Valheen johdannainen

Tensorikentän derivaatta vektorikentän suunnan suhteen on päälineaarinen osa tensorikentän inkrementistä sen muunnoksen aikana, jonka indusoi kentän generoima moniston paikallinen yksiparametrinen diffeomorfismien ryhmä. . $K$ $X$ $K$ $X$

Nimetty norjalaisen matemaatikon Sophus Lie mukaan .

Yleensä merkitty . ${\mathcal {L}}_{X}Q$

Määritelmät

Aksiomaattinen

Lie-derivaata määrittävät täysin seuraavat ominaisuudet. Tämä määritelmä on kätevin käytännön laskelmiin, mutta vaatii todisteen olemassaolosta.

Skalaarikentän Lie - derivaatta on suuntaderivaata . ${\mathcal {L}}_{X}f$ $f$ $f$ $X$ ${\mathcal {L}}_{X}f=Xf.$
Vektorikentän Lie-derivaata on vektorikenttien Lie-sulku . (Kentän Lie-derivaata suhteessa kentän suuntaan ). ${\mathcal {L}}_{X}Y$ $Y$ $Y$ $X$ ${\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y].$
Mielivaltaisille vektorikentille ja 1-muodolle pätee seuraava yhtälö (Cartanin identiteetti) $\alpha$ $({\mathcal {L}}_{X}\alpha )(Y)=(d\alpha )(X,Y)+Y\alpha (X).$
( Leibnizin sääntö ) Satunnaisille tensorikentille S ja T , ${\mathcal {L}}_{X}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{X}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}} _{X}T).$

Virran kautta

Antaa olla -ulotteinen sileä monisto ja olla vektorikenttä . $M$ $n$ $X$ $M$

Harkitse suhteiden määrittelemää virtausta $\Gamma _{X}^{t}\colon M\to M$ $X$

{\frac {d}{dt}}\Gamma _{X}^{t}(p)=X_{\Gamma _{X}^{t}(p)},\Gamma _{X} ^{0}(p)=p

Käänteinen kartoitus differentiaaliin , ${\displaystyle \Gamma _{X}^{t))$

{\displaystyle (d_{p}\Gamma _{X}^{t})^{-1}\colon T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}\to T_{p))

ulottuu ainutlaatuisesti homomorfismiin tensorialgebrasta tensorialgebraan yli . Näin ollen mielivaltainen tensorikenttä määrittää yhden parametrin kenttäperheen . Lie derivaatta voidaan määritellä seuraavasti $h_{t}$ ${\displaystyle T_{\Gamma _{X}^{t}(p)))$ $T_{p}$ $K$ $Q_{t}=h_{t}(Q)$

{\mathcal {L}}_{X}Q={\frac {d}{dt}}Q_{t}|_{t=0}

Koordinaattilausekkeet

{\mathcal {L}}_{\xi }f=\xi ^{k}\partial _{k}f,

missä on skalaari. $f$

{\mathcal {L}}_{\xi }y=\xi ^{k}\partial _{k}y^{i}-y^{k}\partial _{k}\xi ^{ minä},

missä on vektori ja ovat sen komponentit. $y$ $y^{i}$

{\mathcal {L}}_{\xi }\omega =\xi ^{k}\partial _{k}\omega _{i}+\omega _{k}\partial _{i}\ xi ^{k},

missä on 1-muoto ja ovat sen komponentit. $\omega$ $\omega _{i}$

{\mathcal {L}}_{\xi }g=\xi ^{k}\partial _{k}g_{ij}+\partial _{i}\xi ^{k}g_{kj} +\osittainen _{j}\xi ^{k}g_{ik},

missä on metrinen tensori ja ovat sen komponentit. $g$ $g_{ij}$

Lie-derivaata tensorikenttään epäholonomisessa kehyksessä

Olkoon (p, q) tyyppinen tensorikenttä K annettu epäholonomisessa kehyksessä , niin sen Lie derivaatta vektorikenttää X pitkin saadaan seuraavalla kaavalla: $\{e_{\alpha }}\}$

$({\mathcal {L}}_{X}K)_{(\beta )}^{(\alpha )}=XK_{(\beta )}^{(\alpha )}-\{K_ {(\beta )}^{(\alpha )}P_{*}^{*}\}$ ,

missä ja seuraava merkintä lisätään: $(\alpha )=(\alpha _{1}...\alpha _{p}),(\beta )=(\beta _{1}...\beta _{q})$

$\{K_{(\beta )}^{(\alpha )}P_{*}^{*}\}=\sum _{s=1}^{p}K_{(\beta )}^ {\alpha _{1}...\sigma ...\alpha _{p}}P_{\sigma }^{\alpha _{s}}-\sum _{s=1}^{q}K_ {\beta _{1}...\sigma ...\beta _{q}}^{(\alpha )}P_{\beta _{s}}^{\sigma }$ ,

${\displaystyle P_{\beta }^{\alpha }=e_{\beta }\xi ^{\alpha }-R_{\sigma \beta }^{\alpha }\xi ^{\sigma ))$

$R_{\alpha \beta }^{\sigma }e_{\sigma }=[e_{\alpha },e_{\beta }]$ on epäholonomian kohde.

Ominaisuudet

${\mathcal {L}}_{X}(s)$ $\mathbb {R}$ -lineaarisesti sisään ja sisään . Tässä on mielivaltainen tensorikenttä. $X$ $s$ $s$
Lie-derivaata on tensorikenttien renkaan differentiaatio .
Ulkomuotojen superalgebrassa Lie-derivaata on derivaatio ja 0-asteen homogeeninen operaattori.
Antaa ja olla vektorikenttiä monistossa, niin on algebran johdannainen , joten on olemassa vektorikenttä , jolle . Tätä vektorikenttää kutsutaan kenttien u ja v Lie -suluksi (myös niiden Poisson-suluksi tai kommutaattoriksi ). $v$ $u$ $[{\mathcal {L}}_{v},{\mathcal {L}}_{u}]={\mathcal {L}}_{v}{\mathcal {L}}_{u }-{\mathcal {L}}_{u}{\mathcal {L}}_{v}$ $C^{\infty }(M)$ $[v,u]$ ${\mathcal {L}}_{[v,u]}=[{\mathcal {L}}_{v},{\mathcal {L}}_{u}]$
Homotopykaava ( Cartan- identiteetti ): ${\mathcal {L}}_{v}\omega =i_{v}d\omega +di_{v}\omega .$

Tässä on differentiaalimuoto , joka on muotojen sisäisen eriyttämisen operaattori, joka määritellään nimellä .

\omega

k

{\näyttötyyli i_{v))

(i_{v}\omega )(X_{1},\dots ,X_{k-1})=\omega (v,X_{1},\dots ,X_{k-1})

Näin ollen ${\mathcal {L}}_{X}d\omega =d{\mathcal {L}}_{X}\omega ,\;\omega \in \Lambda ^{*}(M)$
${\mathcal {L}}_{X}(s)=\mathop {vpr} _{F}(Ts\circ XX^{F}\circ s)$ . Tässä on tasainen osa (luonnollisesta) vektorinipusta (esimerkiksi mikä tahansa tensorikenttä), on vektorikentän kohokohta ja pystysuora projektiooperaattori . ( Katso alla ) $s$ $F$ $X^{F}$ $X$ $F$ $\mathop {vpr} _{F}$ $F$

Lie-derivaatan fyysinen merkitys

Olkoon vektorikenttä ei-inertiaalisen viitekehyksen nopeuskenttä suhteessa inertiaaliseen viitekehykseen , eli kussakin avaruuden pisteessä kullakin ajanhetkellä näiden järjestelmien koordinaattiverkkojen nopeus suhteessa kuhunkin muu määräytyy. Sitten Lie-derivaata pitkin vektorikenttää siirtää minkä tahansa tensorikenttien aikaderivaatan ei-inertiaalisesta viitekehyksestä inertiaaliseen viitekehykseen ja määrittää siten tensorikenttien invariantin aikaderivaatan . $V(x,t)$ $x$ $t$ $V(x,t)$ $Q(x,t)$

Yleistykset

Luonnolliset niput

Olkoon luonnollinen sileä nippu, eli funktionaali , joka toimii sileiden jakoputkien luokasta niiden päällä olevien nippujen luokkaan: . Satunnainen vektorikenttä generoi yhden parametrin diffemorfismiryhmän, joka ulottuu kautta nippuavaruuteen , eli . Tämän ryhmän derivaatta nollassa antaa vektorikentän , joka on arvon . Ryhmän avulla voidaan myös määrittää Lie-derivaata mielivaltaisten osien suhteen käyttämällä samaa kaavaa kuin perinteisessä tapauksessa: $F$ $F\colon M\mapsto (F(M),M,\pi _{M}),\;\pi _{M}\colon F(M)\to M$ $X\inTM$ $\Gamma ^{t}:M\to M$ $F$ $F(M)$ $F(\Gamma ^{t}):F(M)\to F(M)$ $X^{F}\in TF(M)$ $X$ $F(\Gamma ^{t})$ $X$ $s:M\to F(M)$

{\mathcal {L}}_{X}(s)=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}F(\Gamma ^{t})^ {*}s=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}(F(\Gamma ^{-t})\circ s\circ \Gamma ^{t})

{\mathcal {L}}_{X}(s)=Ts\circ XX^{F}\circ s

Huomaa, että yleisessä tapauksessa Lie-derivaata on vastaavan pystysuoran nipun elementti eli kuvauksen ydin , koska . Jos on vektorinippu, niin on olemassa kanoninen isomorfismi . Pystyprojektiooperaattorin avulla voimme esittää Lie -derivaatan osana alkuperäistä nippua: $VF(M)$ $T\pi _{M}:TF(M)\to TM$ $T\pi _{M}\circ {\mathcal {L}}_{X}(s)=0_{M}$ $F$ $vl:F(M)\times _{M}F(M)\simeq VF(M)$ ${\displaystyle vpr_{F}=\mathrm {pr} _{2}\circ vl^{-1))$

{\mathcal {L}}_{X}(s)=\mathop {vpr} _{F}(Ts\circ XX^{F}\circ s)

Lie:n johdannainen muotojen suhteen

Toinen yleistys perustuu ulkomuotojen superalgebran johdannaisten Lie -superalgebran tutkimukseen. Kaikista tällaisista johdannaisista erottuvat erityisesti ns. algebralliset , eli ne, jotka ovat yhtä kuin 0 funktioissa. Jokaisella tällaisella johdolla on muoto , jossa on tangentiaalinen muoto , ja sisäinen differentiaatiooperaattori määritellään kaavalla $i_{K}$ $K\in TM\otimes \Lambda ^{*}(M)$ $i_{K}$ $(\omega \Lambdassa ^{p+1}(M))$

i_{K}\omega =\mathrm {Alt} (\omega \circ (K\otimes id^{\otimes p}))

Tässä on toiminto, jolla vaihdetaan näyttöä kaikkien muuttujien välillä. Vektoriarvoinen Lie-derivaata määritellään operaattoreiden superkommutaattorilla : $\mathrm {Alt}$ $K$

{\mathcal {L}}_{K}=[i_{K},d]

Sen merkitys määräytyy sen tosiasian perusteella, että mikä tahansa superalgebran johdannainen on yksiselitteisesti esitettävissä kuten , jossa , ovat joitain vektoriarvoisia muotoja. Lisäksi kaavan mukaan voit syöttää tangentiaalisesti arvostettujen muotojen Frolich-Nienhuis-sulun . $D$ $\Lambda ^{*}(M)$ $D={\mathcal {L}}_{K}+i_{S}$ $K$ $S$ $[{\mathcal {L}}_{K},{\mathcal {L}}_{S}]={\mathcal {L}}_{[K,S]}$

Kirjallisuus

Sh. Kobayashi, K. Nomizu. Differentiaaligeometrian perusteet. - 1981. - T. 1. - 344 s.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderni geometria: menetelmät ja sovellukset. - 2., tarkistettu. - M .: Nauka, 1986. - T. 1. - 760 s.
Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák. Luonnolliset operaatiot differentiaaligeometriassa . - 1. painos - Springer, 1993. - 434 s. — ISBN 978-3540562351 . Arkistoitu 30. maaliskuuta 2017 Wayback Machineen

Katso myös

Tappamisen kenttä

Differentiaalilaskenta

Main

yksityiset näkymät

Differentiaalioperaattorit
( eri koordinaateissa )

Ensimmäinen tilaus	Nabla operaattori Kaltevuus Eroaminen Roottori Helmholtzian
toinen tilaus	Elliptinen operaattori Laplacen operaattori Laplace-vektorioperaattori D'Alembert-operaattori Laplace-Beltrami operaattori
korkeammat tilaukset	Hypoelliptinen operaattori

liittyvät aiheet