Neliömuoto

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 25.9.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Neliömuoto on funktio vektoriavaruudessa , jonka määrittää toisen asteen homogeeninen polynomi vektorin koordinaateissa.

Määritelmä

Antaa olla vektoriavaruus kentän päällä ja olla perustana . $L$ $K$ $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ $L$

Funktiota kutsutaan neliömuodoksi, jos se voidaan esittää muodossa $K: L - K$

Q(x)=\sum _{{i,j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{i}x_{j},

missä ja ovat joitakin kentän elementtejä . $x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{n}e_{n}$ $a_{{ij}}$ $K$

Aiheeseen liittyvät määritelmät ja ominaisuudet

Matriisia kutsutaan annetussa kannassa neliömäisen muodon matriisiksi . Jos kenttäominaisuus ei ole yhtä suuri kuin 2, voidaan olettaa, että neliömuodon matriisi on symmetrinen, eli . Joten esimerkiksi toisen muuttujan neliömuoto kirjoitetaan yleensä muodossa $A=(a_{{ij}})$ $Q(x)$ $K$ ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji))$

Q(x_{1},x_{2})=a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+a_{22}x_{2} ^{2}

Kun kantaa (eli muuttujien ei-degeneroitunut lineaarinen muutos ) vaihdetaan korvausmatriisilla , neliömuodon matriisi muuttuu kaavan mukaan $x_{1},\ldots,x_{n}$ $C$

A'=C^{T}A\,C,

missä on asteen muodon matriisi uudessa kannassa.

A'

Kaavasta seuraa , että neliömäisen muodon matriisin determinantti ei ole sen invariantti (eli se ei säily, kun kantaa muutetaan, toisin kuin esimerkiksi lineaarisen matriisin matriisi ), mutta sen järjestys on. Siten neliömuodon asteen käsite määritellään . $A'=C^{T}A\,C$
Jos neliömuodon matriisilla on täysi arvo , niin neliömuotoa kutsutaan ei- degeneroituneeksi , muuten - rappeutuneeksi . $n$
Jokaiselle neliömuotoiselle muodolle on olemassa ainutlaatuinen symmetrinen bilineaarinen muoto , joka on sellainen, että . Bilineaarisen muodon sanotaan olevan polaarinen , jos se voidaan laskea kaavasta $K$ $B$ $Q(x)=B(x,x)$ $B$ $K$

B(x,y)={\frac {1}{2}}\,(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)).

Neliöllisen muodon matriisi mielivaltaisessa kannassa osuu samaan kantaan polaarisen bilineaarisen matriisin kanssa.

Määrälliset ja vuorottelevat muodot

Siinä tapauksessa, kun (reaalilukujen kenttä), tärkeä rooli, mukaan lukien erilaisissa sovelluksissa, on positiivisten ja negatiivisten määrättyjen neliömuotojen käsitteillä. $K=\mathbb {R}$

Neliöllisen muodon sanotaan olevan positiivisesti ( negatiivisesti ) määrätty , jos epäyhtälö pätee mihin tahansa . Positiivis-määräinen ja negatiivinen-määräinen muoto kutsutaan merkki-definiteiksi . $K$ $x\neq 0$ $Q(x)>0$ $(Q(x)<0)$
Kvadraattista muotoa kutsutaan merkki- alternatiiviseksi ( indefinite ), jos se saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. $Q(x)$
Kvadraattisen muodon sanotaan olevan positiivisesti ( negatiivisesti ) puolimääräinen , jos jollekin ja on olemassa sellainen, että . $Q(x)$ $Q(x)\geq 0$ $(Q(x)\leq 0)$ $x\in L$ $x\neq 0$ $Q(x)=\ 0$

Sylvester-kriteeriä käytetään sen päättämiseksi , onko annettu neliömuoto positiivisesti (negatiivisesti) tarkka :

Neliömuoto on positiivinen, jos ja vain jos kaikki sen matriisin kulmamollit ovat ehdottomasti positiivisia.
Kvadraattinen muoto on negatiivinen, jos ja vain jos sen matriisin kaikkien kulmamollien merkit vuorottelevat , kertaluvun 1 molli on negatiivinen.

Bilineaarinen muoto, joka on polaarinen positiivisen määrätyn neliömäisen muodon kanssa, täyttää kaikki pistetulon aksioomit .

Kanoninen muoto

Todellinen tapaus

Siinä tapauksessa, kun (reaalilukujen kenttä), mille tahansa neliömuotoiselle muodolle on perusta, jossa sen matriisi on diagonaalinen, ja muodolla itsellään on kanoninen muoto , eli se sisältää vain muuttujien neliöitä: $K=\mathbb {R}$

Q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{p}x_{p}^{2}-a_{p+1}x_{p+1}^ {2}-\cdots -a_{p+q}x_{p+q}^{2},\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*)

missä on neliömuodon arvo. . Tässä tapauksessa kertoimia kutsutaan kanonisiksi kertoimiksi . Jos kyseessä on ei-degeneroitunut neliömuoto , ja jos kyseessä on rappeutunut muoto, . $r$ $a_{{i}}$ $p+q=n$ $p+q<n$

On myös normaalimuoto neliömuodossa: . $Q_{n}(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{p+ q }^{2},\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*)$

Kvadraattisen muodon pelkistämiseksi kanoniseksi muotoon käytetään yleensä Lagrangen menetelmää tai kannan ortogonaalisia muunnoksia, ja annettu neliömuoto voidaan pelkistää kanoniseksi muotoksi ei yhdellä, vaan monella tavalla.

Lukua (negatiivisten termien) kutsutaan annetun toisen asteen muodon hitausindeksiksi ja lukua (positiivisten ja negatiivisten termien lukumäärän ero) neliömuodon allekirjoitukseksi . Huomaa, että toisinaan toisen asteen muodon allekirjoitusta kutsutaan pariksi . Luvut ovat asteen muodon invariantteja, eli ne eivät riipu tavasta, jolla se pelkistetään kanoniseen muotoon ( Sylvesterin hitauslaki ). $q$ $pq$ $(p,q)$ $p,q,pq$

Monimutkainen tapaus

Siinä tapauksessa, että (kompleksilukujen kenttä), mille tahansa toisen asteen muodolle on perusta, jossa muodolla on kanoninen muoto $K=\mathbb {C}$

Q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{r}^{2},\qquad (**)

missä on neliömuodon arvo. Siten kompleksisessa tapauksessa (toisin kuin todellisessa tapauksessa) neliömuodolla on yksi ainoa invariantti, arvo, ja kaikilla ei-degeneroituneilla muodoilla on sama kanoninen muoto (neliöiden summa). $r$

Esimerkkejä

Vektorien skalaaritulo on symmetrinen bilineaarinen funktio. Vastaava neliömuoto on positiivinen määrätty, se osoittaa vektorille sen pituuden neliön. $(x,y)$ $Q(x)=(x,x)$ $x$
Tason neliömuoto (vektorilla on kaksi koordinaattia: ja ) on etumerkkivuorottelu, se pelkistetään kanoniseen muotoon käyttämällä lineaarimuutosta . ${\displaystyle Q(x)=x_{1}x_{2))$ $x$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}'^{2}-x_{2}'^{2}$ $x_{1}=x_{1}'+x_{2}',\ x_{2}=x_{1}'-x_{2}'$

Katso myös

Muistiinpanot

Kirjallisuus

Beklemishev DV Analyyttinen geometria ja lineaarinen algebra.-M.: Vyssh. koulu 1998, 320s.
Gel'fand I. M. , Lineaarinen algebra . Luentokurssi.
Gelfand I. M. Luennot lineaarisesta algebrasta, Moskova: Nauka, 1971.
Conway, J. Kvadraattiset muodot, jotka meille annetaan tunneissa . - M. : MTsNMO, 2008. - 144 s. - 1000 kappaletta. - ISBN 978-5-94057-268-8 .
Maltsev AI Lineaarisen algebran perusteet. Moskova: Nauka, 1975.
Faddeev D.K. Luennot algebrasta. Moskova: Nauka, 1984.
Kostrikin A. I. Johdatus algebraan, Moskova: Nauka, 1977.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria, Fizmatlit, Moskova, 2009.

Vektorit ja matriisit

Vektorit

Peruskonseptit	Vektori geometriassa Perusta Ortogonaalinen perusta Vektorikoordinaatit Kollineaarisuus Ortogonaalisuus Lineaarinen riippuvuus Saraketila
Vektorityypit	Yksikkövektori Aksiaalinen vektori isotrooppinen vektori Normaali Kollineaarisuus Nolla vektori Sädevektori Omavektori
Operaatiot vektoreille	Skalaarituote vektorituote sekoitettu tuote Pseudoskalaarinen tuote Kaksinkertainen ristituote
Tilatyypit	vektoriavaruus affinista tilaa Euklidinen avaruus Pseudoeuklidinen avaruus Normaali tila Minkowskin tila

matriiseja

Peruskonseptit	Matriisin kertolasku Transponoitu matriisi Hermitian konjugaattimatriisi Symmetrinen matriisi käänteinen matriisi Ominaisarvo Matriisin karakteristinen polynomi
Erikoismatriisit	Identiteettimatriisi Nolla matriisi Diagonaalinen matriisi lambda matriisi
Matriisihajotukset	LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen QR-hajotus LUP-hajoaminen singulaariarvon hajottelu Matriisin spektrihajotus

muu