Power-sarja

Yhden muuttujan potenssisarja on muodon formaalinen algebrallinen lauseke:

F(X)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}a_{n}X^{n},

jossa kertoimet on otettu jostain renkaasta . ${a_{n}}$ ${R}$

Power series space

Potenttisarjojen avaruus , jossa on yksi muuttuja ja kertoimet alkaen, on merkitty . Avaruudella on renkaan päällä olevan differentiaalialgebran rakenne ( kommutatiivinen , integraali , yksiköllä jos niin on rengas ). Sitä käytetään usein matematiikassa, koska muodolliset differentiaalialgebralliset ja jopa funktionaaliset suhteet ovat siinä helposti esitettävissä ja ratkaistavissa (katso funktioiden generointimenetelmä ). Sitä käytettäessä nämä suhteet muuttuvat sarjan kertoimien algebrallisiksi yhtälöiksi. Jos ne ratkaistaan, puhutaan muodollisen ratkaisun saamisesta alkuperäiseen ongelmaan muodollisen potenssisarjan muodossa. ${R}$ $R[[X]]$ $R[[X]]$ ${R}$ ${R}$

Summa- , kerto-, muodollinen differentiaatio- ja muodollinen superpositiooperaatiot määritellään . Päästää $R[[X]]$

F(X)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}a_{n}X^{n},G(X)=\sum \limits _{{n=0} }^{{\infty }}b_{n}X^{n},H(X)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}c_{n}X^{n }.

Sitten:

H=F+G\nuoli vasen oikealle \forall n\,c_{n}=a_{n}+b_{n}

H=F\,\cdot \,G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{{k+l=n}}a_{k}b_{l}

H=F\circ G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{{s=1}}^{n}a_{s}\sum \limits _{{k_{1}+ \dots +k_{s}=n}}b_{{k_{1}}}b_{{k_{2}}}\dots b_{{k_{s}}}

(vaikka sitä on noudatettava )

b_{0}=0

H=F'\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=(n+1)a_{{n+1}}

Potenssisarjojen konvergenssi

Formaalista potenssisarjasta, jossa on reaali- tai kompleksikertoimet, voit saada numerosarjan antamalla jonkin arvon muodolliselle muuttujalle reaali- tai kompleksilukujen kentässä . Lukusarjaa pidetään suppenevana ( summattavana ), jos sen jäsenistä koostuva osasummien sarja suppenee, ja sitä kutsutaan ehdottoman konvergentiksi , jos sen modulo (normissa) otetuista termeistä koostuva osasummien sarja konvergoi. ${X}$

Merkkejä lähentymisestä

Potenttisarjoille on olemassa useita lauseita, jotka kuvaavat niiden konvergenssin ehtoja ja luonnetta.

Abelin ensimmäinen lause : Olkoon sarjankonvergoiva pisteessä. Sitten tämä sarja suppenee ehdottomasti ympyrässäja tasaisesti missätahansatämän ympyrän kompaktissa osajoukossa . $\Sigma \,a_{n}x^{n}$ ${x_{0}}$ ${|x|<|x_{0}|}$ ${x}$

Kääntämällä tämä lause, saamme, että jos potenssisarja hajoaa varten , se hajoaa kaikille sellaisille, että . Abelin ensimmäisestä lauseesta seuraa myös, että ympyrän säde on sellainen (mahdollisesti nolla tai ääretön), että , Sarja konvergoi ehdottomasti (ja tasaisesti ympyrän kompakteissa osajoukkoissa ), ja , se poikkeaa. Tätä arvoa kutsutaan sarjan lähentymissäteeksi ja ympyrää konvergenssiympyräksi. ${x=x_{0}}$ ${x}$ ${|x|>|x_{0}|}$ ${R}$ ${|x|<R}$ $x$ ${|x|<R}$ ${|x|>R}$ $R$ ${|x|<R}$

Cauchyn-Hadamardin kaava : Potenttisarjan konvergenssisäteen arvo (jos yläraja on olemassa ja se on positiivinen, Hadamardin potenssisarjalause ) voidaan laskea kaavasta:

{1 \over R}={\varlimsup \limits _{{n\rightarrow +\infty }}}\,|a_{n}|^{{1/n}}

(Katso ylärajan määritelmä artikkelista " Osittaisen sekvenssin raja ".) $\varlimsup \limits _{{n\rightarrow +\infty }}$

Antaa ja olla kaksi potenssisarjaa konvergenssisäteiden ja . Sitten $F(x)$ $G(x)$ ${R_{F}}$ ${R_{G}}$

R_{{F+G}}\geq \min\{R_{F},\,R_{G}\}

R_{{F\cdot G}}\geq \min\{R_{F},R_{G}\}

R_{{F'}}\,=\,R_{F}

Jos sarjan leikkauspiste on nolla, niin $G(x)$

R_{{F\circ G}}\geq {R_{F} \over {R_{F}+1}}R_{G}

Kysymys sarjan konvergenssista konvergenssiympyrän rajan kohdissa on varsin monimutkainen, eikä tässä ole yleistä vastausta. Tässä on joitain lauseita sarjan konvergenssista konvergenssiympyrän rajapisteissä: ${|x|=R}$

D'Alembertin merkki : Jos epätasa-arvo pätee ja $n>N$ $\alpha >1$

\left|{a_{n} \over a_{{n+1}}}\right|\geq R\left(1+{\alpha \over n}\right)

sitten tehosarja konvergoi kaikissa pisteissä ympyrän ehdottomasti ja tasaisesti .

\Sigma \,a_{n}x^{n}

{|x|=R}

x

Dirichlet'n merkki : Jos kaikki potenssisarjan kertoimet ovatpositiivisia ja sekvenssikonvergoi monotonisesti nollaan, niin tämä sarja konvergoi kaikissa ympyrän pisteissäpaitsi ehkä pisteessä. $\Sigma \,a_{n}x^{n}$ $a_n$ ${|x|=1}$ ${x=1}$

Potenssisarjan summa kompleksisen parametrin funktiona on analyyttisten funktioiden teorian tutkimuskohde . $x$

Katso myös

Muunnelmia ja yleistyksiä

N: n muuttujan potenssisarja on muodon formaalinen algebrallinen lauseke:

F(X_{1},X_{2},\pisteet ,X_{n})=\summa \limits _{{k_{1},k_{2},\pisteet ,k_{n}=0}}^ {{+\infty }}a_{{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}}X_{1}^{{k_{1}}}X_{2}^{{k_ {2}}}\dots X_{n}^{{k_{n}}}

tai moniindeksimerkinnällä,

F(X)=\sum \limits _{{\alpha }}a_{{\alpha }}X^({\alpha }}),

missä on vektori , on moniindeksi , on monomiaalinen . Muuttujien ja kertoimien potenssisarjojen avaruus on merkitty . Se määrittelee yhteenlasku-, kertolasku-, differentiaatio-operaatiot kunkin muuttujan suhteen ja -paikallinen superpositio. Päästää $X$ $X=(X_{1},X_{2},\pisteet ,X_{n})$ $\alpha$ $\alpha =(k_{1},k_{2},\pisteet ,k_{n})$ $X^{{\alpha ))$ $X^{{\alpha }}=X_{1}^{{k_{1}}}X_{2}^{{k_{2}}}\pisteet X_{n}^{{k_{n}}}$ $n$ $R$ $R[[X_{1},X_{2},\pisteet ,X_{n}]]$ $n$

F(X)=\sum \limits _{{\alpha }}a_({\alpha }}X^{{\alpha }}),G(X)=\sum \limits _{{\alpha }}b_ { {\alpha }}X^{{\alpha }},H(X)=\sum \limits _{{\alpha }}c_({\alpha }}X^{{\alpha }}.

Sitten:

H=F+G\nuoli vasen oikealle \forall {\alpha }\,c_({\alpha }}=a_{{\alpha }}+b_{{\alpha }}

H=F\,\cdot \,G\Leftrightarrow \forall {\alpha }\,c_({\alpha }}=\sum \limits _({\beta +\gamma =\alpha }}a_{{\beta }}b_{{\gamma }}

H={\partial F \over \partial X_{i}}\Leftrightarrow \forall (k_{1},k_{2},\dots ,k_{n})\,c_{{k_{1},k_{ 2},\pisteet ,k_{n}}}=(k_{i}+1)a_{{(k_{1},k_{2},\pisteet ,k_{i}+1,\pisteet ,k_{ n})}}