Symplektinen jakoputki

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 19. syyskuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Symplektinen jakoputkisto on monisto , johon on määritelty symplektinen muoto , eli suljettu , rappeutumaton differentiaali 2-muoto .

Merkittävin esimerkki symplektisesta monista on kotangenttinippu . Symplektinen rakenne mahdollistaa Hamiltonin mekaniikan esittelyn luonnollisella geometrisella tavalla ja antaa visuaalisen tulkinnan monista sen ominaisuuksista: jos on mekaanisen järjestelmän konfiguraatioavaruus , niin onko sitä vastaava vaiheavaruus . $T^{*}M$ $M$ $T^{*}M$

Määritelmä

Differentiaalista 2-muotoa kutsutaan symplektiseksi rakenteeksi, jos se on rappeutumaton ja suljettu , eli sen ulkoinen derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, $\omega$

d\omega =0,

ja mille tahansa nollasta poikkeavalle tangenttivektorille on sellainen vektori , että $v\in T_{x}M$ $w\in T_{x}M$

\omega (v,w)\neq 0.

Jakoputkistoa , jossa on symplektinen muoto, kutsutaan symplektiseksi jakosarjaksi . $M$

Muistiinpanot

Määritelmästä seuraa, että symplektisellä monistoputkella on tasainen ulottuvuus.
Jos ulottuvuus on , muodon rappeutumattomuus vastaa ehtoa . $M$ $2n$ $\omega$ $\omega ^{\wedge n}\neq 0$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Symplektisten monistojen diffeomorfismia kutsutaan symplektomorfismiksi , jos se säilyttää symplektisen rakenteen. $f\kaksoispiste M\:ksi$

Antaa olla mielivaltainen sileä funktio symplectic monisto. Symplektinen muoto liittää funktion seuraavan identiteetin määrittelemään vektorikenttään : $H\colon M\to \mathbb {R}$ $H$ $V_{H}$ $dH(X)=\omega (V_{H},X).$
- Tämä määritelmä on analoginen gradientin määritelmän kanssa , ja sitä kutsutaan joskus funktion symplektiseksi gradienttiksi . $V_{H}$ $H$
- Kenttää , joka voidaan saada tällä tavalla, kutsutaan Hamiltoniksi . $V_{H}$
- Koska muoto on ei-degeneroitunut, vektorikenttä on yksilöllisesti määritelty. Darboux-koordinaateissa tämä kartta saa muodon $\omega$ $V_{H}$
${\piste {{\mathbf q}}}={\frac {\partial H}{\partial {\mathbf p}}},\quad {\piste {{\mathbf p}}}=-{\frac { \partial H}{\partial {\mathbf q}}},$

vastaa Hamiltonin yhtälöitä , ja sitä kutsutaan Hamiltonin funktioksi (Hamilton-funktio).

H

Poissonin hakasulkeet muuttavat Hamiltonin joukon Lie-algebraksi ja ne määritellään säännöllä $M$

[F,G]=\omega (V_{F},V_{G}).

Ominaisuudet

Darboux'n teoreema : Kaikki symplektiset moninaiset ovat paikallisesti symplektomorfisia. Siten moniston minkä tahansa pisteen läheisyydestä voidaan valita koordinaatit, joita kutsutaan Darboux-koordinaateiksi , joissa symplektisellä muodolla on muoto $\omega =d{\mathbf p}\wedge d{\mathbf q}$

Tässä tapauksessa kunkin tarkastellun naapuruston pisteen tangenttiavaruudessa valitaan Darboux -kanta .

Hamiltonin faasivirtaus säilyttää symplektisen rakenteen (seuraa Cartanin kaavaa): ${\mathcal {L}}_{V_{H}}\,\omega =0$

Tässä on Lie derivaatta suhteessa vektorikenttään . Siten Hamiltonin faasivirtaus on symplektomorfismi.

{\mathcal {L}}_{V_{H}}

V_{H}

Erityisesti, koska tilavuusmuoto on päällä , saamme Liouvillen lauseen vaihetilavuuden säilymisestä : $\omega ^{{\wedge n}}$ $M$ ${\mathcal {L}}_{V_{H}}\omega ^{\wedge n}=0.$

Yhteystietorakenne

Jokainen symplektinen -ulotteinen monisto yhdistetään kanonisesti -ulotteiseen kosketinsarjaan , jota kutsutaan sen kontaktisaatioksi . Sitä vastoin mille tahansa -ulotteiselle kosketinsarjalle on olemassa sen symplektointi , joka on -ulotteinen monisto. $2n$ ${\näyttötyyli (2n+1)}$ ${\näyttötyyli (2n+1)}$ ${\näyttötyyli (2n+2)}$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Monisymplektistä kutsutaan monisymplektistä astelukua, jos sille annetaan suljettu, rappeutumaton differentiaali k -muoto . $k$

Katso myös

Symbolinen tila

Linkit

D. V. Anosov . "Dynaamisten järjestelmien teorian kehittämisestä". Symplektinen geometria.
Luento 5: Poisson-sulut, differentiaalimuodot ja polyvektorit 2013

Kirjallisuus

Arnold VI Klassisen mekaniikan matemaattiset menetelmät. - 5. painos, stereotyyppinen. - M. : Pääkirjoitus URSS, 2003. - 416 s. - 1500 kappaletta. — ISBN 5-354-00341-5 .
Arnold V. I., Givental A. B. Symplektinen geometria. 2. painos - Iževsk: RHD, 2000. - 168s.
Thirring V. Matemaattisen ja teoreettisen fysiikan kurssi. - K . : TIMPANI, 2004. - 1040 s.
Fomenko A. T. Symplektinen geometria. Menetelmät ja sovellukset. - M .: Toim. Moskovan valtionyliopisto, 1988. - 414s.