Kovarianttijohdannainen

Kovarianttiderivaata on yleistys monistojen tensorikenttien derivaatan käsitteestä . _ Kovariantin derivaatan käsite liittyy läheisesti affiiniyhteyden käsitteeseen .

Tensorikentän kovarianttiderivaatta tangenttivektorin suunnassa on yleensä merkitty . $T$ ${{\mathbf v}}$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}T$

Motivaatio

Kovarianttiderivaatan käsite antaa mahdollisuuden määritellä tensorikenttien differentiaatio jonkin moniston tangenttivektorin suunnassa. Suuntaderivaatan tapaan kovarianttiderivaatta ottaa argumenteiksi: (1) jossain kohdassa määritellyn vektorin ja (2) naapurustossa määritellyn vektorikentän . Tuloksena on vektori , joka on myös määritelty kohdassa . Suurin ero suuntaderivaatasta on se, että sen ei pitäisi riippua koordinaattijärjestelmän valinnasta . ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} ))$ $\mathbf {u}$ $P$ $\mathbf{v}$ $P$ $\nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }\left(P\right)$ $P$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} ))$

Mikä tahansa vektori voidaan esittää lukujoukona, joka riippuu perusteen valinnasta . Vektori geometrisena objektina ei muutu kantan vaihtuessa, kun taas sen koordinaattiesityksen komponentit muuttuvat kovarianttimuunnoksen mukaan kantamuunnoksen mukaan. Kovarianttiderivaatan on noudatettava samaa kovarianttimuunnosta.

Euklidisen avaruuden tapauksessa vektorikentän derivaatta määritellään usein kahdessa lähellä olevassa pisteessä määritellyn kahden vektorin välisen eron rajaksi. Tässä tapauksessa yksi vektoreista voidaan siirtää toisen vektorin alkuun käyttämällä rinnakkaissiirtoa ja sitten vähentää. Siten yksinkertaisin esimerkki kovarianttiderivaatasta on komponenttikohtainen differentiaatio ortonormaalissa koordinaattijärjestelmässä .

Yleisessä tapauksessa on tarpeen ottaa huomioon kantavektoreiden muutos rinnakkaiskäännöksen aikana . Esimerkki: kaksiulotteisen euklidisen avaruuden napakoordinaateilla kirjoitettu kovarianttiderivaata sisältää lisätermejä, jotka kuvaavat itse koordinaattijärjestelmän "kiertoa" rinnakkaiskäännöksen aikana. Muissa tapauksissa kovarianttijohdannaiskaava voi sisältää termejä, jotka vastaavat puristusta, venytystä, vääntöä, lomitusta ja muita muunnoksia, joita mielivaltainen käyräviivainen koordinaattijärjestelmä koskee.

Tarkastellaan esimerkkinä euklidiselle tasolle määriteltyä käyrää. Napakoordinaateissa käyrä voidaan ilmaista napakulman ja säteen avulla . Mielivaltaisella ajanhetkellä sädevektori voidaan esittää parina , jossa ja ovat napakoordinaatistoa tangentit yksikkövektorit, jotka muodostavat perustan, joka hajottaa vektorin säteittäis- ja tangentiaalisiin komponentteihin. Kun parametria muutetaan, syntyy uusi kanta, joka ei ole mitään muuta kuin vanhaa kiertoon kohdistuvaa kantaa. Tämä muunnos ilmaistaan kantavektoreiden, jotka tunnetaan myös nimellä Christoffel-symbolit , kovarianttiderivaattana . $\gamma (t)$ ${\näyttötyyli \gamma (t)=(r(t),\theta (t))}$ $t$ $({\mathbf {e} }_{r},{\mathbf {e} }_{\theta })$ ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{r))$ ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{\theta ))$ $t$

Kaarevaavaruudessa, joka on esimerkiksi Maan pinta, yksiselitteistä rinnakkaissiirtoa ei määritellä . Sen sijaan määritellään vektorin rinnakkaismuunnos pisteestä toiseen, mikä riippuu liikeradan valinnasta. Kuvittele todellakin vektori, joka on määritelty pisteessä (joka sijaitsee päiväntasaajalla) ja suunnattu kohti pohjoisnapaa. Rinnakkaiskäännöksen avulla siirrämme ensin vektoria päiväntasaajaa pitkin muuttamatta sen suuntaa, sitten nostamme sen yhtä pituuspiiriä pitkin pohjoisnavalle ja laskemme sen takaisin päiväntasaajalle toista pituuspiiriä pitkin. On selvää, että tällainen vektorin siirtyminen pallolla suljettua polkua pitkin muuttaa sen suuntaa. Samankaltaisen ilmiön aiheuttaa maapallon pinnan kaarevuus , eikä sitä havaita euklidisessa avaruudessa. Se syntyy jakoputkissa, kun vektori liikkuu mitä tahansa (jopa äärettömän pientä) suljettua ääriviivaa pitkin, joka sisältää liikkeen ainakin kahta eri suuntaa pitkin. Tässä tapauksessa vektorin äärettömän pienen inkrementin raja on moniston kaarevuuden mitta. ${\mathbf {e} }$ $K$ ${\mathbf {e} }$

Muistiinpanot

Kovarianttijohdannaisen määritelmässä ei käytetä metriikan käsitettä. Lisäksi jokaiselle tilametriikan valinnalle on olemassa ainutlaatuinen vääntövapaa kovarianttijohdannainen, nimeltään Levi-Civita-yhteys . Se määräytyy ehdosta: metrisen tensorin kovarianttiderivaata on yhtä suuri kuin nolla.

Derivaatan ominaisuudet viittaavat siihen, että se riippuu mielivaltaisen pienestä pisteen ympäristöstä samalla tavalla kuin esimerkiksi skalaarifunktion derivaatta käyrää pitkin tietyssä pisteessä riippuu tämän pisteen äärettömän pienestä ympäristöstä. $\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ $P$ $P$

Pisteen läheisyydessä olevan tiedon avulla voidaan määrittää vektorin rinnakkaismuunnos. Samoin käsitteet kaarevuus , vääntö ja geodetiikka voidaan ottaa käyttöön käyttämällä vain kovarianttiderivaatan käsitettä ja sen yleistyksiä, kuten polun liitettävyyttä . $P$

Muodollinen määritelmä

Skalaarifunktiot

Skalaarifunktiolle kovarianttiderivaata on sama kuin funktion tavallinen derivaatta vektorikentän suunnan suhteen . $f$ ${\nabla }_{{{\mathbf {v}}}}f$ $\mathbf{v}$

Vektorikentät

Vektorikentän kovarianttiderivaata vektorikentän suunnassa , jota merkitään , määritellään seuraavilla ominaisuuksilla mille tahansa vektorille , vektorikentille ja skalaarifunktioille ja : $\nabla$ ${{\mathbf u}}$ ${{\mathbf v}}$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ $\mathbf{v}$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {w}$ $f$ $g$

$\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ lineaarinen suhteessa , Eli ${{\mathbf v}}$ $\nabla _{{f{{\mathbf v}}+g{{\mathbf w}}}}{{\mathbf u}}=f\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u }} ))+g\nabla _{{{\mathbf w}}}{{\mathbf u}}$
$\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ on additiivinen suhteessa , eli ${{\mathbf u}}$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}({{\mathbf u}}+{{\mathbf w}})=\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}+ \nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf w}}$
$\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ noudattaa tuotesääntöä , eli silloin, kun se on määritelty yllä. $\nabla _{{{\mathbf v}}}f{{\mathbf u}}=f\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}+{{\mathbf u}}\ nabla _{{{\mathbf v}}}f$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}f$

Huomautus

Huomaa, että piste riippuu vain pisteen arvosta ja sen läheisyydessä olevista arvoista . Erityisesti kovarianttijohdannainen operaattori ei ole tensori (huolimatta siitä, että sen arvo jokaisessa tensorikentässä on tensori). $\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ $s$ $\mathbf{v}$ $s$ $\mathbf {u}$

Kovektorikentät

Kun annetaan kovektorien kenttä (eli kerran kovarianttitensorit, joita kutsutaan myös 1-muodoiksi ) , sen kovarianttiderivaata voidaan määrittää käyttämällä seuraavaa identiteettiä, joka toteutuu kaikille vektorikentille : $\alpha$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}\alpha$ $\mathbf {u}$

\nabla _{{{\mathbf v))}(\alpha ({{\mathbf u))))=(\nabla _{{{\mathbf v))}\alpha )({{\mathbf u)) )+\alpha (\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}).

Kovektorikentän kovarianttiderivaata vektorikenttää pitkin on myös kovektorikenttä. $\mathbf{v}$

On myös mahdollista itsenäisesti määritellä kovektorikentän kovarianttiderivaata, joka ei liity vektorikenttien derivaatta. Sitten yleisessä tapauksessa skalaarien derivaatat riippuvat niiden alkuperästä, ja puhutaan annettuun kovarianttiderivaataan liittyvän affiinisen yhteyden ei - metrisestä luonteesta . Yllä annetulla määritelmällä epämetrisyys on yhtä suuri kuin nolla.

Tensorikentät

Kun kovarianttiderivaata on määritelty vektori- ja kovektorikentille, se voidaan helposti yleistää mielivaltaisiksi tensorikentiksi Leibnizin säännön avulla ( ja ovat mielivaltaisia tensoreja): $\varphi$ ${\psi}$

\nabla _{{{\mathbf v))}(\varphi \otimes \psi )=(\nabla _{{{\mathbf v))}\varphi )\otimes \psi +\varphi \otimes (\nabla _ {{{\mathbf v}}}\psi ),

Jos ja ovat tensorikenttiä samasta tensoripaketista, ne voidaan lisätä: $\varphi$ $\psi$

\nabla _{{{\mathbf v))}(\varphi +\psi )=\nabla _{({\mathbf v))}\varphi +\nabla _{{{\mathbf v))}\psi .

Koordinaattilauseke

Olkoon tensorityyppikenttä sen komponenteilla jossain paikallisessa koordinaatistossa , ja komponentit ovat differentioituvia funktioita . Tällöin tensorikentän kovarianttiderivaata on tyypin tensori , joka määritellään kaavalla: $(p,q)$ ${T^{{i_{1}i_{2}\ldots i_{p))))_{{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}}({\mathbf {x}}) )$ $x^{k}$ $(p,q+1)$

$\nabla _{\ell }{T^{{i_{1}i_{2}\ldots i_{p))))_{{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}}={ \frac {\partial {T^{{i_{1}i_{2}\ldots i_{p))))_{{j_{1}j_{2}\ldots j_{q)))){\partial x^{\ell ))}+\sum _{{k=1}}^{p}{T^{{i_{1}\ldots k\ldots i_{p))))_{{j_{1 }j_{2}\ldots j_{q}}}\Gamma ^{{i_{k}}}{}_{{\ell k}}-\sum _{{m=1}}^{q}{ T^{{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}}}_{{j_{1}\ldots m\ldots j_{q}}}\Gamma ^{{m}}{}_ {{\ell j_{m))}$

missä ovat Christoffel-symbolit , jotka ilmaisevat kaarevan jakoputken liitettävyyttä . $\Gamma ^{{k}}{}_{{ij}}$

Esimerkkejä tietyntyyppisistä tensorikentistä

Vektorikentän kovarianttiderivaatalla on lisätermi verrattuna osittaisderivaataan, $V^{m}\$

\nabla _{\ell }V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma ^{m}{}_{{k\ ell }}V^{k}.\

Skalaarikentän kovarianttiderivaata on sama kuin osittaisderivaata, $\varphi\$

\nabla _{i}\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i))}\

ja kovektorikentän kovarianttiderivaata on $\omega _{m}\$

\nabla _{\ell }\omega _{m}={\frac {\partial \omega _{m)){\partial x^{\ell ))}-\Gamma ^{k}{}_{{ \ell m}}\omega _{k}.\

Vääntövapaassa yhteydessä Christoffel-symbolit ovat symmetrisiä ja skalaarikentän kovarianttiderivaatat kommutoidaan:

\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi =\nabla _{j}\nabla _{i}\varphi \

Yleensä tensorien kovarianttiderivaatat eivät kommuteudu (katso kaarevuustensori ).

Tyyppitensorikentän kovarianttiderivaata on $(2.0)$ $A^{{ik}}\$

\nabla _{\ell }A^{{ik}}={\frac {\partial A^{{ik}}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma ^{i}{}_ {{m\ell }}A^{{mk}}+\Gamma ^{k}{}_{{m\ell }}A^{{im}},\

tuo on

A^{{ik}}{}_{{;\ell }}=A^{{ik}}{}_{{,\ell }}+A^{{mk}}\Gamma ^{i}{ }_{{m\ell }}+A^{{im}}\Gamma ^{k}{}_{{m\ell }}.\

Tensorikentässä, jossa on yksi ylempi ja yksi alempi indeksi, kovarianttiderivaata on

A^{i}{}_{{k;\ell }}=A^{i}{}_{{k,\ell }}+A^{{m}}{}_{k}\Gamma ^ {i}{}_{{m\ell }}-A^{i}{}_{m}\Gamma ^{m}{}_{{k\ell }},\

lopuksi kaksinkertaisen kovarianssin tensorikenttään, toisin sanoen kentälle, jonka tyyppi on , $(0,2)$

A_{{ik;\ell }}=A_{{ik,\ell }}-A_{{mk}}\Gamma ^{m}{}_{{i\ell }}-A_{{im}}\ Gamma ^{m}{}_{{k\ell }}.\

Katso myös

Kirjallisuus

Rashevsky PK Riemannin geometria ja tensorianalyysi. - Mikä tahansa painos.

Differentiaalilaskenta

Main

yksityiset näkymät

Differentiaalioperaattorit
( eri koordinaateissa )

Ensimmäinen tilaus	Nabla operaattori Kaltevuus Eroaminen Roottori Helmholtzian
toinen tilaus	Elliptinen operaattori Laplacen operaattori Laplace-vektorioperaattori D'Alembert-operaattori Laplace-Beltrami operaattori
korkeammat tilaukset	Hypoelliptinen operaattori

liittyvät aiheet