Ortogonaalinen perusta

Ortogonaalinen (ortonormaali) kanta on lineaarisen avaruuden elementtien ortogonaalinen ( ortonormaali ) järjestelmä skalaaritulolla , jolla on täydellisyysominaisuus .

Äärillisulotteinen tapaus

Ortogonaalinen kanta on kanta , joka koostuu pareittain ortogonaalisista vektoreista . Ortonormaali kanta täyttää myös sen kaikkien elementtien normin yhtenäisyyden ehdon . Toisin sanoen se on ortogonaalinen kanta normalisoiduilla elementeillä.

Jälkimmäinen kirjoitetaan kätevästi Kronecker-symbolilla :

(e_{i},e_{j})=\delta _{ij},

eli jokaisen kantavektoriparin pistetulo on nolla, kun ne eivät ole samoja ( ) , ja on yhtä suuri kuin yksi, kun indeksi on sama, eli kun otetaan minkä tahansa kantavektorin pistetulo itsensä kanssa . $i\neq j$

Monet asiat kirjoitetaan ortogonaalisella pohjalla paljon helpommin kuin mielivaltaisella pohjalla, joten usein he yrittävät käyttää juuri tällaisia kantoja, jos mahdollista, tai jonkin erityisen ei-ortogonaalisen perustan käyttö ei tarjoa erityistä erityistä. mukavuudet. Tai jos he eivät hylkää sitä yleisen muodon perusteella yleisyyden vuoksi.

Ortonormaali perusta on itsekaksois ( sen kaksoisperusta osuu yhteen itsensä kanssa). Siksi siinä on mahdollista olla tekemättä eroa ylemmän ja alemman indeksin välillä ja käyttää esimerkiksi vain alempia indeksejä (kuten yleensä, ellei tässä tapauksessa tietysti käytetä vain ortonormaalia kantaa).

Lineaarinen riippumattomuus seuraa ortogonaalisuudesta, eli se saavutetaan automaattisesti ortogonaaliselle vektorijärjestelmälle.

Vektorin laajenemiskertoimet ortogonaalisesti:

\\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e_{1}} +a_{2}\mathbf {e_{2}} +\ldots +a_{n}\mathbf {e_{n} }

löytyy näin:

\ a_{i}={\frac {(\mathbf {a} ,\mathbf {e_{i}} )}{(\mathbf {e_{i}} ,\mathbf {e_{i}} ) }}.

Ortonormaalin vektorijärjestelmän täydellisyys vastaa Parsevalin yhtälöä : minkä tahansa vektorin kohdalla vektorin normin neliö on yhtä suuri kuin sen laajennuskertoimien neliösumma perustassa: ${\mathbf {a}}$

({\mathbf {a}},{\mathbf {a}})=\sum _{i}({\mathbf {a}},{\mathbf {e_{i}}})^{2},

Samanlaiset suhteet pätevät myös äärettömän ulottuvuuden tapauksessa (katso alla).

Äärettömän ulottuvuuden tapaus

Ortogonaalinen kanta on Hilbert-avaruuden ortogonaalisten elementtien pareittainen järjestelmä siten, että mikä tahansa elementti voidaan yksiselitteisesti esittää normikonvergoivana sarjana $e_{1},e_{2},...,e_{n},...$ $X$ $x\in X$

x=\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}e_{n},

kutsutaan järjestelmän elementin Fourier-sarjaksi . $x$ $\{e_{n}\}$

Usein kanta valitaan siten, että , ja sitten sitä kutsutaan ortonormaaliksi kantaksi . Tässä tapauksessa luvut , joita kutsutaan ortonormaalisen elementin Fourier-kertoimiksi , ovat muotoa $\{e_{n}\}$ $|e_{n}|=1$ $a_n$ $x$ $\{e_{n}\}$

a_{n}=(x,e_{n})

Tarpeellinen ja riittävä ehto ortonormaalin järjestelmän perustalle on Parsevalin tasa-arvo . $\{e_{n}\}$

Hilbert-avaruus, jolla on ortonormaalikanta, on erotettavissa , ja päinvastoin jokaisella erotettavalla Hilbert-avaruudella on ortonormaalikanta.

Jos annetaan mielivaltainen lukujärjestelmä niin , että ortonormaalisen kantapään omaavan Hilbert-avaruuden tapauksessa sarja -konvergoi normissa johonkin elementtiin . Tämä vahvistaa minkä tahansa erotettavissa olevan Hilbert-avaruuden isomorfismin avaruuteen ( Riesz -Fischer-lause). $\{a_{n}\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}^{2}<\infty$ $\{e_{n}\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}e_{n}$ $x\in X$ $l_{2}$

Esimerkkejä

Standardikanta n-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa R n on ortonormaali. $e_{1}=(1,0,\ldots ,0)^{{\mathrm {T}}},e_{2}=(0,1,\ldots ,0)^{{\mathrm {T}} },\ldots e_{n}=(0,0,\ldots ,1)^{{\mathrm {T))}$

Joukko muodostaa ortonormaalin perustan . $\{f_{n}={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}e^{{inx}},n\in {\mathbb {Z}}\}$ $L^{2}([-\pi ,\pi ])$

Kirjallisuus

Gelfand I. M. Luennot lineaarisesta algebrasta, Moskova: Nauka, 1971.
Moren K. Hilbert avaruusmenetelmät. M.: Mir, 1965.

Katso myös

Vektorit ja matriisit

Vektorit

Peruskonseptit	Vektori geometriassa Perusta Ortogonaalinen perusta Vektorikoordinaatit Kollineaarisuus Ortogonaalisuus Lineaarinen riippuvuus Saraketila
Vektorityypit	Yksikkövektori Aksiaalinen vektori isotrooppinen vektori Normaali Kollineaarisuus Nolla vektori Sädevektori Omavektori
Operaatiot vektoreille	Skalaarituote vektorituote sekoitettu tuote Pseudoskalaarinen tuote Kaksinkertainen ristituote
Tilatyypit	vektoriavaruus affinista tilaa Euklidinen avaruus Pseudoeuklidinen avaruus Normaali tila Minkowskin tila

matriiseja

Peruskonseptit	Matriisin kertolasku Transponoitu matriisi Hermitian konjugaattimatriisi Symmetrinen matriisi käänteinen matriisi Ominaisarvo Matriisin karakteristinen polynomi
Erikoismatriisit	Identiteettimatriisi Nolla matriisi Diagonaalinen matriisi lambda matriisi
Matriisihajotukset	LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen QR-hajotus LUP-hajoaminen singulaariarvon hajottelu Matriisin spektrihajotus

muu