Hamiltonin yhtälöt

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 4.9.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Hamiltonin yhtälöt (kutsutaan myös kanonisiksi yhtälöiksi ) fysiikassa ja matematiikassa - differentiaaliyhtälöjärjestelmä :

{\piste {p}}_{j}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}},

{\piste {q}}_{j}=~~{\frac {\partial H}{\partial p_{j}}},

jossa yllä oleva piste ja tarkoittaa aikaderivaata . Järjestelmä koostuu 2 N ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöstä ( j = 1, 2, …, N) dynaamiselle järjestelmälle, joka on kuvattu N (yleistetyllä) koordinaatilla, jotka ovat liikeyhtälöitä (yksi tällaisten yhtälöiden muodoista sekä Lagrange-yhtälöt , joka on yleistys Newtonin yhtälöiden liikkeestä), jossa on ns. Hamiltonin funktio , jota joskus kutsutaan myös Hamiltonin funktioksi , on aika [1] , ovat (yleistettyjä) koordinaatteja ja ovat yleistettyjä momentteja . $s$ $q$ $H=H(q,p,t)\equiv H(q_{1},q_{2},...,q_{N},p_{1},p_{2},...,p_{N },t)$ $t$ $q_{i}$ $(q_{1},q_{2},\pisteet ,q_{N})$ $p_{i}$ $(p_{1},p_{2},\pisteet ,p_{N})$ , jotka määrittävät järjestelmän tilan (pisteen vaiheavaruudessa ).

Hamiltonin yhtälöitä käytetään laajasti Hamiltonin mekaniikassa ja muilla teoreettisen fysiikan ja matematiikan aloilla.

Newtonin fyysinen merkitys

Näiden yhtälöiden yksinkertaisin tulkinta on seuraava. Yksinkertaisimmissa tapauksissa Hamiltonin edustaa fyysisen järjestelmän energiaa, joka on kineettisten ja potentiaalisten energioiden summa, joita perinteisesti merkitään ja vastaavasti: $H$ $T$ $V$

H=T+V,~T={\frac {p^{2}}{2m)),~V=V(q)=V(x).

Erikoistapauksessa, jos järjestelmän jokaisen aineellisen pisteen karteesiset koordinaatit on kirjoitettu riviin kolmella (tarkoitamme fyysistä avaruutta tässä tavallisena kolmiulotteisena), se on $q=X$

X_{1}=x_{1},\;X_{2}=y_{1},\;X_{3}=z_{1},\ \ X_{4}=x_{2},\ ;X_{5}=y_{2},\;X_{6}=z_{2},\;\pisteet ,

silloin Hamiltonin kanoniset yhtälöt osuvat edellisen kappaleen mukaan yhteen Newtonin liikeyhtälöiden kanssa muodossa:

{\dot {\vec {P}}}=-\nabla V,

{\dot {\vec {X}}}={\vec {p}}/m,

jossa , ja jokainen aliavaruus antaa vastaavan materiaalipisteen sädevektorin: ${\vec X}=(X_{1},X_{2},\pisteet ,X_{N})$

{\vec {r}}_{1}=(X_{1},X_{2},X_{3}),\ {\vec {r}}_{2}=(X_{4} ,X_{5},X_{6}),\;\pisteet ,

ja yleinen momentti ovat tämän pisteen kolmiulotteisen momentin vastaavat komponentit:

{\vec p}_{1}=(P_{1},P_{2},P_{3}),\ {\vec p}_{2}=(P_{4},P_{5},P_ {6}),\;\dots

Fundamentaalinen tulkinta

Hamilton-funktio on pohjimmiltaan paikallinen dispersiolaki , joka ilmaisee kvanttitaajuuden (aaltofunktion värähtelytaajuuden) aaltovektorina jokaiselle avaruuden pisteelle [2] : $\omega$ ${\mathbf k}$

\omega =H({\mathbf k},{\mathbf x}).

Klassisessa approksimaatiossa (korkeilla [3] taajuuksilla ja aaltovektorimoduulilla ja suhteellisen hitaalla riippuvuudella ) tämä laki kuvaa melko selvästi aaltopaketin liikettä kanonisten Hamilton-yhtälöiden kautta, joista osa ( ) tulkitaan ryhmänopeudeksi. dispersiolaista saatu kaava ja muut ( ) ovat melko luonnollisia - aaltovektorin muutoksena (erityisesti pyörimisenä) aallon etenemisen aikana tietyn tyyppisessä epähomogeenisessa väliaineessa. ${\mathbf x}$ ${\piste q}_{i}=\osittainen H/\osittainen p_{i}$ ${\piste p}_{i}=-\osittais H/\osittainen q_{i}$

Hamiltonin yhtälöiden johtaminen

Johdannaisen toiminnan periaatteesta

Vähimmän (stationaarisen) toiminnan periaatteesta Hamiltonin yhtälöt saadaan suoraan muuttamalla toimintaa

S=\int \limits _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot q}_{i}-H (q,p,t){\bigg )}dt

riippumatta ja päällä . $q$ $s$

Johtaminen Lagrangian mekaniikasta

Voimme johtaa Hamiltonin yhtälöt käyttämällä tietoa siitä, kuinka Lagrangin muuttuu ajan, koordinaattien ja hiukkasten liikemäärän mukaan.

{\mathrm {d}}L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}{\mathrm {d}}q_{i}+{\frac {\osittais L}{\osittais {{\piste q}_{i)))){\mathrm {d}}({\piste q}_{i}}\oikea)+{\frac {\osittais L }{\partial t}}{\mathrm {d}}t

yleiset momentit määritellään seuraavasti: , ja Lagrange-yhtälöt ovat: $p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot q}_{i))))$

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}-{ \frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=F_{i},

missä on ei-potentiaalinen yleinen voima. Viimeinen lauseke muunnetaan muotoon $F_{i}$

{\frac {\partial L}{\partial q_{i))}={\piste {p))_{i}-F_{i},

ja tulos korvataan Lagrangin muunnelmalla

\mathrm {d} L=\sum _{i}\left[\left({\dot {p}}_{i}-F_{i}\right)\mathrm {d} q_{i} +p_{i}\mathrm {d} {{\piste {q}}_{i}}\oikea]+{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t.

Sinä voit kirjoittaa:

{\mathrm {d}}L=\summa _{i}\vasen[\vasen({{\piste p}}_{i}-F_{i}\oikea){\mathrm {d}}q_{i }+{\mathrm {d}}\left(p_{i}{{\dot q}_{i}}\right)-{{\dot q}_{i}}{\mathrm {d}}p_ {i}\right]+{\frac {\partial L}{\partial t}}{\mathrm {d}}t

ja muunnetaan muotoon:

\mathrm {d} \left(\sum _{i}p_{i}({\dot {q))_{i}}-L\right)=\sum _{i}\left[\ vasen(F_{i}-{\piste {p}}_{i}\oikea)\mathrm {d} q_{i}+({\piste {q}}_{i}}\mathrm {d} p_ {i}\oikea]-{\frac {\partial L}{\partial t))\mathrm {d} t.

Vasemmalla puolella oleva tekijä on vain Hamiltonin, joka määriteltiin aiemmin. Tällä tavalla:

\mathrm {d} H=\sum _{i}\left[\left(F_{i}-{\dot {p}}_{i}\right)\mathrm {d} q_{i} +{{\piste {q}}_{i}}\mathrm {d} p_{i}\right]-{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t=\sum _{i}\left[{\frac {\partial H}{\partial q_{i))}\mathrm {d} q_{i}+{\frac {\partial H}{\partial p_{i)) }\mathrm {d} p_{i}\right]+{\frac {\partial H}{\partial t))\mathrm {d} t,

jossa toinen yhtälö pätee osittaisen derivaatan määritelmän vuoksi.

Yleistys Poisson-sulkeilla

Yhtälöt voidaan kirjoittaa yleisempään muotoon käyttämällä Poisson-algebraa generaattoreiden ja . Tässä tapauksessa Hamiltonin yhtälöiden yleisempi muoto kuuluu: $s$ $q$

{\frac {dA}{dt}}=\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t)),

jossa , jota kutsutaan klassiseksi havaittavaksi, on jokin muuttujien funktio ja , ja on järjestelmän Hamiltonin. Voit työskennellä Poisson-suluilla turvautumatta differentiaaliyhtälöihin, koska Poisson-sulut ovat täysin analogisia Poisson-algebran Lie-sulkeiden kanssa. $A$ $s$ $q$ $t$ $H$

Tämän algebrallisen lähestymistavan avulla voimme käyttää todennäköisyysjakaumaa ja , sen avulla voimme myös löytää säilyneitä suureita (liikeintegraaleja). $q$ $s$

Hamiltonin yhtälöt ovat klassisen mekaniikan perusyhtälöitä. Kvanttimekaniikassa pelkistetyn Hamiltonin yhtälön analogi on Heisenbergin yhtälö .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Hamilton-funktio voi yleisesti ottaen olla eksplisiittisesti riippuvainen ajasta, vaikka monissa perustapauksissa sellaista riippuvuutta ei ole.
↑ Koska energia ja liikemäärä ovat taajuus- ja aaltovektori, joka eroaa niistä vain yleisellä vakiokertoimella, joka voidaan valita yksiköksi sopivassa yksikköjärjestelmässä.
↑ Koska energian ja taajuuden, liikemäärän ja aaltovektorin välinen yhteys tavallisissa yksikköjärjestelmissä sisältää Planckin vakion , joka on hyvin pieni näissä tavallisissa yksikköjärjestelmissä, erittäin suuret energiat ja momentti vastaavat klassisen mekaniikan tavallisia (vertailu tila- ja aika-asteikolla) taajuudet ja aaltovektorit.

Kirjallisuus

Vilazi G. Hamiltonin dynamiikka. käännös englannista M.: IKI ja RHD, 2006. 432s. ISBN 5-93972-444-2
Landau L.D. , Lifshits E.M. Mechanics. - 5. painos, stereotyyppinen. — M .: Fizmatlit , 2001. — 222 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
Leach JW Klassinen mekaniikka. M.: Ulkomaalainen. kirjallisuus, 1961.
D. ter Haar. Hamiltonin mekaniikan perusteet. Moskova: Nauka, 1974.
Polak L. S. (toim.) Mekaniikan variaatioperiaatteet. Tieteen klassikoiden artikkelikokoelma. Moskova: Fizmatgiz, 1959