ovat miehittäneet saman fyysisen tilan, hiukkasten vaihto kahden tilan välillä alkaa tapahtua (itse asiassa tämä on ilmiö, jota tutkimme). Tästä käy selväksi, miksi käytetään yllä kuvattua jakautumisfunktiota, joka kemiallisen potentiaalin kautta ottaa huomioon hiukkasten virtauksen järjestelmän ja säiliön välillä. $n$ $n\cdot\varepsilon$

Fermioneille jokainen tila voi olla joko yhden hiukkasen miehitetty tai vapaa. Siksi järjestelmässämme on kaksi joukkoa: varattu (tietysti yhdellä hiukkasella) ja miehittämättömät tilat, joita merkitään ja vastaavasti. Voidaan nähdä, että , , ja , . Siksi jakelufunktio saa muotoa: $s_{1}$ $s_{2}$ $E(s_1)=\varepsilon$ $N(s_1) = 1$ $E(s_2)=0$ $N(s_2) = 0$

Z=\sum_{i=1}^2 e^{-(E(s_i)-\mu N(s_i))/kT}=e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}+1.

Suurelle kanoniselle kokonaisuudelle todennäköisyys, että järjestelmä on mikrotilassa , lasketaan kaavalla $s_\alpha$

P(s_\alpha)=\frac{e^{-(E(s_\alpha)-\mu N(s_\alpha))/kT}}{Z}.

Hiukkasen miehittämän tilan olemassaolo tarkoittaa, että järjestelmä on mikrotilassa , jonka todennäköisyys on $s_{1}$

\bar{n}=P(s_1)=\frac{e^{-(E(s_1)-\mu N(s_1))/kT}}{Z}=\frac{e^{-(\varepsilon- \mu)/kT}}{e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}+1}=\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}.

$\bar{n}$ kutsutaan Fermi-Dirac-jakaumaksi . Kiinteällä lämpötilalla on todennäköisyys, että energiatila on fermionin käytössä. $T$ $\bar{n}(\varepsilon)$ $\varepsilon$

Otamme huomioon, että energiatasolla on rappeutumista . Nyt voit tehdä yksinkertaisen muutoksen: $\varepsilon$ $g_\varepsilon$

\bar{n}=g_\varepsilon\cdot\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}.

Tässä on odotettu hiukkasten osuus kaikissa energiatiloissa . ${\bar {n}}={\bar {n}}(\varepsilon )$ $\varepsilon$

Lämpötilan vaikutuksen tarkentaminen

Järjestelmissä, joiden lämpötila on alle Fermin lämpötilan ja joskus (ei aivan oikein) korkeammissa lämpötiloissa, käytetään likiarvoa . Mutta yleensä kemiallinen potentiaali riippuu lämpötilasta, ja useissa ongelmissa tämä riippuvuus on otettava huomioon. Funktio esitetään millä tahansa tarkkuudella potenssisarjalla suhteen parillisissa potenssiissa : $T$ $T_{F}=E_{F}/k$ $\mu\noin E_F$ $\mu$ $T/T_{F}<1$

\mu =E_{F}\sum _{n=0,1,2\dots }{\left[(-1)^{n}{\frac {\pi ^{2n}}{2^ {2n}(2n+1)}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{2n}\right]}=E_{F}\vasen[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\vasen({\frac {kT}{E_{F}}}\oikea)^{2}+{\frac {\pi ^{4}}{80} }\left({\frac {kT}{E_{F}}}\oikea)^{4}+\ldots \right]

Katso myös

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani Hienoa norjalaista Iso venäläinen Britannica (verkossa)

Aineen termodynaamiset tilat

Vaiheen tilat

Kokoamistila Vaiheen tasapaino Vaiheen sääntö vaihekaavio Tilayhtälö
Kiinteä	kiteitä Yksikiteinen monikiteinen Kristalliitti
mesofaasi	Amorfiset ruumiit lasimainen tila nestekide Nemaattinen Smektinen kolesterinen Kolumnivaihe Mesogen Kalvo
Nestemäinen	Ihanteellinen neste Metastable tila tulistettua nestettä alijäähtynyttä nestettä venytetty neste Sulaminen ylikriittinen neste
Kaasu	Ihanteellinen kaasu oikeaa kaasua Steam Tyydytetty höyry tulistettua höyryä ylikyllästetty höyry
Plasma	sähkömagneettinen Quark-gluon plasma Glazma
Matala lämpötila	bosen kondensaatti Fermioninen kondensaatti kvanttikaasu bose kaasu Fermi kaasu rappeutunut kaasu kvantti neste bosen nestettä Fermi neste supernesteinen kiinteä aine Ilmiöitä Superfluiditeetti Suprajohtavuus
muu	outo asia fotoninen molekyyli värillinen lasi kondensaatti

Vaiheen siirtymät

Ensimmäinen laji

Toinen laji

sähköisissä ilmiöissä	ferrosähköinen Antiferrosähköinen
magneettisissa ilmiöissä	ferromagneetteja Paramagneetit Antiferromagneetit

kvantti

lambda piste

Hajotusjärjestelmät

Geelit
- Airgel
Ratkaisut
kolloidijärjestelmät
- karkea
- Vapaasti hajaantunut kolloidinen
Sol
Suihkepullo
- Savu
- Pöly
- Sumu
- sumu
Jousitus
Emulsio

Katso myös