Langevinin yhtälö

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 22. lokakuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Langevinin yhtälö on stokastinen differentiaaliyhtälö , joka kuvaa Brownin liikettä .

Ensimmäinen Langevinin tutkima yhtälö kuvasi Brownin liikettä vakiopotentiaalissa, eli Brownin massahiukkasen kiihtyvyys ilmaistaan viskoosin kitkavoiman summana, joka on verrannollinen hiukkasen nopeuteen ( Stokesin laki ) . , kohinatermi (nimi, jota fysiikassa käytetään viittaamaan stokastiseen prosessiin differentiaaliyhtälössä ) - hiukkasten jatkuvista törmäyksistä nestemäisten molekyylien kanssa ja - molekyylinsisäisistä ja molekyylien välisistä vuorovaikutuksista johtuva systemaattinen voima: $\mathbf {a}$ $m$ ${\mathbf v}$ ${\boldsymbol \eta }(t)$ ${\mathbf \Phi }({\mathbf x})$

m\mathbf{a} = m\frac{d^2\mathbf{x}}{dt^2} = \mathbf \Phi(\mathbf x) - \gamma \mathbf{v} + \boldsymbol\eta(t ).

Yhtälön ratkaisu

Kirjoitetaan Langevinin yhtälö uudelleen ilman ulkoisia voimia. Lisäksi yleisyyden menettämättä vain yksi koordinaateista voidaan ottaa huomioon.

m{\ddot x}=-{\frac {1}{B}}{\piste x}+F(t)

Oletetaan, että satunnainen voima täyttää seuraavat ehdot:

\langle F(t)\rangle =0

\langle F(t_{1})F(t_{2})\rangle =b\delta (t_{1}-t_{2})

missä b on jokin vakio, jonka määrittelemme myöhemmin, on Diracin deltafunktio . Kulmasulut osoittavat ajan keskiarvon laskemista . Tämä on ns. delta-korreloitu satunnaismuuttuja: sen autokorrelaatiofunktio on yhtä suuri kuin delta-funktio. Tällaista satunnaista prosessia kutsutaan myös valkoiseksi kohinaksi . $\delta (t_{1}-t_{2})$

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen nopeuden suhteen:

{\piste v}=-\lambda v+{\frac Fm}

, missä

\lambda ={\frac {1}{mB}}

Olkoon hiukkasella alkuhetkellä nopeus . Etsimme ratkaisua muodossa: , jolloin saamme seuraavan differentiaaliyhtälön: $t=t_{0}$ $v_{0}$ $v(t)=u(t)\exp(-\lambda t)$ $u(t)$

{\piste u}(t)=\exp(\lambda t){\frac Fm}

Tuloksena saamme nopeudelle halutun lausekkeen:

v(t)=v_{0}\exp(-\lambda t)+\exp(-\lambda t)\int \limits _{0}^{t}{\frac {F(\tau )}{m }}\exp(\lambda \tau )d\tau

Tästä seuraa kaksi tärkeää suhdetta:

$\langle v(t)\rangle =v_{0}\exp(-\lambda t)$ . Toisin sanoen nopeuden keskiarvo pyrkii ajan myötä nollaan.
$\langle v^{2}(t)\rangle =v_{0}^{2}\exp(-2\lambda t)+{\frac {b}{2\lambda m^{2}}}\left (1-\exp(-2\lambda t)\oikea)$ . Nopeuden keskineliö pyrkii arvoon ajan myötä . Jos oletetaan, että hiukkasen kineettinen energia pyrkii lämpöenergiaan ajan myötä, voimme määrittää kertoimen arvon : ${\frac {b}{2\lambda m^{2}}}$ $b$

b=2{\frac {k_{B}T}{B}}

Muuttamalla alkuperäistä lauseketta saat seuraavan:

{\frac {d\left\langle x^{2}(t)\right\rangle }{dt))={\frac {2}{\lambda ))\left\langle \left({\ frac {dx}{dt}}\right)^{2}\right\rangle

\left\langle \mathbf {x} ^{2}\right\rangle =6k_{B}TBt

Mistä Einsteinin suhde tulee :

D=k_{B}TB

missä B on Brownin hiukkasen liikkuvuus .

Linkit

WT Coffee, Yu. P. Kalmykov, JT Waldron, The Langevin Equation, With Applications to Stochasts Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering (2. painos), World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics - Vol 14. (Ensimmäinen painos on osa 10)
Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics , McGraw Hill New York, 1965. Katso kohta 15.5 Langevin Equation