Ekvipartitiolause

Lause kineettisen energian ekvipartiosta vapausasteiden yli , ekvipartition laki, ekvipartitiolause - yhdistää järjestelmän lämpötilan sen keskimääräiseen energiaan klassisessa tilastomekaniikassa . Alkuperäisessä muodossaan lause totesi, että lämpötasapainossa energia jakautuu tasan eri muotojensa kesken, esimerkiksi molekyylin translaatioliikkeen keskimääräisen kineettisen energian on oltava yhtä suuri kuin sen pyörimisliikkeen keskimääräinen kineettinen energia .

Ekvipartitiolauseen avulla voidaan tehdä kvantitatiivisia ennusteita. Kuten viriaalilause , se antaa järjestelmän keskimääräiset kineettiset ja potentiaaliset energiat tietyssä lämpötilassa, josta voidaan laskea järjestelmän lämpökapasiteetti . Ekvipartitiolauseen avulla voidaan kuitenkin määrittää myös yksittäisten energiakomponenttien keskiarvot, kuten yksittäisen hiukkasen kineettinen energia tai yksittäisen jousen potentiaalienergia . Lauseen mukaan jokaisen monoatomisen ideaalikaasun molekyylin , joka on termodynaamisessa tasapainossa (tai tilassa, joka on lähellä termodynaamista tasapainoa), on keskimääräinen kineettinen energia, joka on (3/2)k B T , missä k B on Boltzmann. vakio , T on lämpötila. Yleensä sitä voidaan soveltaa mihin tahansa klassiseen järjestelmään lämpötasapainossa riippumatta siitä, kuinka monimutkainen se on. Ekvipartitiolausetta voidaan käyttää ideaalikaasun tilayhtälön ja Dulong-Petitin lain johtamiseen kiinteiden aineiden ominaislämmön määrittämiseen . Sitä käytetään myös tähtien , jopa valkoisten kääpiöiden ja neutronitähtien kaltaisten ominaisuuksien ennustamiseen , koska yhtälö pätee myös silloin, kun relativistiset vaikutukset on otettava huomioon.

Vaikka ekvipartitiolause tekee tietyissä olosuhteissa erittäin tarkkoja ennusteita, se menettää käyttökelpoisuutensa, kun kvanttiefektit tulevat voimaan. Jako pätee vain, kun lämpöenergia k B T on paljon suurempi kuin vierekkäisten kvanttienergiatasojen välinen aika, koska muuten energian ja lämpökapasiteetin keskiarvot tiettyjä vapausasteita kohti ovat pienempiä kuin arvot, jotka saadaan käyttämällä ekvipartitiolause. He sanovat, että vapausaste jäätyy , jos lämpöenergia on paljon pienempi kuin tämä intervalli (tämä tarkoittaa, että käytännössä tällainen vapausaste tietyissä olosuhteissa voidaan jättää huomiotta, sellaisessa tilanteessa siirtyminen virittyneisiin tiloihin suhteessa tietylle vapausasteelle on käytännössä mahdotonta). Esimerkiksi kiinteän aineen lämpökapasiteetti pienenee alhaisissa lämpötiloissa – kun eri liikkeet jäätyvät – sen sijaan, että se pysyisi vakiona, kuten sen pitäisi olla klassisen tasajakolauseen mukaan. Tämä lämpökapasiteetin lasku oli ensimmäinen merkki fyysikoille 1800-luvulla siitä, että klassinen fysiikka oli menettämässä soveltuvuuttaan alhaisessa lämpötilassa, ja täytyi muotoilla uusia lakeja selittämään lämpökapasiteetin tosiasiallisesti havaittu käyttäytyminen lämpötilan funktiona. Yhdessä toisen kiistan kanssa, ekvipartition lain epäonnistuminen kuvaamaan sähkömagneettista säteilyä - joka tunnetaan myös ultraviolettikatastrofina - johti Max Planckin ajatukseen, että valo emittoituu ja absorboituu kvanteissa . Tämä vallankumouksellinen hypoteesi merkitsi kvanttiteorian alkua, joka, kun sitä kehitettiin edelleen, synnytti kvanttimekaniikan ja kvanttikenttäteorian .

Pääidea ja yksinkertaiset esimerkit

Alunperin termi "tasapainoinen jakautuminen" tarkoitti, että järjestelmän kokonaiskineettinen energia jaetaan tasaisesti kaikkien sen itsenäisten osien kesken keskimäärin , kun järjestelmä on saavuttanut lämpötasapainon. Ekvipartitiolause antaa myös kvantitatiivisia ennusteita näille energioille. Se esimerkiksi ennustaa, että jokaisen jalokaasun atomin termisessä tasapainossa lämpötilassa T on keskimääräinen translaatiokineettinen energia, joka on yhtä suuri kuin (3/2)k B T . Tämän seurauksena raskaammilla ksenonatomeilla on pienempi keskinopeus kuin kevyemmillä heliumatomeilla samassa lämpötilassa. Kuvassa on Maxwell-jakauma atomien nopeuksille neljässä kaasussa.

Tässä esimerkissä on tärkeää huomata, että liike-energia on nopeuden neliöfunktio. Tasapainolauseessa sanotaan, että lämpötasapainossa minkä tahansa vapausasteen (paikkavektorien komponentit tai hiukkasten nopeus) [1] , joka esiintyy vain neliöfunktiona energiassa, on keskimääräinen energia, joka on yhtä suuri kuin ½ k B T ja siksi se vaikuttaa ½ k B :hen. järjestelmän lämpökapasiteettiin. Tällä lausunnolla on monia käytännön sovelluksia.

Ihanteellisten kaasujen hiukkasten translaatioliikkeen energia

Kaasupartikkelin, jonka massa on m ja nopeus v , kineettinen energia on annettu muodossa

H^{\mathrm {kin} }={\tfrac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}={\tfrac {1}{2}}m\left( v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\oikea),

missä v x , v y ja v z ovat nopeusvektorin v karteesisia komponentteja . Tässä symboli H tarkoittaa järjestelmän Hamiltonin funktiota ja sitä käytetään energiasymbolina Hamiltonin formalismissa . Sillä on keskeinen rooli useimmissa tasaosiolain yleistyksessä .

Koska kineettinen energia on nopeuskomponenttien neliöllinen funktio, seuraa tasajakolaista, että kukin näistä komponenteista muodostaa saman verran ½ k B T kaasun keskimääräiseen kineettiseen energiaan lämpötasapainossa. Tästä seuraa, että hiukkasen keskimääräinen kineettinen energia on (3/2) k B T, kuten yllä olevassa jalokaasuesimerkissä.

Yleensä ihanteellisen kaasun kokonaisenergia koostuu yksittäisten hiukkasten (translaatio)kineettisestä energiasta olettaen, että hiukkasilla ei ole sisäisiä vapausasteita ja ne liikkuvat toisistaan riippumatta. Jako tarkoittaa, että N hiukkasen ideaalikaasun keskimääräinen kokonaisenergia on (3/2) N k B T .

Tästä seuraa, että kaasun lämpökapasiteetti on (3/2) N k B ja erityisesti tällaisten hiukkasten yhden kaasumoolin lämpökapasiteetti on (3/2) N A k B = ( 3/2) R , missä NA on Avogadron luku ja R on kaasuvakio . Koska R ≈ 2 cal / ( mol K ) , tasajakolaki ennustaa , että ihanteellisen kaasun molaarinen lämpökapasiteetti on noin 3 cal / ( mol K ) . Tämä ennuste on varmistettu kokeellisesti. [2]

Keskimääräisen kineettisen energian avulla voimme arvioida kaasussa olevien hiukkasten keskineliönopeuden v rms neliöjuuren:

v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3k_{B}T}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}},

missä M = N A m on kaasun moolimassa. Tämä tulos on hyödyllinen moniin käytännön sovelluksiin , kuten Grahamin effuusiolakiin , jota käytetään uraanin rikastusmenetelmässä [3]

Pyörimisliikkeen energia

Samanlainen esimerkki löytyy, kun tarkastellaan pyörivää molekyyliä, jonka päähitausmomentit ovat I 1 , I 2 ja I 3 . Tällaisen molekyylin pyörimisenergia saadaan lausekkeella

H^{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}(I_{1}\omega _{1}^{2}+I_{2}\omega _{2}^ {2}+I_{3}\omega _{3}^{2}),

jossa ω 1 , ω 2 ja ω 3 ovat kulmanopeuden pääkomponentit . Täsmälleen samoilla perusteilla kuin translaatioliikkeen tapauksessa, tasajako tarkoittaa, että termisessä tasapainossa kunkin hiukkasen keskimääräinen pyörimisenergia on: (3/2)k B T . Vastaavasti ekvipartitiolauseen avulla voidaan laskea molekyylien keskimääräinen (tarkemmin neliöjuuri keskiarvosta) kulmanopeus. [neljä]

Potentiaalienergia ja harmoniset oskillaattorit

Tasapaino ei koske vain kineettistä energiaa, vaan myös potentiaalista energiaa . Tärkeitä esimerkkejä ovat harmoniset oskillaattorit , kuten jousi , jonka potentiaalienergia on neliökoordinaateissa

H^{\mathrm {pot} }={\tfrac {1}{2}}aq^{2},

jossa vakio a kuvaa jousen jäykkyyttä ja q on poikkeama tasapainoasennosta. Jos tällaisen yksiulotteisen järjestelmän massa on m , niin sen liike-energia on H kin : ½ mv² = p ²/2 m , missä v ja p = mv tarkoittavat oskillaattorin nopeutta ja liikemäärää. Kun nämä panokset summataan, saadaan järjestelmän kokonaisenergia [5]

H=H^{\mathrm {kin} }+H^{\mathrm {pot} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}} aq^{2}.

Tasapaino tarkoittaa, että lämpötasapainossa oskillaattorin keskimääräinen energia on yhtä suuri kuin

\langle H\rangle =\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle +\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\tfrac {1}{2}}k_{B }T+{\tfrac {1}{2}}k_{B}T=k_{B}T,

jossa kulmasulkeet osoittavat niiden sisältämän arvon keskiarvon. [6] $\left\langle \ldots \right\rangle$

Tämä tulos pätee kaikentyyppisille harmonisille oskillaattorille, kuten heilurille , värähtelevälle molekyylille tai passiiviselle sähkögeneraattorille . Tällaisten oskillaattorien järjestelmiä syntyy monissa tapauksissa. Ekvipartitiolain mukaan kullakin sellaisella oskillaattorilla on keskimääräinen kokonaisenergia k B T ja sen vuoksi se lisää k B :n järjestelmän lämpökapasiteettiin. Tätä johtopäätöstä voidaan käyttää termisen kohinan kaavan [7] ja Dulong-Petitin lain johtamiseen kiinteiden aineiden ominaislämmölle. Jälkimmäisellä oli tärkeä rooli ekvipartiolauseen historiassa.

Kiinteiden aineiden lämpökapasiteetti

Kidekappaleiden ominaislämpökapasiteetin määrittämiseen käytetään tasajakolakia. Koska kukin tällaisen kappaleen atomi voi värähdellä kolmeen itsenäiseen suuntaan, kidettä voidaan pitää 3N itsenäisen harmonisen oskillaattorin järjestelmänä , jossa N tarkoittaa atomien lukumäärää hilassa. Jokaisella harmonisella oskillaattorilla on keskimääräinen energia k B T , joten kappaleen keskimääräinen kokonaisenergia on 3 Nk B T ja sen ominaislämpö on 3 Nk B .

Jos otamme N :lle Avogadron luvun ( N A ), niin kaasuvakion ( R ) ja Boltzmannin vakion ( k B ) välistä suhdetta R = N A k B saadaan lauseke Dulong- Petit-laki , joka kuvaa kiinteiden aineiden molaarista lämpökapasiteettia . Siinä sanotaan, että yhden kidehilan atomimoolin ominaislämpökapasiteetti on 3R ≈ 6 cal /( mol K ) .

On huomattava, että tämä laki ei päde matalissa lämpötiloissa, joissa on tärkeää ottaa huomioon kvanttivaikutukset. Se on myös ristiriidassa termodynamiikan kokeellisesti vahvistetun kolmannen lain kanssa , jonka mukaan minkä tahansa aineen ominaislämpökapasiteetti pyrkii nollaan, kun lämpötila pyrkii absoluuttiseen nollaan. [7] Tarkempia teorioita, jotka ottavat kvanttivaikutukset huomioon, kehittivät Albert Einstein ( 1907 ) ja Peter Debye ( 1911 ). [kahdeksan]

Monet fyysiset järjestelmät voidaan mallintaa kytkettyjen harmonisten oskillaattorien järjestelmäksi . Tällaisten oskillaattorien liikkeet voidaan jakaa normaaleihin moodeihin , joita voidaan pitää pianon kielen värähtelymoodeina tai urkupillin resonansseina . Toisaalta ekvipartitiolauseesta tulee käyttökelvoton tällaisille järjestelmille, koska normaalimoodien välillä ei ole energianvaihtoa. Rajoitetussa tapauksessa moodit ovat riippumattomia ja siten niiden energiat säilyvät itsenäisesti. Tämä tarkoittaa, että energioiden sekoittuminen, jota kutsutaan muodollisesti ergodisuudeksi , on tärkeää tasa-osiolain voimassaololle.

Hiukkasten sedimentaatio

Potentiaalienergia ei aina ole koordinaattien neliöfunktio, mutta ekvipartition lauseessa sanotaan, että jos vapausaste x sisältyy tekijään x s (kiinteälle vakiolle s ) kokonaisenergiaan, niin lämpötasapainossa tämä osa on yhtä suuri kuin k B T/s .

Tätä yleistystä käytetään tarkasteltaessa hiukkasten sedimentaatiota painovoiman vaikutuksesta . [9] Esimerkiksi oluessa toisinaan havaittava sumu voi johtua valoa hajottavista proteiinipaloista . [10] Ajan myötä nämä palaset kerääntyvät pohjalle painovoiman vaikutuksesta, mikä aiheuttaa enemmän valon hajoamista pullon pohjan lähelle kuin yläosan lähelle. Vastakkaiseen suuntaan toimivan diffuusion vuoksi hiukkaset kuitenkin liikkuvat ylöspäin pullon yläosaa kohti. Kun tasapaino on saavutettu, voidaan tasajakolauseen avulla määrittää tietyn kelluvan massan m b keskimääräinen sijainti . Äärettömän korkealle olutpullolle gravitaatiopotentiaalienergia annetaan muodossa

H^{\mathrm {grav} }=m_{b}gz\,,

missä z on proteiinikappaleen pystysuora sijainti pullossa ja g on painovoiman aiheuttama kiihtyvyys . Koska s=1 , niin proteiinikappaleen keskimääräinen potentiaalienergia on yhtä suuri kuin k B T . Jos proteiinikappaleen massa on noin 10 MDa (suunnilleen tämä on viruksen koko ), tasapainotilassa ilmaantuu suspensio, jonka keskikorkeus on noin 2 cm. Sedimentaatioprosessia tasapainoasentoon kuvaa Mason-Weaverin yhtälö . [yksitoista]

Historia

Tässä artikkelissa käytetään ei - SI - yksiköitä cal /( mol K ) ominaislämpökapasiteetille desimaalimerkinnän tarkkuuden vuoksi.
Muuntaaksesi SI-yksiköiksi J / ( mol K ) , nämä arvot on kerrottava 4,2 J / cal .

Kineettisen energian tasa-arvoista jakautumista vapausasteisiin ehdotettiin vuonna 1843 (on oikein puhua vuodesta 1845) John James Waterston . [12] [13] [14] [15] [16] Vuonna 1859 James Clerk Maxwell väitti, että kaasun kineettinen energia korkeassa lämpötilassa jakautuu tasan translaatioenergian ja pyörimisenergian kesken. [17] Vuonna 1876 Ludwig Boltzmann osoitti, että keskimääräinen energia jakautuu tasan järjestelmän kaikkien itsenäisten liikekomponenttien kesken. [18] [19] Boltzmann sovelsi ekvipartition lakia selittääkseen teoreettisesti empiirisen Dulong-Petitin lain kiinteiden aineiden lämpökapasiteetille.

Ekvipartitiolauseen historia kietoutuu 1800-luvulla tehtyihin lämpökapasiteettitutkimuksiin . Vuonna 1819 ranskalaiset fyysikot Pierre Dulong ja Alexis Petit havaitsivat, että kiinteiden aineiden ominaismoolilämpökapasiteetit ovat käytännössä samat huoneenlämpötilassa, noin 6 cal /( mol K ) . [21] Niiden lakia on käytetty monta vuotta atomipainojen mittaamiseen . [8] James Dewarin ja Heinrich Weberin myöhemmät tutkimukset osoittivat kuitenkin, että Dulong-Petitin laki pätee vain korkeissa lämpötiloissa, [22] [23] [24] ja alhaisissa lämpötiloissa tai erittäin koville kiteille, kuten timantille . kapasiteetti on pienempi. [25] [26] [27]

Kaasujen lämpökapasiteetin kokeelliset arvot herättivät myös kysymyksiä tasajakolauseen oikeellisuudesta. Lause ennustaa, että yksiatomisten kaasujen molaarisen ominaislämpökapasiteetin tulisi olla noin 3 cal /( mol K ) ja kaksiatomisilla kaasuilla noin 7 cal /( mol K ) . Kokeet vahvistivat ensimmäisen ennusteen, [2] mutta kaksiatomisten kaasujen kohdalla koe osoitti, että ominaismoolilämpökapasiteetti on vain 5 cal /( mol K ), [28] ja putoaa 3 cal /( mol K ) erittäin alhaisissa lämpötiloissa. . [29] Maxwell huomasi vuonna 1875, että ero kokeen ja ekvipartition lain välillä on vielä pahempi, jos nämä arvot otetaan; [30] Koska atomeilla on sisäinen rakenne, lämpöenergian on mentävä näiden sisäosien liikkeisiin, mikä johtaa ennusteisiin yksi- ja kaksiatomisten kaasujen ominaismoolilämpökapasiteetteista, jotka ovat paljon suurempia kuin 3 cal /( mol K ) ja 7 cal / ( mol K ), vastaavasti.

Kolmas erimielisyys liittyy metallien lämpökapasiteettiin. [31] Klassisen Drude-mallin mukaan metallissa olevat elektronit käyttäytyvät ihanteellisen kaasun tavoin ja vastaavasti niiden on vaikutettava (3/2) N e k B , jossa N e on elektronien lukumäärä, metallin lämpökapasiteetin lisäämiseen. metallia ekvipartitiolauseen mukaan. Kokeellisesti elektronien osuus lämpökapasiteetissa on kuitenkin pieni: eri johtimien ja eristeiden molaariset lämpökapasiteetit ovat käytännössä samat. [31] (Katso myös kohta " Kvanttimekaniikan asettamat rajoitukset ").

Useita selityksiä on ehdotettu tasajakolauseen epätarkkuudelle lämpökapasiteetin määrittämisessä. Boltzmann puolusti lauseensa todistetta oikeana, mutta ehdotti, että kaasut eivät ehkä ole lämpötasapainossa niiden vuorovaikutuksen vuoksi eetterin kanssa . [32] Lordi Kelvin ehdotti, että ekvipartitiolauseen johtamisen täytyy olla väärä, koska sen johtopäätökset ovat ristiriidassa kokeen kanssa, mutta ei voinut osoittaa virhettä. [33] Lordi Rayleigh esitti sen sijaan radikaalimman hypoteesin, että sekä tasajakolause että kokeellinen termisen tasapainon oletus olivat oikeita, mutta niiden yhteensovittamiseksi hän puhui tarpeesta uuteen periaatteeseen, joka tarjoaisi paon tuhoisalta yksinkertaisuudesta . ekvipartitiolause. [34] Albert Einstein osoitti tavan ratkaista tämä ristiriita, kun hän osoitti vuonna 1907, että nämä lämpökapasiteetin poikkeamat johtuvat kvanttivaikutuksista, erityisesti jäykän kappaleen elastisten värähtelyjen energian kvantisoinnista. [35] [36] [37] [38] [39] Einstein käytti ekvipartitiolain epätarkkuutta perusteena uuden aineen kvanttiteorian tarpeelle. [8] Nernstin vuoden 1910 kokeet lämpökapasiteetin mittaamisesta alhaisissa lämpötiloissa [40] vahvistivat Einsteinin teorian ja johtivat kvanttiteorian laajaan tukeen fyysikkojen keskuudessa. [41]

Ekvipartitiolauseen yleinen muotoilu

Ekvipartitiolauseen [4] [6] [9] yleisin muotoilu sanoo, että tietyissä olosuhteissa (katso alla) fysikaaliselle järjestelmälle, jossa on Hamiltonin H ja vapausasteet x n , seuraava suhde pätee kaikille indekseille m ja n :

{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}k_{B}T.

Tässä δ mn on Kronecker-symboli , joka on yhtä suuri kuin yksi, jos m = n ja nolla muuten. Kulmasulkeet tarkoittavat keskiarvoistamista , joka voi tarkoittaa sekä aikakeskiarvoistamista että yleisempää kokonaiskeskiarvostusta vaiheavaruudessa. Lauseessa käytetty ergodisuusvaatimus tarkoittaa, että nämä kaksi keskiarvoa ovat samanarvoisia. $\left\langle \ldots \right\rangle$

Lauseen yleinen muotoilu pätee sekä mikrokanonisen kokonaisuuden tapauksessa [6] kun järjestelmän kokonaisenergia on vakio, että kanonisen ryhmän tapauksessa [4] [42] kun järjestelmä on kytketty lämpösäiliöön , jonka kanssa se voi vaihtaa energiaa. Yleiskaavan johtaminen on annettu alla .

Yleinen kaava vastaa seuraavia lausekkeita:

${\Bigl \langle }x_{n}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=k_{B}T$ kaikille n .
${\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=0$ kaikille m ≠ n .

Jos vapausaste x n esiintyy vain neliöterminä a n x n ² Hamiltonin H :ssa , niin ensimmäinen kaava sanoo, että

k_{B}T={\Bigl \langle }x_{n}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=2\langle a_{n} x_{n}^{2}\rangle ,

kaksinkertainen tämän vapausasteen osuus keskimääräisestä energiasta . Sitten ekvipartitio järjestelmälle, jonka energiat riippuvat koordinaattien neliöistä, seuraa yleisestä kaavasta. Samanlainen argumentti asteen s puolesta on yleisesti sovellettavissa muotoa a n x n s olevalle kontribuutiolle . $\langle H\rangle$

Vapausasteet x n ovat koordinaatteja järjestelmän vaiheavaruudessa , ja siksi ne yleensä jaetaan yleistettyihin koordinaatteihin q k ja yleistettyihin momenttiin p k , jossa p k on liikemäärän konjugaatti q k : aan . Tässä tapauksessa kaava 1 tarkoittaa, että kaikille k

{\Bigl \langle }p_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k))}{\Bigl \rangle }={\Bigl \langle }q_{k}{\frac {\osittais H}{\osittais q_{k))}{\Bigr \rangle }=k_{B}T.

Käyttämällä Hamiltonin mekaniikan yhtälöitä [5] nämä kaavat voidaan myös kirjoittaa uudelleen muotoon

{\Bigl \langle }p_{k}{\frac {dq_{k}}{dt}}{\Bigl \rangle }=-{\Bigl \langle }q_{k}{\frac {dp_{ k}}{dt}}{\Bigr \rangle }=k_{B}T.

Formula 2 sanoo, että keskiarvot

{\Bigl \langle }q_{j}{\frac {\partial H}{\partial q_{k))}{\Bigl \rangle },\quad {\Bigl \langle }q_{j}{ \frac {\partial H}{\partial p_{k))}{\Bigr \rangle },\quad {\Bigl \langle }p_{j}{\frac {\partial H}{\partial p_{k} )){\Bigr \rangle },\quad {\Bigl \langle }p_{j}{\frac {\partial H}{\partial q_{k))}{\Bigr \rangle },\quad {\Bigl \langle }q_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k))}{\Bigr \rangle },

{\displaystyle {\Bigl \langle }p_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k))}{\Bigr \rangle ))

ovat nollia arvolle j≠k .

Yhteys viriaalilauseeseen

Yleinen ekvipartitiolause on yleistys viriaalilauseesta (ehdotettiin vuonna 1870 [43] ) ja kuuluu

{\Bigl \langle }\sum _{k}q_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k))}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }\ summa _{k}p_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k))}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }\sum _{k}p_{k}{ \frac {dq_{k}}{dt}}{\Bigr \rangle }=-{\Bigl \langle }\sum _{k}q_{k}{\frac {dp_{k}}{dt}}{ \Bigr \rangle },

missä t tarkoittaa aikaa . [5] Kaksi keskeistä eroa näiden kahden välillä ovat se, että viriaalilause liittyy "summattuihin" eikä "yksittäisiin" keskiarvoihin toisiinsa, ja edellinen ei liitä niitä lämpötilaan "T". Erona on myös se, että viriaalilauseen perinteiset todistukset käyttävät keskiarvoistamista pitkän ajanjakson aikana, kun taas ekvipartitiolauseessa myös vaiheavaruuskeskiarvostusta .

Sovellukset

Ihanteellisen kaasun tilayhtälö

Ekvipartitiolausetta käytetään ideaalikaasun tilayhtälön johtamiseen klassisesta mekaniikasta. [4] . Hiukkasen keskimääräisen kineettisen energian kaava, jossa otetaan huomioon vain kolme translaatiovapausastetta, kirjoitetaan seuraavasti

{\begin{aligned}\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle &={\frac {1}{2m))\langle p_{x}^{2}+p_{y}^ {2}+p_{z}^{2}\rangle \\&={\frac {1}{2}}{\bigl (}{\Bigl \langle }p_{x}{\frac {\partial H ^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x}}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{y}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} } }{\partial p_{y))}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{z}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} )){\partial p_{z} )){\Bigr \rangle }{\biggr )}={\frac {3}{2}}k_{B}T\end{aligned}}

Jos q = ( q x , q y , q z ) ja p = ( p x , p y , p z ) tarkoittavat kaasussa olevan hiukkasen koordinaatteja ja liikemäärää ja F on tähän hiukkaseen vaikuttava voima, niin

{\begin{aligned}\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {F} \rangle &={\Bigl \langle }q_{x}{\frac {dp_{x}}{dt}} {\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {dp_{y}}{dt}}{\Bigl \langle }+{\Bigl \langle }q_{z}{\frac {dp_{z}}{dt}}{\Bigl \rangle }\\&=-{\Bigl \langle }q_{x}{\frac {\partial H}{\partial q_{x}}}{\ Isompi \rangle }-{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {\partial H}{\partial q_{y))}{\Bigl \rangle }-{\Bigl \langle }q_{z}{ \frac {\partial H}{\partial q_{z))}{\Bigr \rangle }=-3k_{B}T,\end{tasattu))

jossa ensimmäinen yhtälö on Newtonin toinen laki ja toisella rivillä käytetään Hamiltonin yhtälöitä ja yhtälöä. Summautuminen N hiukkasen järjestelmän yli johtaa lausekkeeseen

3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\ biggr \rangle }.

Käyttämällä Newtonin kolmatta lakia ja oletusta, että kaasu on ihanteellinen, saamme järjestelmän kokonaisvoiman - voiman, joka vaikuttaa säiliön seinämien sivulta järjestelmään, ja tämä voima saadaan kaasun paineesta P. Näin ollen

-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }=P \oint _{\mathrm {pinta} }\mathbf {q} \cdot \mathbf {dS} ,

jossa dS on astian seinämien äärettömän pieni pinta-ala. Koska sädevektorin q divergenssi on

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} ={\frac {\partial q_{x}}{\partial q_{x}}}+{\frac {\partial q_{y} }{\partial q_{y))}+{\frac {\partial q_{z)){\partial q_{z))}=3,

sitten erottelulauseesta saamme

P\oint _{\mathrm {surface} }\mathbf {q} \cdot \mathbf {dS} =P\int _{\mathrm {volume} }\left({\boldsymbol {\nabla ))\ cdot \mathbf {q} \right)dV=3PV,

missä dV on äärettömän pieni tilavuus säiliön sisällä, V on sen kokonaistilavuus.

Laittamalla yhtälöt yhteen, saamme

3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\ biggr \rangle }=3PV,

joka johtaa tilayhtälöön ihanteelliselle kaasulle N hiukkaselle:

PV=Nk_{B}T=nRT,

missä n=N/N A on kaasumoolien lukumäärä ja R =N A k B on kaasuvakio . [44]

Diatomiset kaasut

Kaksiatominen kaasu voidaan esittää kahtena massana m 1 ja m 2 , jotka on yhdistetty toisiinsa jousen avulla, jonka jäykkyys on a . [20] Tämän järjestelmän klassinen energia kirjoitetaan yksittäisten massojen liikkeen kineettisten energioiden ja jousen muodonmuutoksen potentiaalienergian summana:

H={\frac {\left|\mathbf {p} _{1}\right|^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\left|\mathbf {p} _ {2}\right|^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {1}{2}}aq^{2},

missä p 1 ja p 2 ovat kahden atomin momentti, q on poikkeama tasapainoasennosta. Jokainen vapausaste on neliöfunktio, ja siksi sen on lisättävä ½ k B T keskimääräiseen kokonaisenergiaan ja ½ k B ominaislämpöön. Näin ollen N kaksiatomisen molekyylin kaasun ominaislämpökapasiteetin tulee olla yhtä suuri kuin 7N · ½ k B : momentti p 1 ja p 2 antavat kumpikin kolme vapausastetta ja poikkeama q lisää seitsemännen. Tästä seuraa, että diatomisten molekyylien kaasun, jolla ei ole muita kuin edellä mainittuja vapausasteita, yhden moolin ominaislämpökapasiteetin tulisi olla (7/2) N A k B = (7/2) R ja siten ennustettu molaarinen ominaislämpökapasiteetti on 7 cal / ( mol K ) . Samanaikaisesti mittaukset ovat osoittaneet, että kaksiatomisten molekyylien kaasun molaarinen ominaislämpökapasiteetti on 5 cal / ( mol K ) [28] ja laskee 3 cal / ( mol K ) erittäin alhaisissa lämpötiloissa. [29] Tätä tasapainotuslain ja kokeen ennustetun arvon välistä eroa ei voida selittää monimutkaisemmalla molekyylirakenteella, koska vapausasteiden lisäämisen myötä myös lämpökapasiteetin ennustettu arvo kasvaa. [30] Tämä erimielisyys oli yksi keskeisistä, joka vaati oikeampia, nimittäin kvanttikäsityksiä aineen rakenteesta.

Ultrarelativistiset ideaalikaasut

Ekvipartition lakia käytettiin edellä johtamaan klassinen ideaalisen kaasun tilayhtälö Newtonin mekaniikasta . Relativistiset vaikutukset tulevat kuitenkin hallitseviksi joissakin järjestelmissä, kuten valkoisissa kääpiöissä ja neutronitähdissä , [6] ja ideaalisen kaasun tilayhtälö on muutettava. Ekvipartitiolause tarjoaa kätevän tavan johtaa vastaavat lait ultrarelativistiselle ideaalikaasulle . [4] Tässä tapauksessa yksittäisen hiukkasen kineettinen energia saadaan kaavalla

H^{\mathrm {kin} }\approx cp=c{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}.

Erottamalla H liikemääräkomponentin p x suhteen saadaan

p_{x}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x}}}=c{\frac {p_{x}^{2}}{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}}

ja vastaavasti p y - ja p z - komponenteille . Kun nämä kolme komponenttia lasketaan yhteen, saadaan keskimääräisen kineettisen energian lauseke

{\begin{aligned}\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle &={\biggl \langle }c{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{ 2}+p_{z}^{2}}{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}}{\biggr \rangle }\\&={\Bigl \langle }p_{x}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x))}{\Bigl \rangle }+{\Bigl \langle }p_{y}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{y))}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{z}{ \frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{z}}}{\Bigr \rangle }\\&=3k_{B}T\end{aligned}}

jossa viimeinen yhtälö seuraa yhtälöstä. Siten ultrarelativistisen kaasun keskimääräinen kokonaisenergia on kaksi kertaa kaasun kokonaisenergia ei-relativistisessa tapauksessa: N hiukkaselle saadaan 3 N k B T .

Ei-ideaaliset kaasut

Ihanteellisessa kaasussa hiukkaset ovat vuorovaikutuksessa vain törmäysten kautta. Ekvipartitiolakia voidaan käyttää johtamaan lauseke "ei-ideaalisten kaasujen" paineelle ja energialle, joissa hiukkaset ovat vuorovaikutuksessa toistensa kanssa konservatiivisten voimien kautta . Näiden hiukkasten vuorovaikutuspotentiaali U ( r ) riippuu vain hiukkasten välisestä etäisyydestä r . [4] Tämä tilanne on kuvattu yhden hiukkasen mallissa, jossa jäljellä olevat hiukkaset kaasussa muodostavat pallosymmetrisen jakauman. On kätevää ottaa käyttöön säteittäinen jakaumafunktio g(r ) , jolloin todennäköisyystiheys löytää hiukkanen etäisyydeltä r annetusta hiukkasesta on yhtä suuri kuin 4π r²ρ g(r) , missä ρ=N/V on keskiarvo kaasun tiheys . [45] Tästä seuraa, että hiukkasen ja sen ympäristön vuorovaikutuksen keskimääräinen potentiaalienergia on yhtä suuri kuin

\langle h^{\mathrm {pot} }\rangle =\int _{0}^{\infty }4\pi r^{2}\rho U(r)g(r)\,dr.

Kaasun keskimääräinen kokonaispotentiaalienergia on , jossa N on kaasussa olevien hiukkasten lukumäärä, ja kerroin ½ on välttämätön, koska kaikkien hiukkasten summaus sisältää jokaisen vuorovaikutuksen kahdesti. $\langle H^{pot}\rangle ={\tfrac {1}{2}}N\langle h^{\mathrm {pot} }\rangle$

Potentiaali- ja liike-energian yhteenlaskemisen ja yhtälön soveltamisen jälkeen saadaan energiayhtälö

H=\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle +\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\frac {3}{2}}Nk_{B}T+2 \pi N\rho \int _{0}^{\infty }r^{2}U(r)g(r)\,dr.

Samanlainen päättely [4] johtaa paineen yhtälöön

3Nk_{B}T=3PV+2\pi N\rho \int _{0}^{\infty }r^{3}U'(r)g(r)\,dr.

Anharmoniset oskillaattorit

Anharmonisessa oskillaattorissa (toisin kuin yksinkertaisessa harmonisessa oskillaattorissa ) potentiaalienergia ei ole siirtymän q (yleistetty koordinaatti, joka ilmaisee poikkeamaa tasapainopaikasta) neliöfunktio. Tällaiset oskillaattorit mahdollistavat laajemman kuvan ekvipartitiolaista. [46] [47] Tarkastellaan yksinkertaisena esimerkkinä muodon potentiaalisia energiafunktioita

H^{\mathrm {pot} }=Cq^{s},

jossa C ja s ovat mielivaltaisia reaalivakioita . Tässä tapauksessa ekvipartition laki johtaa lausekkeeseen

k_{B}T={\Bigl \langle }q{\frac {\partial H^{\mathrm {pot} }}{\partial q)){\Bigr \rangle }=\langle q\cdot sCq^{s-1}\rangle =\langle sCq^{s}\rangle =s\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle .

Siten keskimääräinen potentiaalienergia on k B T/s , eikä k B T/2 , kuten harmonisen oskillaattorin neliöpotentiaalille (jossa s = 2).

Yleisemmin yksiulotteisen järjestelmän tyypillinen energiafunktio voidaan esittää Taylor-laajennuksena q : ssa :

{\displaystyle H^{\mathrm {pot} }=\sum _{n=2}^{\infty }C_{n}q^{n))

ei-negatiivisille kokonaisluvuille n . Termi n =1 puuttuu, koska tasapainopisteessä ei ole resultanttivoimaa ja energian ensimmäinen derivaatta katoaa. Termi n = 0 on sisällytettävä mukaan, koska tasapainopisteen potentiaalienergia voidaan valita mielivaltaisesti (nolla yksinkertaisuuden vuoksi). Tässä tapauksessa tasapuolisolaista seuraa, että [46]

k_{B}T={\Bigl \langle }q{\frac {\partial H^{\mathrm {pot} }}{\partial q}}{\Bigr \rangle }=\sum _{n =2}^{\infty }\langle q\cdot nC_{n}q^{n-1}\rangle =\sum _{n=2}^{\infty }nC_{n}\langle q^{n }\rangle .

Toisin kuin muut tässä annetut esimerkit, tasa-arvolaki

\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\frac {1}{2}}k_{B}T-\sum _{n=3}^{\infty }\left({ \frac {n-2}{2}}\right)C_{n}\langle q^{n}\rangle

sillä keskimääräistä potentiaalienergiaa ei voida kirjoittaa tunnetuilla vakioilla.

Brownin liike

Ekvipartitiolakia käytetään johtamaan Brownin hiukkasen keskihajonta Langevinin yhtälön avulla . [4] Tämän yhtälön mukaan hiukkasen, jonka massa on m ja nopeus v , liike noudattaa Newtonin toista lakia.

{\frac {d\mathbf {v} }{dt))={\frac {1}{m))\mathbf {F} =-{\frac {\mathbf {v} }{\tau } }+{\frac {1}{m}}\mathbf {F} ^{\mathrm {rnd} },

jossa F rnd on satunnainen voima, joka kuvaa hiukkasen satunnaisia törmäyksiä ympäröivien molekyylien kanssa, ja jossa aikavakio heijastaa kitkavoiman olemassaoloa , joka on suunnattu liikettä vastakkaiseen suuntaan. Kitkavoima kirjoitetaan usein verrannolliseksi hiukkasen nopeuteen , jolloin aikavakio on . $\tau$ $\mathbf {F} ^{\mathrm {drag} }=-\gamma \mathbf {v}$ $\tau$ $m/\gamma$

Tämän yhtälön ja hiukkasten sijaintivektorin skalaaritulo keskiarvon laskemisen jälkeen (ajan kuluessa) johtaa yhtälöön $\mathbf {r}$

{\Bigl \langle }\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt)){\Bigr \rangle }+{\frac {1}{\tau ))\ langle \mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \rangle =0

Brownin liikkeelle (koska satunnaisvoima F rnd ei korreloi vektorin r kanssa ). Matemaattisten suhteiden käyttäminen

{\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)={\frac {d}{dt}}\left(r^{2} \right)=2\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)

{\frac {d}{dt))\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)=v^{2}+\mathbf {r} \cdot {\frac {d \mathbf {v} }{dt}},

Brownin liikkeen perusyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa

{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\langle r^{2}\rangle +{\frac {1}{\tau }}{\frac {d}{dt }}\langle r^{2}\rangle =2\langle v^{2}\rangle ={\frac {6}{m}}k_{B}T,

jossa viimeinen yhtälö seuraa translaation liikkeen kineettisen energian ekvipartition laista:

\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle ={\Bigl \langle }{\frac {p^{2}}{2m}}{\Bigr \rangle }=\langle {\tfrac { 1}{2}}mv^{2}\rangle ={\tfrac {3}{2}}k_{B}T.

Sitten differentiaaliyhtälö ( sopivilla alkuehdoilla) voidaan ratkaista tarkasti: $\langle r^{2}\rangle$

\langle r^{2}\rangle ={\frac {6k_{B}T\tau ^{2}}{m}}\left(e^{-t/\tau }-1+{\ frac {t}{\tau }}\right).

Jos aika on pieni verrattuna aikavakioon ( ), niin hiukkasta voidaan pitää vapaasti liikkuvana ja käyttämällä eksponentiaalifunktioon Taylor-laajennusta, koska siirtymän neliö kasvaa suunnilleen neliöllisesti , saadaan $t\ll \tau$

\langle r^{2}\rangle \noin {\frac {3k_{B}T}{m}}t^{2}=\langle v^{2}\rangle t^{2}.

Toisinaan paljon aikavakiota ( ) suurempia eksponentiaalisia termejä ja vakio ovat mitättömän pieniä, ja siirtymän neliö kasvaa lineaarisesti : $t\gg \tau$

\langle r^{2}\rangle \noin {\frac {6k_{B}T\tau }{m}}t=6\gamma k_{B}Tt.

Tämä lauseke kuvaa hiukkasen diffuusiota ajassa. Samanlainen yhtälö jäykän molekyylin rotaatiodiffuusiolle johdetaan samanlaisella menetelmällä.

Tähtien fysiikka

Ekvipartitiolausetta ja viriaalilausetta on käytetty pitkään astrofysiikassa . [48] Esimerkiksi viriaalilausetta käytetään arvioimaan tähtien lämpötiloja tai Chandrasekharin rajaa valkoisten kääpiöiden massalle . [49] [50]

Tähden keskilämpötila arvioidaan ekvipartitiolauseen perusteella. [51] Koska useimmat tähdet ovat pallosymmetrisiä, kokonaisgravitaatiopotentiaalienergia arvioidaan integraalilla .

H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }=-\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{2}G}{r}}M (r)\,\rho (r)\,dr,

missä M(r) on massa säteen r sisällä , ρ(r) on tähtitiheys säteellä r , G on gravitaatiovakio , R on tähden kokonaissäde. Vakiona tähtitiheyden tapauksessa integraatio säteen yli johtaa lausekkeeseen

H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }=-{\frac {3GM^{2}}{5R)),

missä M on tähden kokonaismassa. Tästä seuraa, että yhden hiukkasen keskimääräinen potentiaalienergia on yhtä suuri

\langle H^{\mathrm {grav} }\rangle ={\frac {H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }}{N}}=-{\frac {3GM^ {2}}{5RN}},

missä N on hiukkasten lukumäärä tähdessä. Useimmat tähdet koostuvat pääosin ionisoidusta vedystä , joten N on suunnilleen (M/ mp ) , missä mp on protonin massa. Ekvipartitiolain soveltaminen antaa arvion tähden lämpötilasta

{\Bigl \langle }r{\frac {\partial H^{\mathrm {grav} }}{\partial r}}{\Bigr \rangle }=\langle -H^{\mathrm {grav} }\rangle =k_{B}T={\frac {3GM^{2}}{5RN}}.

Kun tähän lausekkeeseen korvataan Auringon massa ja säde , arvioitu auringon lämpötila T on 14 miljoonaa kelviniä , hyvin lähellä Auringon ytimen lämpötilaa (15 miljoonaa kelviniä). On totta, että Aurinko on rakenteeltaan paljon monimutkaisempi kuin tässä yksinkertaistetussa mallissa on hyväksytty ja sen lämpötila sekä tiheys muuttuvat voimakkaasti säteen funktiona ja niin hyvä sopivuus (≈7 % suhteellinen virhe ) on osittain meidän onneamme. [52]

Tähtien muodostuminen

Yllä saatuja kaavoja voidaan käyttää määrittämään olosuhteet tähtien muodostumiselle jättimäisistä molekyylipilvistä . [53]

Tällaisten pilvien tiheyden paikalliset vaihtelut voivat johtaa epävakaan tilaan, jossa pilvi romahtaa oman painonsa alla. Tällainen romahdus tapahtuu, kun ekvipartitiolause tai vastaavasti viriaalilause ei enää päde, eli kun gravitaatiopotentiaalienergia on kaksi kertaa kineettinen energia

{\frac {3GM^{2}}{5R}}>3Nk_{B}T

Olettaen, että pilven tiheys on vakio, kaavan mukaan $\rho$

M={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho

voidaan saada arvio tähden syntymän vähimmäismassasta, jota kutsutaan farkkumassaksi M J

M_{J}^{2}=\left({\frac {5k_{B}T}{Gm_{p))}\right)^{3}\left({\frac {3}{4 \pi \rho }}\right)

Korvaamalla tyypillisten massojen arvot tällaisissa havaittavissa pilvissä ( T =150 K, ρ = 2⋅10 −16 g/cm³) saadaan 17 auringon massan vähimmäismassaarvioksi, mikä on yhdenmukainen havaitun tähtien muodostumisen kanssa. Tämä vaikutus tunnetaan farkkujen epävakauteena . Se on nimetty brittiläisen fyysikon James Jeansin mukaan, joka julkaisi kuvauksen tästä epävakaudesta vuonna 1902. [54]

Johtopäätökset

Kineettinen energia ja Maxwell-Boltzmann-jakauma

Tasapainolauseen alkuperäinen muotoilu sanoo, että fysikaalisessa järjestelmässä termodynaamisessa tasapainossa jokaisella hiukkasella on sama keskimääräinen kineettinen energia , (3/2) k B T . [55] Tämä voidaan osoittaa käyttämällä Maxwell-Boltzmann-jakaumaa (katso yllä oleva kuva molekyylinopeuksien todennäköisyystiheysjakaumasta ), joka on todennäköisyysjakauma.

{\displaystyle f(v)=4\pi \left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}\!\!v^{2}\ exp {\Bigl (}{\frac {-mv^{2}}{2k_{B}T}}{\Bigr )))

hiukkasen, jonka massa on m , nopeudelle järjestelmässä, jossa nopeus v on nopeusvektorin amplitudi . ${\displaystyle {\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2))))$ $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$

Maxwell-Boltzmann-jakauma soveltuu atomijärjestelmään ja siinä oletetaan vain, että hiukkasjärjestelmä on kanoninen kokonaisuus , erityisesti, että kineettiset energiat jakautuvat Boltzmann-tekijän mukaan lämpötilassa T. [55] Keskimääräinen kineettinen energia hiukkaselle, jonka massa on m , saadaan integraalikaavalla

\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle =\langle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}\rangle =\int _{0}^{\infty }{\ tfrac {1}{2}}mv^{2}\ f(v)\ dv={\tfrac {3}{2}}k_{B}T,

aivan kuten ekvipartitiolause sanoo. Sama tulos voidaan saada laskemalla hiukkasten energioiden keskiarvo ja käyttämällä todennäköisyyttä löytää hiukkanen jossain energiakvanttitilassa [44] .

Neliöenergiat ja osiofunktio

Yleisemmässä muotoilussa ekvipartitiolause sanoo, että minkä tahansa vapausasteen , joka esiintyy kokonaisenergiassa vain muodon neliöllisenä terminä , jossa on vakio, on keskimääräinen energia ½ termodynaamisessa tasapainossa. Tässä tapauksessa ekvipartitio voidaan johtaa osiofunktiosta , jossa on käänteislämpötila . [56] Integrointi muuttujan yli antaa kertoimen $x$ $H$ $Ax^{2}$ $A$ $k_{B}T$ $Z(\beta )$ $\beta =1/(k_{B}T)$ $x$

Z_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }dx\ e^{-\beta Ax^{2))={\sqrt {\frac {\pi }{\beta A }}},

kaavassa . Tähän tekijään liittyvä keskimääräinen energia saadaan kaavalla $Z$

\langle H_{x}\rangle =-{\frac {\partial \ln Z_{x}}{\partial \beta }}={\frac {1}{2\beta }}={\frac {1}{2}}k_{B}T

kuten ekvipartitiolause sanoo.

Yleisiä todisteita

Ekvipartitiolauseen yleiset johtopäätökset löytyvät monista tilastomekaniikan oppikirjoista sekä mikrokanonisen joukon [4] [6] että kanonisen ryhmän [4] [42] osalta . Näissä menetelmissä järjestelmän keskiarvo lasketaan vaiheavaruudessa , joka on symplektinen monisto .

Näiden johtopäätösten selittämiseksi meidän on otettava käyttöön seuraava merkintä. Ensin vaiheavaruus kuvataan yleistetyillä koordinaatteilla q j yhdessä niiden konjugaattimomentin p j kanssa . Suuret q j kuvaavat täysin järjestelmän konfiguraatiota , samalla kun suuret ( q j , p j ) kuvaavat yhdessä täysin sen tilaa .

Toiseksi otetaan käyttöön äärettömän pieni tilavuus

{\displaystyle d\Gamma =\prod _{i}dq_{i}dp_{i))

vaiheavaruus ja käytä sitä tilavuutena Γ( E , Δ E ) siinä vaiheavaruuden osassa, jossa järjestelmän H energia saa arvon energia-alueella E ja E+ΔE :

\Gamma (E,\Delta E)=\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}d\Gamma .

Tässä lausekkeessa ΔE on hyvin pieni, ΔE<<E . Vastaavasti Σ( E ) määritellään vaihetilan kokonaistilavuudeksi, jossa energia on pienempi kuin E :

\Sigma (E)=\int _{H<E}d\Gamma .

ΔE pienuudesta johtuen seuraavat integraatiot ovat samanarvoisia

\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}\ldots d\Gamma =\Delta E{\frac {\partial }{\partial E))\int _{H <E}\ldots d\Gamma ,

jossa pisteet edustavat integroitavaa lauseketta. Tästä seuraa, että Γ on verrannollinen ΔE:hen

\Gamma =\Delta E\ {\frac {\partial \Sigma }{\partial E))=\Delta E\ \rho (E),

missä ρ(E) on tilojen tiheys . Tavallisten tilastomekaniikan määritelmien mukaan entropia S on yhtä suuri kuin k B log Σ(E) ja lämpötila T määritellään

{\frac {1}{T}}={\frac {\partial S}{\partial E}}=k_{b}{\frac {\partial \log \Sigma }{\partial E}} =k_{b}{\frac {1}{\Sigma }}\,{\frac {\partial \Sigma }{\partial E)).

Canonical Ensemble

Kanonisessa kokoonpanossa järjestelmä on lämpötasapainossa äärettömän lämpösäiliön kanssa lämpötilassa T (kelvineinä). [4] [42] Kunkin vaiheavaruuden tilan todennäköisyys saadaan sen Boltzmann -kertoimella kerrottuna normalisointikertoimella , joka valitaan siten, että todennäköisyyksien summa on yhtä suuri $\mathcal{N}$

{\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}d\Gamma =1,

jossa β = 1/ k BT . Integrointi osilla vaiheavaruusmuuttujalle x k (joka voi olla joko q k tai p k ) kahden rajan a ja b välillä johtaa yhtälöön

{\mathcal {N}}\int \left[e^{-\beta H(p,q)}x_{k}\right]_{x_{k}=a}^{x_{k} =b}d\Gamma _{k}+{\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}x_{k}\beta {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}d\Gamma =1,

missä dΓ k = dΓ/dx k , eli ensimmäistä integrointia ei suoriteta x k :n yli . Ensimmäinen termi on yleensä nolla, koska x k on nolla rajoissa tai koska energia hajoaa rajoissa. Tässä tapauksessa yhtälöstä seuraa välittömästi ekvipartitiolause

{\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}x_{k}{\frac {\partial H}{\partial x_{k))}\,d\ Gamma ={\Bigl \langle }x_{k}{\frac {\partial H}{\partial x_{k))}{\Bigr \rangle }={\frac {1}{\beta ))=k_{ B}T.

Tässä keskiarvo tarkoittaa kanonisen kokonaisuuden keskiarvoa . $\langle \ldots \rangle$

Microcanonical Ensemble

Mikrokanonisessa kokonaisuudessa järjestelmä on eristetty muusta maailmasta tai ainakin kytketty löyhästi. [6] Tästä seuraa, että sen kokonaisenergia on vakio. Olkoon varmuuden vuoksi kokonaisenergia H välillä E ja E+ΔE . Tietylle energialle E ja epävarmuudelle ΔE on vaiheavaruudessa Γ alue, jossa järjestelmällä on kyseinen energia, ja kunkin tilan todennäköisyydet kyseisellä vaiheavaruuden alueella ovat mikrokanonisen ryhmän määritelmän mukaan yhtä suuret. Näistä määritelmistä seuraa, että vaiheavaruusmuuttujien x m (joka voi olla joko q k tai p k ) ja x n keskiarvotus saadaan

{\begin{aligned}{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }&={\frac {1} {\Gamma ))\,\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}\, d\Gamma \\&={\frac {\Delta E}{\Gamma }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}\,d\Gamma \\&={\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\ int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial \left(HE\right)}{\partial x_{n))}\,d\Gamma ,\end{aligned))

jossa viimeinen yhtälö johtuu siitä, että E ei ole riippuvainen x n :stä . Osien integrointi johtaa suhteeseen

{\begin{aligned}\int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial (HE)}{\partial x_{n))}\,d\Gamma &=\int _ {H<E}{\frac {\partial }{\partial x_{n))}{\bigl (}x_{m}(HE){\bigr )}\,d\Gamma -\int _{H< E}\delta _{mn}(HE)d\Gamma \\&=\delta _{mn}\int _{H<E}(EH)\,d\Gamma ,\end{aligned}}

koska ensimmäinen termi oikealla ensimmäisellä rivillä on yhtä suuri kuin nolla (se voidaan kirjoittaa integraalina H - E hyperavaruuden päälle , missä H = E ).

Korvaamalla tämän tuloksen edelliseen yhtälöön, saamme

{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}{\frac {1}{ \rho }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}\left(EH\right)\,d\Gamma =\delta _{mn}{\frac { 1}{\rho }}\,\int _{H<E}\,d\Gamma =\delta _{mn}{\frac {\Sigma }{\rho )).

Siitä lähtien ekvipartitiolaki sanoo: $\rho ={\frac {\partial \Sigma }{\partial E))$

{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}{\Bigl (}{\ frac {1}{\Sigma }}{\frac {\partial \Sigma }{\partial E}}{\Bigr )}^{-1}=\delta _{mn}{\Bigl (}{\frac { \partial \log \Sigma }{\partial E}}{\Bigr )}^{-1}=\delta _{mn}k_{B}T.

Siten olemme saaneet tasaosiolauseen yleisen muotoilun

{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}k_{B}T,

jota on käytetty yllä olevissa sovelluksissa .

Soveltuvuus

Ergodisuusvaatimus

Ekvipartitiolaki pätee vain ergodisille järjestelmille termodynaamisessa tasapainossa , mikä tarkoittaa, että kaikki samanenergiaiset tilat on täytettävä samalla todennäköisyydellä. [6] Sen vuoksi pitäisi olla mahdollista vaihtaa energiaa sen eri muotojen välillä järjestelmän sisällä tai kanonisessa kokoonpanossa olevan ulkoisen lämpösäiliön kanssa . Niiden fysikaalisten järjestelmien määrä, joiden ergodisuudesta tunnetaan tiukka todiste, on pieni. Tunnetuin esimerkki on Jacob Siinain kovien pallojen järjestelmä . [57] Tutkitut vaatimukset eristetyille järjestelmille, joilla on taattu ergodisuus, ja siten tasa-arvo, loivat edellytykset nykyaikaiselle dynaamisten järjestelmien kaaosteorialle . Kaoottisen Hamiltonin järjestelmän ei tarvitse olla ergodinen, vaikka tämä on yleensä hyvä approksimaatio. [58]

Kytkettyjen harmonisten oskillaattorien järjestelmä on usein mainittu vastaesimerkki, koska energiaa ei jaeta sen eri muotojen välillä eikä tasa-arvo päde mikrokanonisessa kokoonpanossa. [58] Jos järjestelmä on eristetty muusta maailmasta, energia kussakin normaalitilassa on vakio, eikä energiaa siirry tilasta toiseen. Siksi ekvipartitolaki ei päde tällaiselle järjestelmälle, koska energian määrä kussakin normaalitilassa määräytyy sen alkuarvon mukaan. Jos energiassa on riittävän vahvoja epälineaarisia termejä, se voidaan jakaa uudelleen normaalimoodien kesken, mikä johtaa siihen, että ekvipartitolaki täyttyy. Kolmogorov-Arnold-Moser-lause kuitenkin sanoo, että epälineaaristen häiriöiden on oltava riittävän voimakkaita jakaakseen energiaa uudelleen; muuten, kun ne ovat pieniä, energia pysyy keskittyneenä ainakin joissakin moodeissa.

Kvanttimekaniikan asettamat rajoitukset

Ekvipartitiolakia rikotaan, kun lämpöenergia k B T tulee paljon pienemmäksi kuin energiatasojen välinen etäisyys. Ekvipartitio ei toimi, koska oletus energiatasojen jatkuvasta spektristä , jota käytettiin yllä ekvipartiolain johtamisessa, ei ole enää hyvä approksimaatio. [4] [6] Historiallisesti mahdottomuus selittää mustan kappaleen ominaislämpöä ja säteilyä käyttämällä klassista ekvipartiolausetta on ollut pääasiallisena syynä ymmärtää, että tarvitaan uusia teorioita aineesta ja säteilystä, nimittäin kvanttimekaniikkaa ja säteilyä. kvanttikenttäteoria . [kahdeksan]

Havainnollistaaksesi ekvipartitiolauseen rikkomista, harkitse yhden (kvantti) harmonisen oskillaattorin keskimääräistä energiaa, jota käsiteltiin edellä klassisen tapauksen osalta. Sen kvanttitasot annetaan muodossa E n = nhν , missä h on Planckin vakio , ν on oskillaattorin perustaajuus ja n on positiivinen kokonaisluku. Todennäköisyys, että tietty energiataso täyttyy kanonisessa kokonaisuudessa , saadaan sen Boltzmann-kertoimella:

P(E_{n})={\frac {e^{-n\beta h\nu }}{Z)),

jossa β = 1/ k B T ja nimittäjä Z on osiofunktio , tässä geometrinen sarja

Z=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta h\nu }={\frac {1}{1-e^{-\beta h\nu }} }.

Sen keskimääräinen energia on annettu muodossa

\langle H\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}P(E_{n})={\frac {1}{Z))\sum _{n= 0}^{\infty }nh\nu \ e^{-n\beta h\nu }=-{\frac {1}{Z}}{\frac {\partial Z}{\partial \beta }}= -{\frac {\partial \log Z}{\partial \beta )).

Korvaamalla kaavan Z :n saamme haluttuun tulokseen [6]

\langle H\rangle =h\nu {\frac {e^{-\beta h\nu }}{1-e^{-\beta h\nu }}}.

Korkeissa lämpötiloissa, kun lämpöenergia k B T on paljon suurempi kuin energiatasojen välinen etäisyys hν , eksponentiaalinen βhν osoittautuu paljon pienemmäksi kuin yksikkö ja keskimääräinen energia tulee yhtä suureksi kuin k B T ekvipartiolain mukaisesti. (katso kaavio). Kuitenkin alhaisissa lämpötiloissa, kun hν >> k B T , keskimääräinen energia pyrkii nollaan - korkeataajuiset energiatasot "jäätyvät pois" (katso kuvaaja). Toisena esimerkkinä vetyatomin viritetyt elektroniset tilat eivät vaikuta kaasun ominaislämpökapasiteettiin huoneenlämpötilassa, koska lämpöenergia k B T (noin 0,025 eV ) on paljon pienempi kuin perustilan ja kaasun välinen etäisyys. ensimmäinen viritetty taso (noin 10 eV ).

Samanlaisia näkökohtia sovelletaan riippumatta siitä, onko energiatasojen välinen etäisyys suurempi kuin lämpöenergia. Esimerkiksi Albert Einstein käytti tätä lähtökohtaa ratkaistakseen ultraviolettimustan kappaleen säteilykatastrofin. [59] Paradoksi syntyy siitä tosiasiasta, että suljetussa säiliössä on ääretön määrä riippumattomia sähkömagneettisen kentän moodeja, joista jokaista käsitellään harmonisena oskillaattorina. Jos kullakin sähkömagneettisella moodilla on keskimääräinen energia k B T , niin säiliö sisältää äärettömän määrän energiaa. [59] [60] Kuitenkin edellä käsitellystä syystä keskimääräinen energia korkeataajuisissa moodeissa pyrkii nollaan taajuuden muuttuessa äärettömään; lisäksi Planckin mustan kappaleen säteilylaki , joka seuraa kokeellisesti löydetystä energian jakautumisesta moodien välillä, seuraa samasta syystä. [59]

On olemassa hienovaraisempia kvanttiefektejä, jotka voivat johtaa ekvipartitiolauseen korjauksiin, kuten hiukkasten identiteetit ja jatkuvat symmetriat . Hiukkasten erottamattomuusvaikutukset voivat vallita korkeissa pitoisuuksissa ja matalissa lämpötiloissa. Esimerkiksi metallin valenssielektronien keskimääräinen kineettinen energia voi olla useita elektronivoltteja , mikä vastaa kymmenien tuhansien asteiden lämpötilaa. Nämä elektronit muodostavat rappeutuneen Fermi-kaasun tilassa, jossa niiden tiheys on niin korkea, että Paulin poissulkemisperiaate tekee klassisen lähestymistavan soveltumattomaksi . Tällaiset kaasut ovat tärkeitä valkoisten kääpiöiden ja neutronitähtien rakenteessa . Matalissa lämpötiloissa muodostuu Bose-Einstein-kondensaatin fermioninen analogi (jossa monet identtiset hiukkaset miehittävät maaenergiatilan); tällaiset supernesteiset elektronit ovat vastuussa suprajohtavuudesta .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Tässä, kuten näet, termiä vapausaste käytetään siinä "termodynaamisessa" merkityksessä, joka poikkeaa jonkin verran fysiikan tavanomaisesta, nimittäin (tässä artikkelissa annetussa versiossa): koordinaatti (vastaa potentiaalisesta energiasta ) ja nopeus (vastaa kineettistä), kun taas yleensä koordinaatti ja vastaava nopeus lasketaan samalle vapausasteelle. On helppo nähdä, että tässä yhteydessä tällainen termin merkityksen muutos on perusteltua lauseen muotoilun yksinkertaisuudella. Huomaa, että koordinaatit, joista potentiaalienergia ei riipu (ainakaan ensimmäisessä approksimaatiossa) neliöllisesti (ja nämä ovat koordinaatteja, jotka vastaavat molekyylin translaatio- ja pyörimisliikettä), vaikuttavat potentiaalienergiaan merkityksettömästi, vaikka tavallinen osuus liike-energiasta on ½ k B T. Värähtelyn vapausasteiden, joiden potentiaalienergia on neliöllinen (ainakin suunnilleen), erottava piirre on, että värähtelyjärjestelmissä, jotka ovat lähellä harmonisuutta , potentiaalienergia on yhtä suuri kuin vapaiden värähtelyjen kineettinen energia.
↑ 1 2 Kundt, A. ; Warburg E. Über die specifische Wärme des Quecksilbergases (Elohopeakaasujen ominaislämmöstä) (englanniksi) // Annalen der Physik : journal. - 1876. - Voi. 157 . - s. 353-369 . Arkistoitu alkuperäisestä 13. huhtikuuta 2013. (Saksan kieli)
↑ Tietosivu uraanin rikastamisesta arkistoitu 25. helmikuuta 2021 Wayback Machine US Nuclear Regulatory Commissionissa. Käytetty 30. huhtikuuta 2007
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Pathria, RK Statistical Mechanics. - Pergamon Press, 1972. - S. 43-48, 73-74. — ISBN 0-08-016747-0 .
↑ 1 2 3 Goldstein, H. Klassinen mekaniikka. – 2. toim. - Addison-Wesley , 1980. - ISBN 0-201-02918-9 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Huang, K. Statistical Mechanics. - 2. painos .. - John Wiley and Sons , 1987. - S. 136-138.
↑ 12 Mandl , F. Tilastollinen fysiikka . - John Wiley and Sons , 1971. - S. 213-219 .
↑ 1 2 3 4 Pais, A. Hienovarainen on Herra . - Oxford University Press , 1982. - ISBN 0-19-853907-X .
↑ 1 2 Tolman, RC Energian jakautumisen yleinen teoria ja sovelluksia kvanttiteoriaan // Physical Review : Journal . - 1918. - Voi. 11 . - s. 261-275 .
↑ Miedl M., Garcia M., Bamforth C. Samun muodostuminen malliolutjärjestelmissä // J. Agric . elintarvikekemia. : päiväkirja. - 2005. - Voi. 53 , no. 26 . - P. 10161-10165 . - doi : 10.1021/jf0506941 . — PMID 16366710 .
↑ Mason, M; Weaver W. Pienten hiukkasten laskeutuminen nesteessä // Physical Review : Journal . - 1924. - Voi. 23 . - s. 412-426 . - doi : 10.1103/PhysRev.23.412 .
↑ Brush, SG Liikkeen tyyppi, jota kutsumme lämmöksi, osa 1 . - Amsterdam: Pohjois-Hollanti, 1976. - S. 134-159. — ISBN 978-0444870094 .
↑ Brush, SG The Kind of Motion, jota kutsumme lämmöksi, osa 2 . - Amsterdam: Pohjois-Hollanti, 1976. - S. 336-339. — ISBN 978-0444870094 .
↑ Waterston, JJ . Tietovälineiden fysiikasta, jotka koostuvat vapaista ja elastisista liiketilassa olevista molekyyleistä (englanniksi) // Roy. soc. Proc. : päiväkirja. — 1846/1893. — Voi. 5 . - s. 604 . (abstrakti). Ei julkaistu kokonaan ennen {{{title}}} // Philos. Trans. R. Soc. Lontoo. - 1893. - T. A183 . - S. 1-79 . Uudelleenjulkaistu John James Waterstonin / JS Haldanen kerätyt tieteelliset artikkelit . - Edinburgh: Oliver & Boyd, 1928.
↑ Waterston, JJ Ajatuksia mielen toiminnoista. - 1843. (Uudelleenpainotettu hänen papereissaan , 3 , 167, 183.)
↑ Waterston, JJ {{{title}}} // British Association Reports. - 1851. - T. 21 . - S. 6 . Waterstonin pääpaperi kirjoitettiin ja jätettiin vuonna 1845 Royal Societylle . Kieltäytyään painamasta teosta, seura kieltäytyi myös palauttamasta käsikirjoitusta ja säilytti sen muiden artikkeleiden joukossa arkistossa. Käsikirjoituksen löysi vuonna 1891 Lord Rayleigh , joka kritisoi referenttiä siitä, että tämä ei ymmärtänyt Waterstonin työn merkitystä. Waterston onnistui julkaisemaan ajatuksensa vuonna 1851, joten hän oli Maxwellia edellä ekvipartiolauseen ensimmäisen version esittämisessä.
↑ Maxwell, JC Kuvat dynaamisesta kaasuteoriasta // James Clerk Maxwellin tieteelliset paperit / WD Niven. - New York: Dover, 2003. - P. Vol. 1, s. 377-409. — ISBN 978-0486495606 . Lukee prof. Maxwell British Associationin kokouksessa Aberdeenissa 21. syyskuuta 1859 .
↑ Boltzmann, L. Einige allgemeine Sätze über Wärmegleichgewicht (Joitakin yleisiä lausuntoja lämpötasapainosta) (saksa) // Wiener Berichte : magazin. - 1871. - Bd. 63 . - S. 679-711 . (Saksa) Tässä esityössä Boltzmann osoitti, että keskimääräinen kokonaiskineettinen energia on yhtä suuri kuin keskimääräinen kokonaispotentiaalienergia, kun ulkoiset harmoniset voimat vaikuttavat järjestelmään.
↑ Boltzmann, L. Über die Natur der Gasmoleküle (Kaasumolekyylien luonteesta) // Wiener Berichte. - 1876. - T. 74 . - S. 553-560 . (Saksan kieli)
↑ 1 2 McQuarrie, D. A. Statistical Mechanics . - tarkistettu 2. painos - University Science Books, 2000. - s . 91-128 .
↑ Petit, A. T. ; Dulong PL Recherches sur quelques points fontoss de la théorie de la chaleur (Tutkimuksia lämpöteorian avainkohdista) (ranska) // Annales de Chimie et de Physique :lehti. - 1819. - Voi. 10 . - s. 395-413 . Arkistoitu alkuperäisestä 22. tammikuuta 2009. (fr.)
↑ Dewar, J. Hiilen ominaislämpö korkeissa lämpötiloissa // Philosophical Magazine : aikakauslehti . - 1872. - Voi. 44 . - s. 461 .
↑ Weber, H.F. Die specifische Wärme des Kohlenstoffs (Hiilen ominaislämpö) (englanniksi) // Annalen der Physik : Journal. - 1872. - Voi. 147 . - s. 311-319 . Arkistoitu alkuperäisestä 10. joulukuuta 2006. (Saksan kieli)
↑ Weber, HF Die specische Wärmen der Elemente Kohlenstoff, Bor und Silicium (Alkuainehiilen, boorin ja piin ominaislämmöt ) // Annalen der Physik : Journal. - 1875. - Voi. 154 . - P. 367-423, 553-582 . (linkki ei saatavilla) (saksa)
↑ de la Rive, A.; Marcet F. Quelques recherches sur la chaleur spécifique (Jäkun tutkimusta ominaislämmöstä) (ranska) // Annales de Chimie et de Physique :lehti. - 1840. - Voi. 75 . - s. 113-144 . Arkistoitu alkuperäisestä 27. huhtikuuta 2021. (fr.)
↑ Regnault, HV Recherches sur la chaleur spécifique des corps simples et des corps composés (deuxième Mémoire) (Tutkii yksinkertaisten ja yhdistelmäkappaleiden ominaislämpöjä) (ranska) // Annales de Chimie et de Physique :lehti. - 1841. - Voi. 1 (3me-sarja) . - s. 129-207 . Arkistoitu alkuperäisestä 13. huhtikuuta 2013. (ranska) Luettu l'Académie des Sciencesissa 11. tammikuuta 1841 .
↑ Wigand, A. Über Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärme fester Elemente (Kiinteiden aineiden ominaislämpöjen lämpötilariippuvuudesta ) // Annalen der Physik : Journal. - 1907. - Voi. 22 . - s. 99-106 . (Saksan kieli)
↑ 1 2 Wüller, A. Lehrbuch der Experimentalphysik (Kokeellisen fysiikan oppikirja ) . - Leipzig: Teubner, 1896. - P. Voi. 2, 507ff. (Saksan kieli)
↑ 1 2 Eucken, A. Die Molekularwärme des Wasserstoffs bei tiefen Temperaturen (Vedyn molekyylikohtainen ominaislämpö alhaisissa lämpötiloissa ) // Sitzungsberichte der königlichen Preussischen Akademie der Wissenschaften : Journal. - 1912. - Voi. 1912 . - s. 141-151 . (Saksan kieli)
↑ 1 2 Maxwell, JC Kehien molekyylirakenteen dynaamisista todisteista // James Clerk Maxwellin tieteelliset paperit / WD Niven. - Cambridge: At the University Press, 1890. - P. Vol. 2, s. 418-438. Professori Maxwellin pitämä luento Chemical Societylle 18. helmikuuta 1875 .
↑ 1 2 Kittel, C. Johdatus kiinteän olomuodon fysiikkaan. - New York: John Wiley and Sons , 1996. - S. 151-156.
↑ Boltzmann, L. Tietyistä kaasuteorian kysymyksistä // Luonto . - 1895. - Voi. 51 . - s. 413-415 .
↑ Thomson, W. Baltimore Luennot. — Baltimore: Johns Hopkins University Press, 1904. - S. Sec. 27. Uudelleenpainos vuonna 1987 MIT Pressin toimesta Kelvin's Baltimore Lectures and Modern Theoretical Physics: Historical and Philosophical Perspectives (Toimittajat Robert Kargon ja Peter Achinstein). ISBN 978-0-262-11117-1
↑ Rayleigh, JWS Kineettisen energian jakautumislaki // Philosophical Magazine : Journal . - 1900. - Voi. 49 . - s. 98-118 .
↑ Einstein, A. Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme (Planckin säteilyteoria ja ominaislämmön teoria) // Annalen der Physik . - 1907. - T. 22 . - S. 180-190 . (Saksan kieli)
↑ Einstein, A. Berichtigung zu meiner Arbeit: "Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme" (Korjaus edelliseen artikkeliin) (saksa) // Annalen der Physik : magazin. - 1907. - Bd. 22 . - S. 800 . (Saksan kieli)
↑ Einstein, A. Eine Beziehung zwischen dem elastischen Verhalten and der spezifischen Wärme bei festen Körpern mit einatomigem Molekül (Yhteys kiinteiden aineiden elastisen käyttäytymisen ja ominaislämmön välillä yksiatomisten molekyylien kanssa) // Annalen der Physik . - 1911. - T. 34 . - S. 170-174 . Arkistoitu 20. toukokuuta 2020. (Saksan kieli)
↑ Einstein, A. Bemerkung zu meiner Arbeit: "Eine Beziehung zwischen dem elastischen Verhalten and der spezifischen Wärme bei festen Körpern mit einatomigem Molekül" (Kommentti edelliseen artikkeliin) (saksa) // Annalen der Physik : magazin. - 1911. - Bd. 34 . - S. 590 . Arkistoitu 20. toukokuuta 2020. (Saksan kieli)
↑ Einstein, A. Elementare Betrachtungen über die thermische Molekularbewegung in festen Körpern (Perushavaintoja molekyylien lämpöliikkeistä kiintoaineissa) // Annalen der Physik . - 1911. - T. 35 . - S. 679-694 . Arkistoitu alkuperäisestä 27. huhtikuuta 2021. (Saksan kieli)
↑ Nernst, W. Untersuchungen über die spezifische Wärme bei tiefen Temperaturen. II. (Ominaislämmön tutkimukset alhaisissa lämpötiloissa) // Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften: Journal. - 1910. - Voi. 1910 . - s. 262-282 . (Saksan kieli)
↑ Hermann, Armin. The Genesis of Quantum Theory (1899–1913) (englanniksi) . - alkuperäinen nimi: Frühgeschichte der Quantentheorie (1899–1913) , kääntänyt Claude W. Nash. - Cambridge, MA: The MIT Press , 1971. - S. 124-145 . - ISBN 0-262-08047-8 , .
↑ 1 2 3 Tolman, R. C. The Principles of Statistical Mechanics. - New York: Dover Publications , 1938. - s. 93-98. - ISBN 0-486-63896-0 .
↑ Clausius, R. Ueber einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz (saksa) // Annalen der Physik : magazin. - 1870. - Bd. 141 . - S. 124-130 . Arkistoitu alkuperäisestä 8. maaliskuuta 2021. (saksa)
Clausius, RJE Lämpöön sovellettavasta mekaanisesta lauseesta // Philosophical Magazine, Ser. 4. - 1870. - T. 40 . - S. 122-127 .
↑ 1 2 L. Vu-Quoc, Configuration integral (tilastollinen mekaniikka) Arkistoitu 11. lokakuuta 2008. , 2008.
↑ McQuarrie, D. A. Statistical Mechanics . - tarkistettu 2. painos - University Science Books, 2000. - s . 254-264 . — ISBN 978-1891389153 .
↑ 1 2 Tolman, R. C. Tilastollinen mekaniikka, sovelluksia fysiikkaan ja kemiaan . - Chemical Catalog Company, 1927. - P. 76-77.
↑ Terletskii, YP Statistical Physics. — käännetty: N. Fröman. - Amsterdam: Pohjois-Hollanti, 1971. - S. 83-84. - ISBN 0-7204-0221-2 , .
↑ Collins, GW Viriaalilause tähtien astrofysiikassa . — Pachart Press, 1978. Arkistoitu 4. joulukuuta 2010 Wayback Machinessa
↑ Chandrasekhar, S. Johdatus tähtirakenteen tutkimukseen . - Chicago: University of Chicago Press , 1939. - P. 49-53.
↑ Kourganoff, V. Johdatus edistyneeseen astrofysiikkaan. - Dordrecht, Hollanti: D. Reidel, 1980. - S. 59-60, 134-140, 181-184.
↑ Chiu, H.-Y. Stellar Physics, osa I. - Waltham, MA: Blaisdell Publishing, 1968.
↑ Noyes, R.W. The Sun, Our Star . - Cambridge, MA: Harvard University Press , 1982. - ISBN 0-674-85435-7 .
↑ Ostlie, D.A.; Carroll BW Johdatus moderniin tähtien astrofysiikkaan . - Reading, MA: Addison-Wesley , 1996. - ISBN 0-201-59880-9 .
↑ Jeans, JH Pallomaisen sumun vakaus // Phil . Trans. A : päiväkirja. - 1902. - Voi. 199 . - s. 1-53 . doi : 10.1098 / rsta.1902.0012 .
↑ 1 2 McQuarrie, D. A. Statistical Mechanics . - tarkistettu 2. painos - University Science Books, 2000. - s . 121-128 . — ISBN 978-1891389153 .
↑ Callen, HB Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics . - New York: John Wiley and Sons , 1985. - P. 375-377 . — ISBN 0-471-86256-8 .
↑ Arnold, VI ; Avez A. Théorie ergodique des systèms dynamiques. - Gauthier-Villars, Pariisi. (ranska) (englanninkielinen painos: Benjamin-Cummings, Reading, Mass. 1968), 1967.
↑ 1 2 Reichl, LE Tilastollisen fysiikan moderni kurssi. - 2. painos .. - Wiley Interscience , 1998. - S. 326-333. — ISBN 978-0471595205 .
↑ 1 2 3 Einstein, A. Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (Heuristinen malli valon luomisesta ja muuntamisesta) (saksa) // Annalen der Physik : magazin. - 1905. - Bd. 17 . - S. 132-148 . - doi : 10.1002/andp.19053220607 . (linkki ei saatavilla) (saksa) . Englanninkielinen käännös on saatavilla Wikilähteestä .
↑ Rayleigh, JWS Huomautuksia täydellisen säteilyn laista // Philosophical Magazine : aikakauslehti . - 1900. - Voi. 49 . - s. 539-540 .

Kirjallisuus

K Huang . Tilastollinen mekaniikka. – 2. painos - John Wiley and Sons , 1987. - S. 136-138. — ISBN 0-471-81518-7 .
AI Khinchin . Tilastomekaniikan matemaattiset perusteet / Per. G. Gamow . - New York: Dover Publications , 1949. - P. 93-98. - ISBN 0-486-63896-0 .
L.D. Landau , E.M. Lifshitz . Tilastollinen fysiikka, osa 1. - 3. painos. - Pergamon Press , 1980. - S. 129-132. — ISBN 0-08-023039-3 .
F. Mandl. Tilastollinen fysiikka . - John Wiley and Sons , 1971. - S. 213-219 . - ISBN 0-471-56658-6 .
F. Mohling. Tilastollinen mekaniikka: menetelmät ja sovellukset. - John Wiley and Sons , 1982. - S. 137-139, 270-273, 280, 285-292. — ISBN 0-470-27340-2 .
RK Patria. Tilastollinen mekaniikka. - Pergamon Press , 1972. - S. 43-48, 73-74. — ISBN 0-08-016747-0 .
W. Pauli . Pauli Fysiikan luentoja: Osa 4. Tilastollinen mekaniikka. - MIT Press , 1973. - S. 27-40. — ISBN 0-262-16049-8 .
R. C. Tolman . Tilastollinen mekaniikka, jossa on sovelluksia fysiikkaan ja kemiaan. - Chemical Catalog Company , 1927. - P. 72-81.
R. C. Tolman . Tilastollisen mekaniikan periaatteet. - New York: Dover Publications , 1938. - P. 93-98. - ISBN 0-486-63896-0 .

Linkit

Sovelma arkistoitu 6. elokuuta 2020 Wayback Machinessa , joka esittelee reaaliaikaisen ekvipartition lain yksi- ja kaksiatomisten kaasujen seokselle
Tähtifysiikan tasajakolause, jonka on kirjoittanut Nir J. Shaviv, apulaisprofessori Racah Institute of Physicsissä Jerusalemin heprealaisessa yliopistossa .