Maxwell-jakelu

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 11. elokuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Maxwell-jakauma on yleinen nimi useille todennäköisyysjakaumille , jotka kuvaavat ihanteellisten kaasuhiukkasten parametrien tilastollista käyttäytymistä . Vastaavan todennäköisyystiheysfunktion muodon määrää mikä suure: hiukkasen nopeus , nopeuden projektio, nopeusmoduuli, energia , liikemäärä jne. - toimii jatkuvana satunnaismuuttujana . Joissakin tapauksissa Maxwell-jakauma voidaan ilmaista erillisenä jakaumana energiatasojen joukolle.

Merkittävin Maxwell-jakauma on kirjoitettu hiukkasnopeusmoduulille jatkuvassa tapauksessa ja sillä on tiheys: $v$

f_{v}(x)=Bx^{2}\exp \left[-\beta x^{2}\right]\,\,(x\geq 0)

f_{v}(x)=0\,\,(x<0),

jossa on muodollinen muuttuja, tekijä määräytyy hiukkasten tyypin ja lämpötilan mukaan, ja tekijä valitaan sen mukaan normalisoinnin varmistamiseksi. Juuri tätä lauseketta pidetään Maxwellin jakaumana matematiikassa, vaikka muille hiukkasparametreille Maxwellin jakauman analyyttinen muoto on erilainen. $x$ $\beta>0$ $B$ $\beeta$

Maxwell-jakauma on kaasujen kineettisen teorian taustalla , ja se selittää monia kaasujen perusominaisuuksia, mukaan lukien paine ja diffuusio . Sitä käytetään kaasumolekyylien keskimääräisten ja todennäköisimpien nopeuksien ja energioiden laskemiseen. Se soveltuu myös elektronisten kuljetusprosessien ja muiden fysiikan ja kemian ilmiöiden kuvaamiseen . Maxwell-jakauma voidaan saada käyttämällä tilastollista mekaniikkaa (katso osiofunktion alkuperä ). Tämä jakauma on tutkitun parametrin suurin todennäköisyysjakauma.

Maxwell-jakelun laajuus

Kuvatun järjestelmän vaatimukset, esimerkit

Kysymys Maxwell-jakauman soveltuvuudesta tiettyyn järjestelmään vastaa kysymystä siitä, voidaanko tätä järjestelmää pitää ihanteellisena kaasuna riittävän tarkasti. Samalla järjestelmän on

koostuvat suuresta määrästä hiukkasia ja ovat termodynaamisessa tasapainossa ;
olla isotrooppinen ;
olla klassisia , eli relativististen ja kvanttivaikutusten on oltava pieniä;
olla törmäysdominoiva (hiukkasten vuorovaikutus on sallittu vain, jos se riippuu vain hiukkasten suhteellisesta sijainnista, erityisesti ehdottoman elastiset törmäykset ovat sallittuja).

Tällaiset vaatimukset täyttyvät pääasiassa kaasuissa, kuten ilmassa, normaaleissa olosuhteissa. Maxwell-jakauma koskee useita kaasussa olevien yksittäisten molekyylien ominaisuuksia. Yleensä sitä ajatellaan ensisijaisesti molekyylien energian jakautumisena kaasussa, mutta sitä voidaan soveltaa nopeuksien ja muiden molekyyliparametrien jakautumiseen. Useimmiten se on jatkuva jakauma satunnaisparametrin muutoksen jatkumoa pitkin.

Monissa tapauksissa ehto elastisten törmäysten dominanssille kaikkiin muihin prosesseihin nähden ei kuitenkaan täyty edes suunnilleen. Joten ionosfäärin ja avaruusplasman fysiikassa rekombinaatio- ja törmäysviritysprosessit (eli säteilyprosessit), erityisesti elektronien osalta, ovat erittäin tärkeitä. Maxwell-jakauman käyttö tässä tapauksessa ei vain antaisi kvantitatiivisesti vääriä tuloksia, vaan johtaisi myös vastaavien prosessien laadullisesti virheelliseen tulkintaan.

Klassisen harkinnan ehdot

Tapauksissa, joissa kaasuhiukkasten kvantti de Broglie -aallonpituus ei ole pieni verrattuna hiukkasten väliseen etäisyyteen, esiintyy kvanttivaikutuksista johtuvia poikkeamia Maxwell-jakaumasta. Siksi kysymys klassisen pohdinnan sovellettavuuden rajoista on tärkeä.

Epävarmuusrelaatiolla (usein yksinkertaistettuna kirjoitettuna muodossa , jossa liikemäärän koordinaatin ja -projektion epävarmuudet ovat Planckin vakio ) on kolmiulotteinen analogi muodossa jossa ilmaisee hiukkasten lokalisointivyöhykkeen ominaista lineaarista kokoa. . Jotta koordinaattien ja liikemäärän epävarmuustekijöillä ei olisi merkitystä ja jotta voidaan soveltaa klassista kvanttimekaniikkaa , suhde on täytettävä: $\Delta x\cdot \Delta p_{x}\sim h,$ $\Delta x,$ $\Delta p_{x}$ $x$ $h$ $r\cdot p\sim h,$ $r$

V^{1/3}\cdot p\gg h,

missä on tilavuus, joka vastaa keskimäärin yhtä hiukkasta ja joka on yhtä suuri kuin kaasuhiukkasten vastavuoroinen pitoisuus . Jos neliötät molemmat puolet, saat: $V$ $n^{{-1}}$

n^{-{\frac {2}{3}}}h^{-2}p^{2}\gg 1.

Kun tämä huomioidaan ja määrä otetaan ominaiseksi energiaarvoksi , päädytään: $p^{2}=2mE$ $(3/2)kT,$

T\gg {\frac {n^{\frac {2}{3}}h^{2}}{3mk}}=T_{deg}\qquad

( on rappeutumislämpötila ja on hiukkasen massa ).

{\displaystyle T_{deg))

m

Maxwell-jakauman alapuolella olevissa lämpötiloissa ei sovelleta. ${\displaystyle T_{deg))$

Maxwellin tilajakauma

Maxwell-jakauma voidaan kirjoittaa diskreetiksi jakaumaksi molekyylin tilajoukolle, numeroitu symbolilla : $i$

{\frac {N_{i}}{N}}={\frac {\exp \left(-E_{i}/kT\right)}{\sum _{j}^{}{\exp \left(-E_{j}/kT\oikea)}}}

Molekyylin energia th-tilassa ja tällaisten molekyylien lukumäärä, vastaavasti, on merkitty ja , on järjestelmän lämpötila, on systeemin molekyylien kokonaismäärä ja on Boltzmannin vakio . (Yllä oleva yhtälö on kirjoitettu kertoimella , joka ilmaisee energiatasojen rappeutumisasteen. Tässä tapauksessa se ei luettele tiloja, vaan energioita, ja summa tulee olemaan energioiden, ei energiatasojen mukaan. osavaltiot). Koska nopeus liittyy energiaan, viimeistä yhtälöä voidaan käyttää lämpötilan ja kaasussa olevien molekyylien nopeuksien välisen suhteen johtamiseen. Nimittäjä tunnetaan kanonisena osiofunktiona . $E_{i}$ $N_{i}$ $i$ $T$ $N$ $k$ $g_i$ $i$

Jatkuvan Maxwell-jakauman lajikkeet

Tässä osiossa esitetty Maxwellin jakaumien johtaminen, joka on luonnollinen nykyaikaiselle opetuskirjallisuudelle, poikkeaa James Clerk Maxwellin itsensä ehdottamasta johtamisesta, jonka Ludwig Boltzmann kuvasi myöhemmin vähemmin olettamuksin . Historiallinen johtopäätös annetaan artikkelin lopussa.

Momenttivektorijakauma

Vuorovaikuttamattomien molekyylien ihanteellisen kaasun tapauksessa kaikki energia on kineettisen energian muodossa. Kineettinen energia liittyy hiukkasen liikemäärään seuraavasti:

E={\frac {p^{2}}{2m}}

missä on liikemäärävektorin neliö , sitten $p^{2}$ $\mathbf {p} =[p_{x},p_{y},p_{z}]$

{\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_{y }^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\right]

missä on edellisen osan lausekkeen nimittäjää vastaava osiofunktio ja on molekyylin massa. $Z$ $N_{i}/N$ $m$

Jos energiatasot ovat riittävän tiheitä, diskreettisyys tulee merkityksettömäksi ja voidaan olettaa, että energiat jakautuvat jatkuvasti. Sitten suhde on verrannollinen molekyylin todennäköisyystiheysfunktioon , joka on tilassa näillä liikemääräkomponenttien arvoilla. Tällä tavalla: $N_{i}/N$ ${\displaystyle f_{\mathbf {p} ))$

f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\frac {C}{Z))\exp \left[{\frac {-(p_) {x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\right]

Vakio määritetään normalisointiehdosta, jonka mukaan todennäköisyyden, että molekyyleillä on liikemäärää , on oltava yhtä suuri kuin yksi. Siksi integraalin yli kaikkien arvojen ja sen on oltava yhtä suuri kuin yhtenäisyys. Sen voi osoittaa $C$ ${\displaystyle f_{\mathbf {p} ))$ ${\displaystyle p_{x}\,,p_{y))$ $p_{z}$

\iiiint \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{Z}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_ {y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\right]\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}={\frac {1} {Z}}\left(2\pi mkT\oikea)^{3/2}

Siten, jotta integraalin arvo olisi 1, on välttämätöntä, että

{\displaystyle C={\frac {Z}{({\sqrt {2\pi mkT)))^{3))))

Korvaamalla tämän yhtälöön ja käyttämällä sitä tosiasiaa , että saamme: $C$ ${\displaystyle f_{\mathbf {p} ))$ ${\displaystyle p_{i}=mv_{i))$

f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\sqrt {\left({\frac {1}{2\pi mkT))\right )^{3}}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}} \oikea]

Nopeusvektorijakauma

Ottaen huomioon, että nopeusjakauman tiheys on verrannollinen liikemääräjakauman tiheyteen: ${\displaystyle f_{\mathbf {v} ))$

f_{{\mathbf {v}}}d^{3}v=f_{{\mathbf {p}}}\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{ 3}v

ja käyttämällä , saamme: $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})={\sqrt {\left({\frac {m}{2\pi kT))\right )^{3}}}\exp \left[{\frac {-m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT} }\oikea]

joka on Maxwellin jakauma kolmen suorakulmaisen nopeusprojektion aikana. Todennäköisyys löytää hiukkanen äärettömän pienestä alkuaineesta lähellä nopeutta on: ${\displaystyle dv_{x}\,,dv_{y}\,,dv_{z))$ $\mathbf {v} =[v_{x},v_{y},v_{z}]$

{\displaystyle f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)dv_{x}dv_{y}dv_{z))

Nopeusprojektio jakauma

Nopeusvektorin Maxwell-jakauma on kunkin kolmen suunnan jakaumien tulo: $[v_{x},v_{y},v_{z}]$

f_{v}\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{ v}(v_{z}),

jossa jakautuminen yhteen suuntaan:

f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT))}\exp \left[{\frac {-mv_{i}^{2)) {2kT}}\oikea]

Tämä jakauma on normaalijakauman muotoinen . Kuten levossa olevan kaasun voi odottaa, keskimääräinen nopeus mihin tahansa suuntaan on nolla.

Jakauma modulo momentum

Integroimalla voimme löytää jakauman liikemäärän absoluuttiselle suuruudelle:

f_{p}=\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\phi =0}^{2\pi }~f_{\mathbf {p} }p^{2 }\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi =4\pi {\sqrt {\left({\frac {1}{2\pi mkT}}\oikea)^{3}}} ~p^{2}\exp \left[{\frac {-p^{2}}{2mkT}}\oikea].

Energian jakelu

Lopuksi relaatioiden ja avulla saadaan kineettinen energiajakauma: $p^{2}=2\,mE$ $f_{E}\,dE=f_{p}\,dp$

f_{E}=f_{p}{\frac {dp}{dE}}={\frac {2\pi }{\sqrt {(\pi kT)^{3}}}}{\sqrt {E}}{}~\exp \left[{\frac {-E}{kT}}\oikea].

Jakelun modulonopeus

Yleensä jakauma itseisarvon yli on mielenkiintoisempaa kuin molekyylien nopeuksien projektioiden yli. Nopeusmoduuli, määriteltynä $v$

{\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2))))

se ei ole aina negatiivinen. Koska kaikki on normaalijakaumaa , tulee khin neliöjakauma , jossa on kolme vapausastetta. Jos on nopeusmoduulin todennäköisyystiheysfunktio , niin $v_{i}$ $v^2$ $f(\mathbf {v} )$

f\left(v\right)dv=P(\chi ^{2}|3)d\chi ^{2}

missä . Siten nopeusmoduulin todennäköisyystiheysfunktio on $\chi ^{2}=mv^{2}/kT$

f(v)dv=4\pi v^{2}\left({\frac {m}{2\pi kT))\right)^{3/2}\exp \left({\frac {-mv^{2}}{2kT}}\right)dv

Funktion muoto vastaa johdannossa annettua, sillä erolla, että siinä käytetään muodollista muuttujaa suuremman matemaattisen yleisyyden vuoksi. $f(v)$ $x$

Ihanteellisten kaasumolekyylien ominaisnopeudet

Yhtälö for antaa nopeusjakauman, eli toisin sanoen niiden molekyylien osuuden, joilla on tietty nopeus. Mutta muut määrät ovat usein mielenkiintoisempia. Alla määritetään todennäköisimmät , keskimääräiset ja rms - nopeudet. $f(v)dv$

Todennäköisin nopeus

Todennäköisin nopeus , , on nopeus, jonka todennäköisyys jollakin järjestelmän molekyylillä on maksimi ja joka vastaa jakauman todennäköisyystiheyden maksimiarvoa (ja siten vastaa tämän jakauman moodia ). Löytääksesi sen, sinun on laskettava , samattava nollaan ja ratkaistava : $v_p$ $f(v)$ $df/dv$ $v$

{\frac {df(v)}{dv}}=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\oikea)^{3/2}\exp \left(-mv^ {2}/2kT\oikea)\vasen[8\pi v+4\pi v^{2}(-mv/kT)\oikea]=0

{\displaystyle v_{p}={\sqrt {\frac {2kT}{m))}={\sqrt {\frac {2RT}{\mu ))))

missä on tarkasteltavan hiukkasen massa, on :n moolimassa . $m$ $\mu$

Keskinopeus

\langle v\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv

Korvaamalla ja integroimalla saamme $f(v)$

{\displaystyle \langle v\rangle ={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m))}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi \mu ))))

RMS-nopeus

\langle v'^{2}\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }v^{2}\,f(v)\,dv

Korvaamalla ja integroimalla saamme: $f(v)$

{\sqrt {\langle v'^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{\mu }}}

Maxwell-jakauman historiallinen johtaminen

Hankitaan nyt jakautumiskaava samalla tavalla kuin Maxwell itse [1] [2] .

Tarkastellaan nopeuspisteiden avaruutta (edustamme kutakin molekyylin nopeutta pisteenä (nopeuspisteenä) koordinaattijärjestelmässä kaasun stationaaritilassa . Valitaan äärettömän pieni tilavuuselementti . Koska kaasu on paikallaan, määrä Nopeusavaruus on isotrooppinen , joten funktiot todennäköisyystiheydet kaikkiin suuntiin ovat samat . ${\displaystyle Ov_{x}v_{y}v_{z))$ ${\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))$ ${\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))$

dP(v_{x})=\varphi (v_{x})dv_{x}\qquad dP(v_{y})=\varphi (v_{y})dv_{y}\qquad dP(v_ {z})=\varphi (v_{z})dv_{z}

Maxwell ehdotti, että nopeuksien jakaumat suunnissa ovat tilastollisesti riippumattomia, eli molekyylin nopeuskomponentti ei riipu - ja - komponenteista. ${\displaystyle v_{x))$ ${\näyttötyyli y}$ $z$

dP(v_{x},v_{y},v_{z})=\alaviiva {\varphi (v_{x})\varphi (v_{y})\varphi (v_{z})} _ {f(v)}dv_{x}dv_{y}dv_{z}

- itse asiassa todennäköisyys löytää nopea piste äänenvoimakkuudesta .

{\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))

f(v)=\varphi (v_{x})\varphi (v_{y})\varphi (v_{z})

{\displaystyle \ln f(v)=\ln \varphi (v_{x})+\ln \varphi (v_{y})+\ln \varphi (v_{z})\quad {\bigg |}\ quad {\frac {\partial }{\partial v_{x))))

{\frac {f'(v)}{f(v)}}{\frac {\partial v}{\partial v_{x}}}={\frac {\varphi '(v_{x} )}{\varphi (v_{x})))

{\frac {\partial v}{\partial v_{x}}}={\frac {v_{x}}{v}}

{\frac {1}{v}}{\frac {f'(v)}{f(v)))={\frac {1}{v_{x}}}{\frac {\varphi '(v_{x})}{\varphi (v_{x})}}

Oikea puoli ei ole riippuvainen ja , joten vasen puoli ei riipu ja kumpaakaan. Kuitenkin ja ovat yhtä suuret, joten vasen puoli ei riipu . Joten tämä lauseke voi olla yhtä suuri kuin jokin vakio. $v_{y}$ $v_{z}$ $v_{y}$ $v_{z}$ $v_{x}$ $v_{y}$ $v_{x}$

{\frac {1}{v}}{\frac {f'(v)}{f(v)))=-\alpha

{\displaystyle {\frac {\varphi '(v_{x})}{\varphi (v_{x)))))=-\alpha v_{x))

\varphi (v_{x})=Ae^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (v_{x})\,dv_{x}=1\qquad \Rightarrow \qquad A\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}\,dv_{x}=A\,{\sqrt {\frac {2 }{\alpha }}}\,{\sqrt {\pi }}=1\qquad \Rightarrow \qquad A={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}

\varphi (v_{x})={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}} {2}}}

Nyt sinun on otettava perustavanlaatuinen askel - syötä lämpötila. Lämpötilan kineettinen määritelmä (molekyylien liikkeen keskimääräisen kineettisen energian mittana):

\left\langle {\frac {mv^{2}}{2}}\right\rangle ={\frac {3}{2}}kT,

jossa J/K on Boltzmannin vakio . $k=1{,}380649\cdot 10^{-23}$

v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2))}.

Kaikkien suuntien tasa-arvoisuuden vuoksi:

\langle v_{x}^{2}\rangle =\langle v_{y}^{2}\rangle =\langle v_{z}^{2}\rangle ={\frac {1}{3 }}\langle v^{2}\rangle ={\frac {kT}{m}}.

Keskiarvon löytämiseksi integroimme sen yhdessä todennäköisyystiheysfunktion kanssa miinus plus äärettömään: ${\displaystyle v_{x}^{2))$

{\frac {kT}{m}}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{v_{x}}^{2}\,\varphi (v_{x})\ ,dv_{x}={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}\,\int \limits _{-\infty }^{\infty }v_{x}^{2}\, e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}\,dv_{x}=

\qquad ={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}\left[-2\,{\frac {d}{d\alpha }}\,\int \limits _{ -\infty }^{\infty }e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}\,dv_{x}\right]=-2\,{ \sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}\,{\frac {\delta }{\delta \alpha }}{\sqrt {\frac {2\pi }{\alpha }}}= -2{\sqrt {\alpha }}(-{\frac {1}{2}}\alpha ^{-{\frac {3}{2}}})={\frac {1}{\alpha } }.

Täältä löydämme : $\alpha$

\alpha ={\frac {m}{kT)).

Todennäköisyystiheysjakaumafunktio ( ja vastaavasti): ${\displaystyle v_{x))$ ${\displaystyle v_{y))$ $v_{z}$

\varphi (v_{x})=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\oikea)^{\frac {1}{2}}\,e^{-{\ frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}}.

Tarkastellaan nyt nopeusjakaumaa. Palataan nopeuspisteiden avaruuteen. Kaikki pisteet, joilla on nopeusmoduuli , sijaitsevat pallomaisessa kerroksessa, jonka säde ja paksuus on , ja se on tämän pallomaisen kerroksen elementin tilavuus. $v\subset [v;v+dv]$ $v$ $dv$ ${\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))$

dP(v_{x},v_{y},v_{z})=\varphi (v_{x})\varphi (v_{y})\varphi (v_{z})dv_{x}dv_ {y}dv_{z}

\underbrace {dP(v_{x},v_{y},v_{z})} _{dP(v)}=\left({\frac {m}{2\pi kT))\right )^{\frac {3}{2}}\,e^{-{\frac {mv_{x}^{2}+mv_{y}^{2}+mv_{z}^{2}}{ 2kT}}}\underbrace {dv_{x}dv_{y}dv_{z}} _{4\pi v^{2}dv}

dP(v)=\alasiviiva {4\pi \,\left({\frac {m}{2\pi kT}}\oikea)^{\frac {3}{2}}\,v^ {2}\,e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}} _{F(v)}dv

Siten olemme saaneet todennäköisyystiheysfunktion , joka on Maxwell-jakauma. $F(v)$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ opetus. Karavaev V. A. - Molekyylifysiikka - Binomijakauman rajoittavat tapaukset (26. heinäkuuta 2017). Haettu: 3.3.2019. (määrätön)
↑ opetus. Karavaev V. A. - Molekyylifysiikka - Maxwell-jakauma (26. heinäkuuta 2017). Haettu: 3.3.2019. (määrätön)

Linkit

http://www.falstad.com/gas/